扁平回転楕円体座標

扁平回転楕円体座標は、 2 次元楕円座標系を楕円の非焦点軸、つまり焦点を分ける対称軸を中心に回転させることによって得られる3 次元直交座標系です。 したがって、2 つの焦点はx - y平面で半径のリングに変換されます。(他の軸を中心に回転すると、長楕円体座標が生成されます。) 扁平回転楕円体座標は、2 つの最大半軸の長さが等しい 楕円体座標の極限ケースと考えることもできます。${\displaystyle a}$

偏微分方程式を解く場合、境界条件が偏球面または回転双曲面上で定義されているときに、偏球座標が役立つことがよくあります。たとえば、ペラン摩擦係数の計算で重要な役割を果たし、1926 年のノーベル物理学賞をジャン・バティスト・ペランに授与することに貢献しました。これらの摩擦係数は分子の回転拡散を決定します。これは、タンパク質 NMRなどの多くの手法の実現可能性に影響し、分子の流体力学的体積と形状を推測することができます。偏球座標は、電磁気学 (例: 帯電した偏球分子の誘電率)、音響学 (例: 円形の穴を通した音の散乱)、流体力学 (例: 消防ホースのノズルを通る水の流れ)、物質と熱の拡散 (例: 水槽内の赤く熱したコインの冷却) の問題にも役立ちます。

扁平回転楕円体座標の最も一般的な定義は ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\varphi )}$$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \cos \varphi \\y&=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \sin \varphi \\z& =a\ \sinh \mu \ \sin \nu \end{整列}}}$$

ここで、は非負の実数で、角度 です。方位角は、から までの全円上の任意の位置になります。これらの座標は退化していないため、以下の代替座標よりも好まれます。座標の集合は、直交座標 で一意の点を表します。逆もまた真ですが、 - 軸上と焦点リング内の - 平面 のディスク上は除きます。${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \nu \in \left[-\pi /2,\pi /2\right]}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \pm \pi}$${\displaystyle (\mu ,\nu ,\varphi )}$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle xy}$

定数μの表面は、三角関数の等式により、 扁平な回転 楕円体を形成する。$${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {z^{2}}{a^{ 2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$$

これらは、焦点を分けるz軸を中心に回転する楕円であるためです。 x - z平面内の楕円 (図 2)は、 x軸に沿った長半軸の長さがa cosh μで、z軸に沿った短半軸の長さがa sinh μです。 x - z平面内のすべての楕円の焦点は、x軸上の ± aにあります。

同様に、定数νの面は、双曲三角関数の恒等式により、1枚半回転 双曲面を形成する。

$${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {z^{2}}{a^{ 2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$$

νが正の場合、半双曲面はx - y平面より上にあります（つまり、 zは正になります）。一方、 ν が負の場合、半双曲面はx - y平面より下にあります（つまり、 z は負になります） 。幾何学的には、角度 ν は双曲面の漸近線の角度に対応します。同様に、すべての双曲面の焦点は、x軸上の ± aにあります。

（μ、ν、φ）座標は、直交座標（x、y、z）から次のように計算できます。方位角φは、次の式で与えられます。 $${\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}}$$

点Pの円筒半径ρは次のように与えられ 、φで定義される平面上の焦点までの距離は次のように与えられる。 $${\displaystyle \rho^{2}=x^{2}+y^{2}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}^{2}=(\rho +a)^{2}+z^{2}\\d_{2}^{2}=(\rho -a)^{2}+z^{2}\end{aligned}}}$$

残りの座標μとνは、次の式から計算できる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh \mu &={\frac {d_{1}+d_{2}}{2a}}\\\cos \nu &={\frac {d_{1}-d_{2}}{2a}}\end{aligned}}}$$

ここで、 μ の符号は常に非負であり、 ν の符号はzの符号と同じです。

逆変換を計算する別の方法は

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\operatorname {Re} \operatorname {arcosh} {\frac {\rho +zi}{a}}\\\nu &=\operatorname {Im} \operatorname {arcosh} {\frac {\rho +zi}{a}}\\\phi &=\arctan {\frac {y}{x}}\end{aligned}}}$$

