多様体のカテゴリ

数学において、多様体のカテゴリ（ Man ^pと表記されることが多い）は、そのオブジェクトが滑らかさクラスC ^pの多様体であり、その射がp回連続的に微分可能な写像であるカテゴリである。2つのC ^p写像の合成がやはり連続であり、クラスC ^pであるため、これはカテゴリである。

多くの場合、固定されたカテゴリA内の空間でモデル化されたC ^p多様体のみに関心があり、そのような多様体のカテゴリはMan ^p ( A ) と表記されます。同様に、固定された空間Eでモデル化されたC ^p多様体のカテゴリはMan ^p ( E )と表記されます。

滑らかな多様体のカテゴリMan ^{∞ 、または}解析多様体の カテゴリMan ^ωと言うこともできます。

多くのカテゴリと同様に、カテゴリMan ^pは具体的なカテゴリであり、そのオブジェクトは追加の構造（つまり、C ^p微分可能な構造を定義するチャートのアトラスの位相と同値類）を持つ集合であり、その射はこの構造を保存する関数である。自然な忘却関手が存在する。

U  :マン^p →トップ

位相空間のカテゴリには、各多様体に基礎位相空間を割り当て、各p回連続微分可能関数に位相空間の基礎連続関数を割り当てる。同様に、自然な忘却関手が存在する。

U ′ :マン^p →セット

各多様体に基礎集合を割り当て、各p回連続微分可能関数に基礎関数を 割り当てる集合のカテゴリ。

多様体のカテゴリを特定の点とともに扱うことが便利であったり必要であったりすることがよくあります。Man _• ^{p は}、尖った空間のカテゴリであるTop _•に類似しています。Man _• ^pの対象は、 がベースポイントを伴う多様体であり、その射がベースポイントを保存するp回連続的に微分可能なマップであるペアです。たとえば、次のようになります。^{[1]尖った多様体のカテゴリは}、コンマカテゴリの例です。Man _• ^pは、任意のシングルトンセットを表し、 はそのシングルトンからベースポイントを選んだ Man p^の要素へのマップを表します。${\displaystyle (M,p_{0}),}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C^{p}}$${\displaystyle p_{0}\in M,}$${\displaystyle F:(M,p_{0})\to (N,q_{0}),}$${\displaystyle F(p_{0})=q_{0}.}$${\displaystyle \scriptstyle {(\{\bullet \}\downarrow \mathbf {Man^{p}} )},}$${\displaystyle \{\bullet \}}$${\displaystyle \downarrow}$

接空間構成は、 Man _• ^pからVect _Rへの関手として次のように考えることができます。尖った多様体とそれらの間の写像が与えられた場合、ベクトル空間とそれらの間の線型写像をプッシュフォワード（微分）で割り当てることができます。この構成は、恒等写像のプッシュフォワードがベクトル空間同型^[1]であり、連鎖律によって次のことが保証されるため、真の関手です^。[1]${\displaystyle (M,p_{0})}$${\displaystyle (N,F(p_{0})),}$${\displaystyle C^{p}}$${\displaystyle F:(M,p_{0})\to (N,F(p_{0}))}$${\displaystyle T_{p_{0}}M}$${\displaystyle T_{F(p_{0})}N,}$${\displaystyle F_{*,p}:T_{p_{0}}M\to T_{F(p_{0})}N.}$${\displaystyle \mathbb {1} _{M}:M\to M}$ ${\displaystyle (\mathbb {1} _{M})_{*,p_{0}}:T_{p_{0}}M\to T_{p_{0}}M,}$${\displaystyle (f\circ g)_{*,p_{0}}=f_{*,g(p_{0})}\circ g_{*,p_{0}}.}$

• ラング、セルジュ（2012）[1972]。微分多様体。シュプリンガー。ISBN 978-1-4684-0265-0。
• Tu, Loring W. (2011).多様体入門（第2版）. ニューヨーク: Springer. ISBN 9781441974006. OCLC  682907530.