多重複素数

数学では、多重複素数系は次のように帰納的に定義されます。C _{0 を}実数系とします。すべてのn > 0に対して、 i _{n を}-1 の平方根、つまり虚数単位とします。すると となります。多重複素数系では、 (可換性) も要求されます。するとは複素数系、は双複素数系、はコラード・セグレの三重複素数系、 はn位の多重複素数系です。 ${\displaystyle \mathbb {C} _{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} _{n+1}=\lbrace z=x+yi_{n+1}:x,y\in \mathbb {C} _{n}\rbrace }$${\displaystyle i_{n}i_{m}=i_{m}i_{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} _{1}}$${\displaystyle \mathbb {C} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} _{3}}$${\displaystyle \mathbb {C} _{n}}$

それぞれはバナッハ代数を形成する。G .ベイリー・プライスは多重複素システムの関数理論について書き、双複素システムの詳細を提供している。${\displaystyle \mathbb {C} _{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} _{2}.}$

多重複素数系はクリフォード数（クリフォード代数の元）と混同してはならない。なぜなら、クリフォードの平方根の −1 は逆交換である（クリフォードの場合、 m ≠ nのとき）。 ${\displaystyle i_{n}i_{m}+i_{m}i_{n}=0}$

多重複素数には、交換可能な –1 の平方根がいくつかあるため、とにもかかわらず、およびとにもかかわらずのように、零約数も存在します。2つの異なる多重複素数単位の積は、分割複素数のとして動作するため、多重複素数には分割複素数平面のコピーが多数含まれます。 ${\displaystyle (i_{n}-i_{m})(i_{n}+i_{m})=i_{n}^{2}-i_{m}^{2}=0}$${\displaystyle i_{n}-i_{m}\neq 0}$${\displaystyle i_{n}+i_{m}\neq 0}$${\displaystyle (i_{n}i_{m}-1)(i_{n}i_{m}+1)=i_{n}^{2}i_{m}^{2}-1=0}$${\displaystyle i_{n}i_{m}\neq 1}$${\displaystyle i_{n}i_{m}\neq -1}$${\displaystyle i_{n}i_{m}}$${\displaystyle j}$

部分代数 k = 0, 1, ..., n − 1に関して、多重複素システムは次元2 ^{n − k}である。${\displaystyle \mathbb {C} _{k}}$${\displaystyle \mathbb {C} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{k}.}$

• G. Baley Price (1991) 「多重複素空間および関数入門」、Marcel Dekker。
• Corrado Segre (1892)「複素要素と超代数的実体の実数表現」(イタリア語)、Mathematische Annalen 40:413–67 (特に 455–67 ページを参照)。