どこ$${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$$

座標μとνのスケール係数は等しい が、方位角スケール係数は等しい。 $${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}$$$${\displaystyle h_{\phi }=a\cosh \mu \ \cos \nu }$$

その結果、微小体積要素は等しく 、ラプラシアンは次のように書ける。 $${\displaystyle dV=a^{3}\cosh \mu \ \cos \nu \ \left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu \,d\nu \,d\phi }$$$${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[{\frac {1}{\cosh \mu }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left(\cosh \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right)+{\frac {1}{\cos \nu }}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left(\cos \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right)\right]+{\frac {1}{a^{2}\cosh ^{2}\mu \cos ^{2}\nu }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}$$

やなどの他の微分演算子は、直交座標の一般式にスケール係数を代入することによって、座標 (μ, ν, φ) で表すことができます。 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$

座標系の正規直交基底ベクトルは、直交座標で次のように表される。 ${\displaystyle \mu ,\nu ,\phi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {e}}_{\mu }&={\frac {1}{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}\left(\sinh \mu \cos \nu \cos \phi {\boldsymbol {\hat {i}}}+\sinh \mu \cos \nu \sin \phi {\boldsymbol {\hat {j}}}+\cosh \mu \sin \nu {\boldsymbol {\hat {k}}}\right)\\{\hat {e}}_{\nu }&={\frac {1}{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}\left(-\cosh \mu \sin \nu \cos \phi {\boldsymbol {\hat {i}}}-\cosh \mu \sin \nu \sin \phi {\boldsymbol {\hat {j}}}+\sinh \mu \cos \nu {\boldsymbol {\hat {k}}}\right)\\{\hat {e}}_{\phi }&=-\sin \phi {\boldsymbol {\hat {i}}}+\cos \phi {\boldsymbol {\hat {j}}}\end{aligned}}}$$

ここで、 は直交座標の単位ベクトルです。ここで、は定数 の扁平回転楕円体表面への外向きの法線ベクトル、は球座標からの同じ方位角単位ベクトル、 は扁平回転楕円体表面の接平面にあり、右手基底関数系を完成します。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {i}}},{\boldsymbol {\hat {j}}},{\boldsymbol {\hat {k}}}}$${\displaystyle {\hat {e}}_{\mu }}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\hat {e}}_{\phi }}$${\displaystyle {\hat {e}}_{\nu }}$

およびの場合には、別の扁平回転楕円体座標系が使用されることがあります(Smythe 1968)。定数の曲線は扁平回転楕円体であり、定数の曲線は回転双曲面です。座標はによって制限され、 はによって制限されます。 ${\displaystyle (\zeta ,\xi ,\phi )}$${\displaystyle \zeta =\sinh \mu }$${\displaystyle \xi =\sin \nu }$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle 0\leq \zeta <\infty }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle -1\leq \xi <1}$

直交座標との関係は $${\displaystyle {\begin{aligned}x=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\cos \phi \\y=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\sin \phi \\z=a\zeta \xi \end{aligned}}}$$

スケール係数は次のとおりです。 ${\displaystyle (\zeta ,\xi ,\phi )}$$${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\zeta }&=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1+\zeta ^{2}}}}\\h_{\xi }&=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1-\xi ^{2}}}}\\h_{\phi }&=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\end{aligned}}}$$

スケール係数がわかれば、直交座標の記事で概説されている一般的な方法によって、座標のさまざまな関数を計算できます。無限小体積要素は次のとおりです。 $${\displaystyle dV=a^{3}\left(\zeta ^{2}+\xi ^{2}\right)d\zeta \,d\xi \,d\phi }$$

勾配は次のとおりです。 $${\displaystyle \nabla V={\frac {1}{h_{\zeta }}}{\frac {\partial V}{\partial \zeta }}\,{\hat {\zeta }}+{\frac {1}{h_{\xi }}}{\frac {\partial V}{\partial \xi }}\,{\hat {\xi }}+{\frac {1}{h_{\phi }}}{\frac {\partial V}{\partial \phi }}\,{\hat {\phi }}}$$

