余接表現

数学において、リー群の余関節表現は 随伴表現の双対です。が のリー代数を表す場合、 の対応する作用、すなわちへの双対空間は余関節作用と呼ばれます。 は、上の右不変1 形式の空間への左平行移動による作用として幾何学的に解釈されます。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$

余接表現の重要性はアレクサンドル・キリロフの研究によって強調され、彼は冪零リー群の 表現論において余接軌道が基本的な役割を果たすことを示した。キリロフの軌道法では、余接軌道から始めて の表現が幾何学的に構築される。ある意味では、それらは の共役類の代わりの役割を果たしており、これもまた複雑になる可能性があるが、軌道は比較的扱いやすい。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

をリー群とし、をそのリー代数とする。の随伴表現をとする。すると、 の随伴表現は次のように定義される。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \mathrm {広告} :G\rightarrow \mathrm {自動} ({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {Ad} ^{*}:G\rightarrow \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}}^{*})}$

${\displaystyle \langle \mathrm {Ad} _{g}^{*}\,\mu ,Y\rangle =\langle \mu ,\mathrm {Ad} _{g}^{-1}Y\rangle = \langle \mu ,\mathrm {Ad} _{g^{-1}}Y\rangle }$のために${\displaystyle g\in G,Y\in {\mathfrak {g}},\mu \in {\mathfrak {g}}^{*},}$

ここで、 はベクトル 上の線形関数の値を表します。 ${\displaystyle \langle \mu ,Y\rangle }$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle Y}$

リー群の余接表現によって誘導される上のリー代数の表現を とします。の定義式の無限小バージョンは次のようになります。 ${\displaystyle \mathrm {広告} ^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {広告} ^{*}}$

${\displaystyle \langle \mathrm {ad} _{X}^{*}\mu ,Y\rangle =\langle \mu ,-\mathrm {ad} _{X}Y\rangle =-\langle \mu , [X,Y]\rangle }$のために${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}},\mu \in {\mathfrak {g}}^{*}}$

ここで はリー代数の随伴表現です。 ${\displaystyle \mathrm {ad} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

の双対空間におけるの余接軌道は、内の実際の軌道として外部的に定義することも、が余接作用に関するの安定化因子である同次空間として内部的に定義することもできます。軌道の埋め込みが複雑になる可能性があるため、この区別は重要です。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mu }}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathrm {広告} _{G}^{*}\mu }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle G/G_{\mu}}$${\displaystyle G_{\mu}}$${\displaystyle \mu}$

余接軌道は の部分多様体であり、自然なシンプレクティック構造を持ちます。各軌道には、から継承された閉じた非退化-不変2 形式が次のように存在します。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mu }}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{2}({\mathcal {O}}_{\mu })}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \omega _{\nu }(\mathrm {ad} _{X}^{*}\nu ,\mathrm {ad} _{Y}^{*}\nu ):=\langle \nu , [X,Y]\rangle ,\nu \in {\mathcal {O}}_{\mu },X,Y\in {\mathfrak {g}}}$。

の明確性、非退化性、および -不変性は、次の事実から導かれます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \omega}$

(i) 接空間は と同一視される。ここで はのリー代数である。 ${\displaystyle \mathrm {T} _{\nu }{\mathcal {O}}_{\mu }=\{-\mathrm {ad} _{X}^{*}\nu :X\in {\ mathfrak {g}}\}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {g}}_{\nu }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\nu }}$${\displaystyle G_{\nu}}$

(ii) マップの核はまさに です。 ${\displaystyle X\mapsto \langle \nu ,[X,\cdot ]\rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\nu }}$

(iii)上の双線型形式は に関して不変である。 ${\displaystyle \langle \nu ,[\cdot ,\cdot ]\rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G_{\nu}}$

${\displaystyle \omega}$も閉じています。標準2 形式は、 キリロフ-コスタント-スーリアシンプレクティック形式、または余接軌道上の KKS 形式と呼ばれることもあります。${\displaystyle \omega}$

余接軌道上の余接作用は、包含によって与えられる運動量マップを持つハミルトン-作用です。 ${\displaystyle ({\mathcal {O}}_{\mu },\omega )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mu }\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}}$

• ボレル・ボット・ヴェイユの定理、コンパクト群の場合${\displaystyle G}$
• キリロフの文字式
• キリロフ軌道理論

• Kirillov, AA、軌道法に関する講義、数学の大学院研究、Vol. 64、アメリカ数学協会、ISBN  0821835300、ISBN 978-0821835302 

• 「共役軌道」。PlanetMath 。