漸近的に平坦な時空

漸近的に平坦な時空とは、大まかに言えば、ある領域から離れた大きな距離で曲率が消失し、大きな距離ではその形状がミンコフスキー時空のものと区別がつかなくなるようなロレンツ多様体である。

この概念はどのローレンツ多様体にも当てはまりますが、最も頻繁に適用されるのは、何らかの計量重力理論、特に一般相対性理論の場の方程式の解としての時空です。この場合、漸近的に平坦な時空とは、重力場、および存在する可能性のある物質やその他の場が、ある領域から離れた大きな距離で大きさが無視できるような時空であると言えます。特に、漸近的に平坦な真空解では、重力場（曲率）は、場の発生源（通常は星などの孤立した大質量物体）から離れた大きな距離で無視できるほど小さくなります。^[1]

漸近平坦性の条件は、数学や他の物理理論における同様の条件に類似しています。このような条件は、何らかの物理場または数学関数が適切な意味で漸近的に消滅していることを示しています。 ^{[引用が必要]}

一般相対性理論では、漸近平坦な真空解は、孤立した大質量物体の外部重力場をモデル化する。したがって、そのような時空は孤立系、つまり外部の影響を無視できる系と見なすことができる。実際、物理学者が恒星の漸近平坦モデルを構築する際、単一の恒星だけを含む宇宙を想像することはめったにない。^[要出典] むしろ、物理学者が関心を持つのは、他の物体の存在による重力の影響を無視できる外部領域とともに恒星の内部をモデル化することなのだ。天体間の典型的な距離は各天体の直径よりもはるかに大きい傾向があるため、この理想化で済むことが多く、これにより通常、解の構築と分析が大幅に簡素化される。

多様体は、 内のすべてのヌル測地線がの境界上に未来と過去の端点を持つような共形コンパクト化を許容する場合、漸近的に単純です。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\tilde {M}}}$

後者はブラックホールを除外するため、弱漸近単純多様体はの境界の近傍に等長な開集合を持つ多様体として定義されます。ここで は何らかの漸近単純多様体の共形コンパクト化です。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle U\subset M}$${\displaystyle {\tilde {M}}}$${\displaystyle {\tilde {M}}}$

多様体は、そのリッチテンソルが境界の近傍で消滅するという意味において、弱漸近単純かつ漸近空である場合に漸近平坦である。 ${\displaystyle {\tilde {M}}}$

^[2]

孤立した物体をモデル化する時空のみが漸近的に平坦です。FRWモデルなど、他の多くのよく知られた正確な解はそうではありません。

漸近的に平坦な時空の簡単な例としては、シュワルツシルト計量解が挙げられます。より一般的には、カー計量も漸近的に平坦です。しかし、シュワルツシルト真空のよく知られた別の一般化であるタウブ-NUT 空間は、漸近的に平坦ではありません。さらに簡単な一般化であるド・ジッター-シュワルツシルト計量解は、ド・ジッター宇宙に浸された球対称の質量を持つ物体をモデル化しており、漸近的に平坦ではない 漸近的に単純な時空の例です。

一方、AFワイル計量とその回転一般化、AF エルンスト真空 (すべての定常軸対称かつ漸近的に平坦な真空解の族) など、漸近的に平坦な重要な大規模な解族が存在します。これらの族は、非常に単純化された偏微分方程式の族の解空間によって与えられ、それらの計量テンソルは明示的な多重極展開によって記述できます。

漸近的に平坦な時空を定義する最も単純な（そして歴史的に最初の）方法は、座標 を持つ座標チャートがあると仮定します。この座標チャートは、原点から遠く離れると、次の意味でミンコフスキー時空上の直交座標チャートとほぼ同じように動作します。計量テンソルを、（物理的に観測できない）ミンコフスキー背景と摂動テンソル の合計として書き、と設定します。次に、次が必要です。 ${\displaystyle t,x,y,z}$${\displaystyle g_{ab}=\eta _{ab}+h_{ab}}$${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

• ${\displaystyle \lim _{r\rightarrow \infty }h_{ab}=O(1/r)}$
• ${\displaystyle \lim _{r\rightarrow \infty }h_{ab,p}=O(1/r^{2})}$
• ${\displaystyle \lim _{r\rightarrow \infty }h_{ab,pq}=O(1/r^{3})}$

