カーター定数

カーター定数は、重力の一般相対論的定式化におけるブラックホールの周りの運動に対する保存量です。そのSI 基本単位は kg ² ⋅m ⁴ ⋅s ^{−2です。カーター定数は、1968 年に}オーストラリアの理論物理学者ブランドン カーターによって、回転する荷電ブラックホールに対して導出されました。カーター定数は、エネルギー、軸角運動量、粒子の静止質量とともに、カー・ニューマン時空内のすべての軌道 (荷電粒子の軌道も含む) を一意に決定するために必要な 4 つの保存量を提供します。 ${\displaystyle p_{t}}$ ${\displaystyle p_{\phi }}$ ${\displaystyle {\sqrt {|p_{\mu }p^{\mu }|}}}$

カーターは、カー時空における運動のハミルトニアンがボイヤー・リンドキスト座標で分離可能であり、そのような運動の定数をハミルトン・ヤコビ理論を使って簡単に識別できることに気付きました。^[1] カーター定数は次のように表すことができます。

${\displaystyle C=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta {\Bigg (}a^{2}(m^{2}-E^{2})+\left({\frac {L_{z}}{\sin \theta }}\right)^{2}{\Bigg )}}$、

ここで、は粒子の角運動量の緯度成分、は粒子の保存エネルギー、は粒子の保存軸角運動量、は粒子の静止質量、 はブラックホールのスピンパラメータです。^[2]ここで、 はボイヤー-リンドキスト座標における4 元運動量の共変成分を表し、これは粒子の固有時間でパラメータ化された粒子の位置から、としてその4 元速度を使用して計算できます。ここで、は4 元運動量、はカー計量です。したがって、保存エネルギー定数と角運動量定数は、観測者によって測定されたエネルギーや角運動量 と混同しないでください。 に沿った角運動量成分はと一致します。 ${\displaystyle p_{\theta }}$${\displaystyle E=p_{t}}$${\displaystyle L_{z}=p_{\phi }}$${\displaystyle m={\sqrt {|p_{\mu }p^{\mu }|}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle p_{\mu }}$${\displaystyle X^{\mu }=(t,r,\theta ,\phi )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle U^{\mu }=dX^{\mu }/d\tau }$${\displaystyle p_{\mu }=g_{\mu \nu }p^{\nu }}$${\displaystyle p^{\mu }=mU^{\mu }}$${\displaystyle g_{\mu \nu }}$${\displaystyle U_{\rm {obs}}^{\mu }p_{\mu }}$${\displaystyle \mathbf {L} ={\boldsymbol {x}}\wedge {\boldsymbol {p}}=rp_{\theta }{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\theta }}+rp_{\phi }{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\phi }}=mr^{3}{\dot {\theta }}{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\theta }}+mr^{3}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}\,{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\phi }}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle L_{xy}}$${\displaystyle p_{\phi }}$

保存量の関数も保存されるため、 の任意の関数と運動の他の 3 つの定数は、 の代わりに 4 番目の定数として使用できます。これにより、カーター定数の形式に関して混乱が生じます。たとえば、次のように使用する方が便利な場合があります。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle K=C+(L_{z}-aE)^{2}}$

の代わりに を使用します。この量は常に非負なので便利です。一般に、カー族の時空における運動の 4 番目の保存量は「カーター定数」と呼ばれることがあります。 の極限、および（ は角運動量ベクトルのノルム）では、以下のシュワルツシルト極限を参照してください。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle K}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle C=L^{2}-L_{z}^{2}}$${\displaystyle K=L^{2}}$${\displaystyle L}$

ノイマンの定理は、システムの各保存量がそのシステムの連続対称性を生成することを述べています。カーターの定数は、2 次キリング テンソル場 (上記で使用したものとは異なります)によって生成されるカー計量の高次対称性と関連しています。コンポーネント形式では、次のようになります。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle C=K^{\mu \nu }u_{\mu }u_{\nu }}$、

ここで、は運動中の粒子の4 元速度です。ボイヤー-リンドキスト座標におけるキリングテンソルの成分は次のとおりです。 ${\displaystyle u}$

${\displaystyle K^{\mu \nu }=2\Sigma \ l^{(\mu }n^{\nu )}+r^{2}g^{\mu \nu }}$、

ここで、は計量テンソルの成分であり、は主ヌルベクトルの成分である。 ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$${\displaystyle l^{\mu }}$${\displaystyle n^{\nu }}$

${\displaystyle l^{\mu }=\left({\frac {r^{2}+a^{2}}{\Delta }},1,0,{\frac {a}{\Delta }}\right)}$

${\displaystyle n^{\nu }=\left({\frac {r^{2}+a^{2}}{2\Sigma }},-{\frac {\Delta }{2\Sigma }},0,{\frac {a}{2\Sigma }}\right)}$