相違点は次のとおりです。 $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{a(\zeta ^{2}+\xi ^{2})}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\left({\sqrt {1+\zeta ^{2}}}{\sqrt {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}}F_{\zeta }\right)+{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left({\sqrt {1-\xi ^{2}}}{\sqrt {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}}F_{\xi }\right)\right\}+{\frac {1}{a{\sqrt {1+\zeta ^{2}}}{\sqrt {1-\xi ^{2}}}}}{\frac {\partial F_{\phi }}{\partial \phi }}}$$

そしてラプラシアンは $${\displaystyle \nabla ^{2}V={\frac {1}{a^{2}\left(\zeta ^{2}+\xi ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\left[\left(1+\zeta ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \zeta }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left[\left(1-\xi ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(1+\zeta ^{2}\right)\left(1-\xi ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \phi ^{2}}}}$$

球面座標や球面調和関数の場合と同様に、ラプラス方程式は変数分離法によって解かれ、扁平楕円体調和関数の形で解を得ることができます。扁平楕円体調和関数は、境界条件が一定の扁平楕円体座標を持つ表面上で定義されている場合に便利です。

変数分離の手法に従って、ラプラス方程式の解は次のように記述されます。 $${\displaystyle V=Z(\zeta )\,\Xi (\xi )\,\Phi (\phi )}$$

これにより、各変数について 3 つの別々の微分方程式が得られます。 ここで、mは定数で、これは φ 変数が周期 2π で周期的であるため整数です。したがって、 n は整数になります。これらの方程式の解は次のとおりです。 ここで、は定数、およびはそれぞれ第 1 種および第 2 種のルジャンドル多項式です。3 つの解の積は扁平楕円体調和関数と呼ばれ、ラプラス方程式の一般解は次のように表されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\zeta }}\left[(1+\zeta ^{2}){\frac {dZ}{d\zeta }}\right]+{\frac {m^{2}Z}{1+\zeta ^{2}}}-n(n+1)Z=0\\{\frac {d}{d\xi }}\left[(1-\xi ^{2}){\frac {d\Xi }{d\xi }}\right]-{\frac {m^{2}\Xi }{1-\xi ^{2}}}+n(n+1)\Xi =0\\{\frac {d^{2}\Phi }{d\phi ^{2}}}=-m^{2}\Phi \end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{mn}&=A_{1}P_{n}^{m}(i\zeta )+A_{2}Q_{n}^{m}(i\zeta )\\[1ex]\Xi _{mn}&=A_{3}P_{n}^{m}(\xi )+A_{4}Q_{n}^{m}(\xi )\\[1ex]\Phi _{m}&=A_{5}e^{im\phi }+A_{6}e^{-im\phi }\end{aligned}}}$$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle P_{n}^{m}(z)}$${\displaystyle Q_{n}^{m}(z)}$$${\displaystyle V=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }\,Z_{mn}(\zeta )\,\Xi _{mn}(\xi )\,\Phi _{m}(\phi )}$$

定数を組み合わせると、各高調波に対して 4 つの独立した定数のみが生成されます。

幾何学的に直感的な別の扁平回転楕円体座標 (σ, τ, φ) が使用されることもある。ここで、σ = cosh μ、τ = cos ν である。^[1] したがって、座標 σ は 1 以上でなければならず、τ は ±1 以内でなければならない。定数 σ の表面は、定数 μ の表面と同様に扁平回転楕円体であるが、定数 τ の曲線は、±ν に対応する半双曲面を含む完全な回転双曲面である。したがって、これらの座標は退化しており、直交座標 ( x、y、 ± z )の2 つの点は、 1 つの座標セット (σ、 τ、 φ ) にマッピングされる。zの符号のこの 2 倍の退化は、扁平回転楕円体座標から直交座標への変換方程式から明らかである。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sigma \tau \cos \phi \\y&=a\sigma \tau \sin \phi \\z^{2}&=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)\end{aligned}}}$$