摂動の偏微分がそれほど速く減衰することを要求する理由の 1 つは、これらの条件により、重力場のエネルギー密度(このやや漠然とした概念が重力の計量理論で意味を成す限り) が のように減衰することが示され、物理的に理にかなっているためです。(古典電磁気学では、点電荷の電磁場のエネルギーは のように減衰します。) ${\displaystyle O(1/r^{4})}$${\displaystyle O(1/r^{4})}$

1962 年頃、ヘルマン・ボンディ、ライナー・K・ザックスらは、一般相対論におけるコンパクトな光源からの放射という一般的な現象の研究を開始したが、これには漸近平坦性のより柔軟な定義が必要となる。1963 年、ロジャー・ペンローズは代数幾何学から、現在では共形コンパクト化と呼ばれる重要な革新を導入し、1972 年、ロバート・ジェロックはこれを用いて、漸近平坦性の真に座標に依存しない定義を定式化する際に適切な限界を適切に定義して評価するという難しい問題を回避した。この新しいアプローチでは、一旦すべてを適切に設定すれば、漸近平坦性を検証するためには軌跡上の関数を評価するだけでよい。

漸近平坦性の概念は、一般相対性理論や関連理論の正確な解の研究における技術的条件として非常に有用です。これにはいくつかの理由があります。

• 一般相対論（および関連する物理理論）における物理現象のモデルは、一般に適切な微分方程式系の解として生じ、漸近平坦性を仮定すると、結果として生じる境界値問題の設定と解決に役立つ境界条件が得られます。
• 一般相対性理論などの重力の計量理論では、質量や角運動量などの重要な物理的概念の一般的な定義を与えることは通常不可能ですが、漸近平坦性を仮定すると、漸近的に平坦な解に対して意味のある便利な定義を採用することができます。
• これはあまり明白ではありませんが、漸近平坦性を利用することで、物理学者は代数幾何学や微分位相幾何学から洗練された数学的概念を導入し、存在するかどうかわからない事象の地平線などの重要な特徴を定義および研究できるようになります。

• 流体ソリューション
• アインシュタイン場の方程式

• ホーキング、SW & エリス、GFR (1973)。『時空の大規模構造』ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-09906-6。漸近的に単純な時空についてはセクション6.9を 参照してください。
• ウォルド、ロバート M. (1984)。一般相対性理論。シカゴ：シカゴ大学出版局。ISBN 978-0-226-87033-5。第11章を 参照してください。
• Frauendiener, Jörg. 「Conformal Infinity」. Living Reviews in Relativity . 2005 年 12 月 31 日時点のオリジナルよりアーカイブ。2004年1 月 23 日閲覧。
• Mars, M. & Senovilla, JMM (1998). 「回転体を記述するグローバルモデルの構築について; 外部重力場の一意性」. Modern Physics Letters A. 13 ( 19): 1509–1519. arXiv : gr-qc/9806094 . Bibcode :1998MPLA...13.1509M. doi :10.1142/S0217732398001583. S2CID  5289048.eprint 著者らは、与えられた完全流体内部を漸近的に平坦な真空外部に一致させる問題など、一般相対性理論における境界値問題は過剰決定であると主張している。これは、回転する星のモデルが存在しないことを意味するものではないが、それらのモデルを構築するのが困難であるように見える理由を説明するのに役立つ。
• マーク・D・ロバーツ、「恒星の外部空間：漸近的平坦性に反して」。2002 年 5 月 16 日版。ロバーツは、回転する恒星のモデルにおける外部解は真空ではなく完全流体または塵であるべきであると主張し、一般相対性理論では漸近的に平坦な回転する完全流体解は存在しないと主張しています。(注:マーク・ロバーツは、この記事を含め、Wikipedia に不定期で寄稿しています。)
• Mars, Marc (1998). 「Wahlquist-Newman 解」. Phys. Rev. D . 63 (6): 064022. arXiv : gr-qc/0101021 . Bibcode :2001PhRvD..63f4022M. CiteSeerX  10.1.1.339.8609 . doi :10.1103/PhysRevD.63.064022. S2CID  1644106.eprint Mars は、よく知られている Wahlquist 流体と Kerr-Newman 電気真空解を特殊なケースとして含む、 Petrov タイプDの回転時空を導入します。
• MacCallum, MAH; Mars, M.; Vera, R. 平衡状態にある回転体の二次摂動: 外部真空問題 これは、孤立した回転体 (漸近的に平坦な真空外部) をモデル化する正確な解の構築に関する現在の最先端技術の第一人者 3 人による短いレビューです。

• アインシュタインの場の方程式とその物理的意味