完全かつ忠実な関数

圏論では、忠実な関数はホム集合に単射な関数であり、完全関数はホム集合に全射な関数です。両方の特性を持つ関数は完全忠実な関数と呼ばれます。

具体的には、CとDを（局所的に小さい）カテゴリとし、F  : C → DをCからDへの関手とします。関手Fは関数

${\displaystyle F_{X,Y}\colon \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)\rightarrow \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(F(X), F(Y))}$

C内の任意のオブジェクトXとYのペアに対して、関数F は次のように表される 。

• F _{X , Y}が単射であれば忠実である^{[1] [2]}
• F _{X , Y}が全射であれば完全^{[2] [3]}
• F _X、Yが全単射である場合、完全に忠実である（=完全かつ忠実である）。

C内の各XとYについて。

忠実な関手は、オブジェクトや射に対して単射である必要はありません。つまり、2 つのオブジェクトXとX ′ はD内の同じオブジェクトにマップされる可能性があり(これが、完全で忠実な関手の値域が必ずしもCと同型ではない理由です)、2 つの射f  : X → Yとf ′ : X ′ → Y ′ (ドメイン/コドメインが異なる) はD内の同じ射にマップされる可能性があります。同様に、完全関手は、オブジェクトや射に対して全射である必要はありません。 C内の何らかのXに対してFX の形式ではないオブジェクトがDに存在する可能性があります。このようなオブジェクト間の射は、明らかにC内の射から生じることはできません。

完全かつ忠実な関手は、同型性を除いて必ずオブジェクトに単射です。つまり、F  : C → Dが完全かつ忠実な関手である場合、となります。 ${\displaystyle F(X)\cong F(Y)}$${\displaystyle X\cong Y}$

• 忘却関手 U  : Grp → Set は、グループをその基になる集合にマッピングし、グループ演算を「忘却」します。Uが忠実なのは、同じドメインとコドメインを持つ 2 つのグループ準同型は、基になる集合上の同じ関数によって与えられる場合、等しいからです。この関手は、基になる集合の間にグループ準同型ではない関数が存在するため、完全ではありません。Set への忠実な関手を持つカテゴリは(定義により)具体的なカテゴリです。一般に、忘却関手は完全ではありません。
• 包含関数Ab → Grp は完全に忠実です。これは、Ab (アーベル群のカテゴリ) が定義によりアーベル群によって誘導されるGrpの完全なサブカテゴリであるためです。

関数が「完全」または「忠実」であるという概念は、(∞, 1)-カテゴリの概念には変換されません。 (∞, 1)-カテゴリでは、任意の 2 つのオブジェクト間のマップは、ホモトピーまでの空間によってのみ与えられます。注入と全射の概念はホモトピー不変の概念ではないため (実数への区間埋め込みと点への区間マッピングを考えてみます)、関数が「完全」または「忠実」であるという概念はありません。ただし、 CのすべてのXとYに対してマップが弱い同値である場合、準カテゴリの関数が完全に忠実であると定義できます。 ${\displaystyle F_{X,Y}}$

• 完全なサブカテゴリ
• カテゴリーの同等性