キリングホライズン

物理学において、キリング地平線は、一般相対性理論とその一般化において、動的なアインシュタイン場の方程式を参照せずに時空の境界を描くために使用される幾何学的構成です。数学的には、キリング地平線は、キリングベクトル場のノルムの消失によって定義されるヌル超曲面です（両方ともヴィルヘルム・キリングにちなんで名付けられました）。^[1]また、キリングベクトルによって生成されるヌル超曲面として定義することもでき、その面ではキリングベクトルはヌルです。

ホーキングが、曲がった時空における量子場理論（アインシュタインの場の方程式を参照せずに）が、崩壊によって形成されたブラックホールが熱放射を放射すると予測したことを示した後、時空幾何学（キリング地平線）と量子場の熱効果の間には予期せぬ関係があることが明らかになりました。特に、熱放射と時空の間には非常に一般的な関係があり、キリング場に直交する交差するヌル超曲面のペアからなる分岐キリング地平線を持つ等長変換の1パラメータ群が許容されます。^[2]

ミンコフスキー時空では、擬似直交座標系でキリングホライズンの例としてローレンツブースト（時空のキリングベクトル） が挙げられます。${\displaystyle (t,x,y,z)}$${\displaystyle (+,-,-,-),}$

$${\displaystyle V=x\,\partial _{t}+t\,\partial _{x}.}$$

のノルムの2乗は ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle g(V,V)=x^{2}-t^{2}=(x+t)(xt).}$$

したがって、は方程式の超平面上でのみゼロとなる。 ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle x+t=0,{\text{ および }}xt=0,}$$

これらを合わせると、によって生成されたキリング地平線となる。^[3]${\displaystyle V}$

カー・ニューマン計量のような正確なブラックホール計量には、そのエルゴ球と一致するキリング地平線が含まれる。この時空では、対応するキリング地平線は

$${\displaystyle r=r_{e}:=M+{\sqrt {M^{2}-Q^{2}-a^{2}\cos^{2}\theta }}.}$$

通常の座標では、キリング地平線の外側ではキリング ベクトルフィールドは時間的であり、内側では空間的である。 ${\displaystyle \partial /\partial t}$

さらに、両方ともキリング ベクトル場である との特定の線形結合を考慮すると、事象の地平線と一致するキリング地平線が生じます。${\displaystyle \partial /\partial t}$${\displaystyle \partial /\partial \phi }$

キリング地平線には表面重力と呼ばれる幾何学的量が関連している。表面重力がゼロになると、キリング地平線は退化していると言われる。^[3]${\displaystyle \kappa}$

曲がった時空における量子場理論をブラックホールに適用することによって発見されたホーキング放射の温度は、ボルツマン定数と縮小プランク定数 によって表面重力と関連しています。 ${\displaystyle c^{2}\kappa }$${\displaystyle T_{H}={\frac {\hbar c\kappa }{2\pi k_{B}}}}$${\displaystyle k_{B}}$${\displaystyle \hbar}$

ド・ジッター空間には のキリング地平線があり、温度 の熱放射を放射します。 ${\textstyle r={\sqrt {3/\Lambda }}}$${\textstyle T={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {{\frac {1}{3}}\Lambda }}}$

「キリング地平線」という用語は、微分幾何学の概念であるキリングベクトル場から由来しています。キリングベクトル場は、与えられた時空において、計量を保存するベクトル場です。^[4]

ブラックホールの文脈では、キリング地平線は事象の地平線と関連付けられることが多い。しかし、それらは常に同じというわけではない。例えば、回転するブラックホール（カーブラックホール）では、事象の地平線とキリング地平線は一致しない。^[5]

キリング地平線の概念はホーキング放射の研究において重要である。これはブラックホールが事象の地平線付近の量子効果により放射を放出するはずだという理論的予測である。^[6]

キリング地平線は、特異点（量が無限大になる点）は常にブラックホールの中に隠されており、宇宙の他の部分からは観測できないという宇宙検閲仮説の研究にも役割を果たしている。^[7]