尖った空間

数学において、尖端空間または基底空間は、基点と呼ばれる特定の点を持つ位相空間です。特定の点とは、空間から取り出された特定の 1 つの点に過ぎず、名前が付けられます。名前はその後の議論で変更されることはなく、すべての操作で追跡されます。 ${\displaystyle x_{0},}$

尖端空間の写像（基底写像）は基底点を保存する連続写像である。すなわち、基底点を持つ尖端空間と基底点を持つ尖端空間との間の写像は、およびの位相に関して連続であり、かつ、であるとき基底写像である。これは通常、 ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y_{0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=y_{0}.}$

${\displaystyle f:\left(X,x_{0}\right)\to \left(Y,y_{0}\right).}$

尖端空間は代数位相幾何学、特にホモトピー理論において重要であり、ホモトピー理論では基本群などの多くの構成が基底点の選択に依存します。

尖端集合の概念はそれほど重要ではありません。いずれにせよ、尖端離散空間の場合です。

尖端空間は、部分集合が単一の点である相対位相の特殊なケースとしてとらえられることが多い。したがって、ホモトピー理論の多くは、通常、尖端空間上で展開され、その後、代数位相幾何学の相対位相へと移行される。

すべての尖端空間のクラスは、基点保存連続写像を射として持つカテゴリ Top を形成します。このカテゴリについて考える 別の方法は、コンマカテゴリ( Top ) として考えることです。ここで、 は任意の1 点空間であり、Top は位相空間のカテゴリです。(これは、Topで示されるコスライスカテゴリとも呼ばれます。) このカテゴリの対象は連続写像です。このような写像は、 の基点を取り出すものと考えることができます。( Top )の射は、次の図式が可換となるTopの射です。 _{${\displaystyle \bullet }$}${\displaystyle \{\bullet \}\downarrow }$ ${\displaystyle \{\bullet \}}$${\displaystyle \{\bullet \}/}$${\displaystyle \{\bullet \}\to X.}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \{\bullet \}\downarrow }$

図の可換性が基点を保存する条件と同等であることは容易にわかります。 ${\displaystyle f}$

尖端空間として、はTopでは零オブジェクトですが、 Topでは終端オブジェクトにすぎません。 ${\displaystyle \{\bullet \}}$_{${\displaystyle \{\bullet \}}$}

どの点が基点であるかを「忘れる」忘却関手 Top Topがあります。この関手には、各位相空間に、単一の要素が基点とされる1 点空間の互いに素な和集合を割り当てる左随伴関数があります。 _{${\displaystyle \{\bullet \}}$} ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{\bullet \}}$

• 尖端空間の部分空間は、その基点を共有する位相部分空間であり、包含写像は基点を保存します。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle X}$
• 任意の同値関係の下で、尖った空間の商を形成できます。商の基点は、商写像の下での基点の像です。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• 2 つの尖った空間の積は、 を基点とする位相積として形成できます。${\displaystyle \left(X,x_{0}\right),}$ ${\displaystyle \left(Y,y_{0}\right)}$ ${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$
• 尖端空間のカテゴリにおける余積はウェッジ和であり、これは空間の「一点和」と考えることができる。
• 2 つの尖端空間のスマッシュ積は、本質的には直積とウェッジ和の商です。スマッシュ積は、尖端空間のカテゴリを、尖端 0 球面を単位オブジェクトとする対称モノイド カテゴリに変換すると言いたいところですが、これは一般の空間では誤りです。結合条件が満たされない可能性があります。ただし、これは、コンパクトに生成された弱いハウスドルフカテゴリなど、より制限されたカテゴリの空間では当てはまります。
• 尖った空間の縮小された懸架は （同相写像を除いて）と尖った円のスマッシュ積である${\displaystyle \Sigma X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S^{1}.}$
• 被簡約サスペンションは、尖端空間のカテゴリからそれ自身への関手です。この関手は、尖端空間をそのループ空間に導く関手の左随伴です。${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega X}$

• 群のカテゴリ – 群のカテゴリと群準同型Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 距離空間のカテゴリ - 距離空間をその対象とし、距離非増加写像をその射とする数学的カテゴリPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 集合のカテゴリ – 対象が集合である数学のカテゴリ
• 位相空間のカテゴリ – オブジェクトが位相空間であり、その射が連続写像であるカテゴリPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 位相ベクトル空間のカテゴリ – 位相カテゴリ

• Gamelin, Theodore W.; Greene, Robert Everist (1999) [1983].トポロジー入門（第2版）. Dover Publications . ISBN 0-486-40680-6。
• Mac Lane, Saunders ( 1998年 9 月)。Categories for the Working Mathematician (第 2 版)。Springer。ISBN 0-387-98403-8。

• 複数の基点と群に関するmathoverflowの議論