座標とには、焦点リングまでの距離との単純な関係があります。任意の点について、焦点リングまでの距離の合計はに等しく、その差はに等しくなります。したがって、焦点リングまでの「遠い」距離は であり、「近い」距離は です。 ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d_{1}+d_{2}}$${\displaystyle 2a\sigma }$ ${\displaystyle d_{1}-d_{2}}$${\displaystyle 2a\tau }$${\displaystyle a(\sigma +\tau )}$${\displaystyle a(\sigma -\tau )}$

対応するμと同様に、定数σの表面は扁平な回転 楕円体を形成する。 $${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sigma ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)}}=1}$$

同様に、定数τの面は完全な一枚板の回転 双曲面を形成する。$${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\tau ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(1-\tau ^{2}\right)}}=1}$$

代替の扁平回転楕円体座標のスケール係数は です が、方位角スケール係数は です。 ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$$${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}\\h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle h_{\phi }=a\sigma \tau }$

したがって、微小体積要素は次のように表すことができ 、ラプラシアンは $${\displaystyle dV=a^{3}\sigma \tau {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}\,d\sigma \,d\tau \,d\phi }$$$${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma {\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\left(\tau {\sqrt {1-\tau ^{2}}}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}$$

や などの他の微分演算子は 、スケール係数を直交座標の一般式に代入することによって座標で表すことができます。 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

球面座標の場合と同様に、ラプラス方程式は変数分離法によって解かれ、扁平回転楕円体調和関数の形で解を得ることができます。これは、境界条件が一定の扁平回転楕円体座標を持つ表面上で定義されている場合に便利です (Smythe、1968 を参照)。

• 楕円体座標（測地学）

• Morse PM, Feshbach H (1953).理論物理学の方法、第1部. ニューヨーク: McGraw-Hill. p. 662. ξ ₁ = a sinh μ、ξ ₂ = sin ν、ξ ₃ = cos φ を使用します。
• Zwillinger D (1992)。統合ハンドブック。ボストン、マサチューセッツ州：Jones and Bartlett。p. 115。ISBN 0-86720-293-9。 Morse & Feshbach (1953)と同じですが、ξ _kの代わりにu _{k を}使用します。
• スマイス、WR (1968)。『静電気と動電気』（第3版）。ニューヨーク：マグロウヒル。
• ザウアー R、ザボー I (1967)。Ingenieurs の数学。ニューヨーク: Springer Verlag。 p. 98.LCCN 67025285  。 ハイブリッド座標 ξ = sinh μ、η = sin ν、および φ を使用します。

• Korn GA, Korn TM (1961).科学者とエンジニアのための数学ハンドブック. ニューヨーク: McGraw-Hill. p. 177. LCCN  59014456. Korn と Korn は (μ、ν、φ) 座標を使用しますが、縮退した (σ、τ、φ) 座標も導入します。
• Margenau H, Murphy GM (1956).物理と化学の数学. ニューヨーク: D. van Nostrand. p. 182. LCCN  55010911. Korn と Korn (1961) と同様ですが、緯度ν の代わりに余緯度θ = 90° - ν を使用します。
• Moon PH、Spencer DE (1988)。「偏球座標 (η、θ、ψ)」。座標系、微分方程式、およびその解を含む場の理論ハンドブック(訂正第 2 版、第 3 刷)。ニューヨーク: Springer Verlag。pp. 31–34 (表 1.07) 。ISBN 0-387-02732-7。 ムーンとスペンサーは余緯度規則 θ = 90° - ν を使用し、 φ を ψ に名前変更します。

• Landau LD、Lifshitz EM、Pitaevskii LP (1984)。連続媒体の電気力学（理論物理学コース第8巻）（第2版）。ニューヨーク：Pergamon Press。pp. 19–29。ISBN 978-0-7506-2634-7。扁平回転楕円体座標を一般楕円体座標 の極限ケースとして扱います。距離の単位が 2 乗である (ξ, η, ζ) 座標を使用します。

• MathWorld による扁平回転楕円体座標の説明