と

${\displaystyle \Sigma =r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta \ ,\ \ \Delta =r^{2}-r_{s}\ r+a^{2}}$。

括弧内は対称化を表す表記です。 ${\displaystyle l^{(\mu }n^{\nu )}}$

${\displaystyle l^{(\mu }n^{\nu )}={\frac {1}{2}}(l^{\mu }n^{\nu }+l^{\nu }n^{\mu })}$

回転しないブラックホールのシュワルツシルト計量の球対称性により、粒子の軌道を見つける問題を 3 次元に縮小できます。この場合、運動を決定するには、、、およびのみが必要です。ただし、カーター定数につながる対称性は依然として存在します。シュワルツシルト空間のカーター定数は次のとおりです。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle L_{z}}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle C=p_{\theta }^{2}+L_{z}^{2}\cot ^{2}\theta }$。

これが球座標における角運動量 2形式 とどのように関係するかを見るために、ここ でおよび、ここでおよび、ここでおよび同様にについて、次式を得る。 ${\displaystyle L_{ij}=x_{i}\wedge p_{j}}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=r{\boldsymbol {dr}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=p_{r}{\boldsymbol {dr}}+p_{\theta }{\boldsymbol {d\theta }}+p_{\phi }{\boldsymbol {d\phi }}}$${\displaystyle p_{\theta }=g_{\theta \theta }p^{\theta }=r^{2}m{\dot {\theta }}}$${\displaystyle p_{\phi }=g_{\phi \phi }p^{\phi }=r^{2}\sin ^{2}\theta \,m{\dot {\phi }}}$${\displaystyle {\dot {\phi }}=d\phi /d\tau }$${\displaystyle {\dot {\theta }}}$

${\displaystyle \mathbf {L} ={\boldsymbol {x}}\wedge {\boldsymbol {p}}=rp_{\theta }{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\theta }}+rp_{\phi }{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\phi }}=mr^{3}{\dot {\theta }}{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\theta }}+mr^{3}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}\,{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\phi }}}$。

と は正規直交基底を表すので、正規直交基底における のホッジ双対は${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}=r{\boldsymbol {d\theta }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\phi }}}=r\sin \theta \,{\boldsymbol {d\phi }}}$${\displaystyle \mathbf {L} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {L^{*}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+mr^{2}\sin \theta \,{\dot {\phi }}\,{\boldsymbol {\hat {\phi }}}}$

ここで、そしては固有時間に関して 一致している 。その規範は${\displaystyle {\vec {\boldsymbol {r}}}\times m{\vec {\boldsymbol {v}}}}$${\displaystyle {\dot {\theta }}}$${\displaystyle {\dot {\phi }}}$

${\displaystyle L^{2}=g^{\theta \theta }r^{2}p_{\theta }^{2}+g^{\phi \phi }r^{2}p_{\phi }^{2}=g_{\theta \theta }r^{2}(p^{\theta })^{2}+g_{\phi \phi }r^{2}(p^{\phi })^{2}=m^{2}r^{4}{\dot {\theta }}^{2}+m^{2}r^{4}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}}$。

さらに、およびなので、代入すると、 ${\displaystyle p_{\theta }=g_{\theta \theta }p^{\theta }=mr^{2}{\dot {\theta }}}$${\displaystyle L_{z}=p_{\phi }=g_{\phi \phi }p^{\phi }=mr^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}}$

${\displaystyle C=m^{2}r^{4}{\dot {\theta }}^{2}+m^{2}r^{4}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}=m^{2}r^{4}{\dot {\theta }}^{2}+m^{2}r^{4}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}-m^{2}r^{4}\sin ^{4}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}=L^{2}-L_{z}^{2}}$。

シュワルツシルトの場合、角運動量ベクトルのすべての成分が保存されるため、 と は両方 とも保存され、したがっては明らかに保存されます。カーの場合、は保存されますが、 と は保存されません。それでも は保存されます。 ${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L_{z}^{2}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle L_{z}=p_{\phi }}$${\displaystyle p_{\theta }}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle C}$

カーター定数のもう一つの形は

${\displaystyle K=C+(L_{z}-aE)^{2}=(L^{2}-L_{z}^{2})+(L_{z}-aE)^{2}=L^{2}}$

なので、ここでは です。これも明らかに保存されます。シュワルツシルトの場合、と の両方で、 は放射状軌道であり、 は座標系の赤道面に限定された軌道、つまりすべての時間 に対応します。 ${\displaystyle a=0}$${\displaystyle C\geq 0}$${\displaystyle K\geq 0}$${\displaystyle K=0}$${\displaystyle C=0}$${\displaystyle K>0}$${\displaystyle \theta =\pi /2}$

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