グループイドオブジェクト

圏論という数学の一分野において、群状オブジェクトは、集合よりも豊かな構造に基づいて構築された群状オブジェクトの一般化であると同時に、乗法が部分的にしか定義されていない場合の群オブジェクトの一般化でもある。

有限ファイバー積を許容するカテゴリーCの群状オブジェクトは、2 つのオブジェクトから構成される。${\displaystyle R,U}$5つの射とともに

${\displaystyle s,t:R\to U,\ e:U\to R,\ m:R\times _{U,t,s}R\to R,\ i:R\to R}$

以下の群状公理を満たす

1. ${\displaystyle s\circ e=t\circ e=1_{U},\,s\circ m=s\circ p_{1},t\circ m=t\circ p_{2}}$どこで${\displaystyle p_{i}:R\times _{U,t,s}R\to R}$2 つの予測は、
2. （連想性）${\displaystyle m\circ (1_{R}\times m)=m\circ (m\times 1_{R}),}$
3. （ユニット）${\displaystyle m\circ (e\circ s,1_{R})=m\circ (1_{R},e\circ t)=1_{R},}$
4. （逆）${\displaystyle i\circ i=1_{R}}$、${\displaystyle s\circ i=t,\,t\circ i=s}$、${\displaystyle m\circ (1_{R},i)=e\circ s,\,m\circ (i,1_{R})=e\circ t}$[ ^{1 ]​}

群状オブジェクト ( R , U ) が与えられたとき、イコライザーは${\displaystyle R\,{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}\,U}$（存在する場合）は、群圏の慣性群と呼ばれる群オブジェクトである。同じ図の共等化群（存在する場合）は、群圏の商群である。

圏C内の各群様オブジェクト（存在する場合）は、 Cから群様の圏への反変関手と考えることができる。このようにして、各群様オブジェクトは群様のプレスタックを決定する。このプレスタックはスタックではないが、スタック化することでスタックを得ることができる。

この概念の主な用途は、スタックのアトラスを提供することです。より具体的には、${\displaystyle [R\rightrightarrows U]}$カテゴリーになる${\displaystyle (R\rightrightarrows U)}$-torsors。この場合、それは群圏でファイバー化された圏であり、実際には（良いケースでは）Deligne–Mumfordスタックである。逆に、任意のDMスタックはこの形式である。

• 単純なスキーム

• ベーレンド、カイ；コンラッド、ブライアン；エディディン、ダン；フルトン、ウィリアム；ファンテキ、バーバラ；ゲッチェ、ローター；クレシュ、アンドリュー（2006）、「代数スタック」 、 2008年5月5日にオリジナルからアーカイブ、 2014年2月11日に取得
• Gillet, Henri (1984)、 「代数スタックとQ多様体に関する交差理論」 、代数K理論に関するルミニー会議議事録（ルミニー、1983年）、純粋応用代数学ジャーナル、34（2–3）：193–240、doi：10.1016/0022-4049(84)90036-7、MR 0772058