ポストニコフシステム

代数位相幾何学の一分野であるホモトピー理論 において、ポストニコフシステム（またはポストニコフタワー）は、ホモトピー型をフィルタリングすることで位相空間を分解する方法である。これは、空間に対して、${\displaystyle X}$${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\geq 0}}$

${\displaystyle \pi _{k}(X_{n})={\begin{cases}\pi _{k}(X)&{\text{ for }}k\leq n\\0&{\text{ for }}k>n\end{cases}}}$

そして、ファイバーアイレンバーグ-マクレーン空間を持つファイバー化である一連のマップがあります。つまり、のホモトピー型を、次数でのホモトピー型が元の空間 の切断されたホモトピー型と一致する位相空間の逆システムを使用して分解しています。ポストニコフ システムは、ミハイル ポストニコフによって導入され、彼にちなんで名付けられました。 ${\displaystyle \phi _{n}:X_{n}\to X_{n-1}}$ ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$

ホワイトヘッド タワー(以下で定義)と呼ばれる同様の構成があり、この構成では、次数に対してのホモトピー型を持つ空間を持つ代わりに、これらの空間はに対してヌル ホモトピー群を持ちます。 ${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \leq n}$${\displaystyle \pi _{k}(X_{n})=0}$${\displaystyle 1<k<n}$

パス連結空間のポストニコフ系は空間の逆系である。 ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \cdots \to X_{n}\xrightarrow {p_{n}} X_{n-1}\xrightarrow {p_{n-1}} \cdots \xrightarrow {p_{3}} X_{2}\xrightarrow {p_{2}} X_{1}\xrightarrow {p_{1}} *}$

逆システムと互換性のある 写像のシーケンスで、${\displaystyle \phi _{n}:X\to X_{n}}$

1. この写像はあらゆる に対して同型性を誘導します。${\displaystyle \phi _{n}:X\to X_{n}}$${\displaystyle \pi _{i}(X)\to \pi _{i}(X_{n})}$${\displaystyle i\leq n}$
2. ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}$のために。^{[1] : 410}${\displaystyle i>n}$
3. 各写像はファイバ化であり、したがってファイバはアイレンバーグ・マクレーン空間、である。${\displaystyle p_{n}:X_{n}\to X_{n-1}}$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$

最初の 2 つの条件は、も-空間であることを意味します。より一般的には、 が-連結である場合、 は-空間であり、のすべての は縮約可能です。3 番目の条件は、一部の著者によってオプションとしてのみ含められていることに注意してください。 ${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle K(\pi _{1}(X),1)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle i<n}$

ポストニコフ系は連結CW複体上に存在し、^{[1] : 354}とその逆極限の間には弱いホモトピー同値性があるので、 ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\simeq \varprojlim {}X_{n}}$、

は、その逆極限のCW 近似であることを示しています。これらは、ホモトピー群を繰り返し消去することで CW 複体上に構築できます。ホモトピー類を表すマップがある場合、境界マップに沿ってプッシュアウトを実行し、ホモトピー類を消去できます。このプロセスはすべての に対して繰り返すことができ、ホモトピー群が消える空間が得られます。すべてのホモトピーマップを消去することで がから構築できるという事実を使用して、マップを取得します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle f:S^{n}\to X}$${\displaystyle [f]\in \pi _{n}(X)}$${\displaystyle S^{n}\to e_{n+1}}$${\displaystyle X_{m}}$${\displaystyle n>m}$${\displaystyle \pi _{n}(X_{m})}$${\displaystyle X_{n-1}}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle S^{n}\to X_{n}}$${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$

ポストニコフ タワーの主な特性の 1 つは、コホモロジー計算中に研究するのに非常に強力な、空間がCW 複合体とホモトピックであるという事実です。CW 複合体は、次元 のセルだけ異なります。 ${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \geq n+2}$

ファイバー列^[2]はホモトピー的に定義された不変量を持ち、つまり写像のホモトピー類は明確に定義されたホモトピー型を与える。 のホモトピー類はファイバーの分類写像のホモトピー類から得られる。関連する分類写像は ${\displaystyle p_{n}:X_{n}\to X_{n-1}}$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle [X]\in \operatorname {Ob} (hTop)}$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$

${\displaystyle X_{n-1}\to B(K(\pi _{n}(X),n))\simeq K(\pi _{n}(X),n+1)}$、

したがってホモトピー類はホモトピー類によって分類される ${\displaystyle [p_{n}]}$

${\displaystyle [p_{n}]\in [X_{n-1},K(\pi _{n}(X),n+1)]\cong H^{n+1}(X_{n-1},\pi _{n}(X))}$

は のn番目のポストニコフ不変量と呼ばれます。これは、アイレンバーグ-マクレーン空間への写像のホモトピー類が、関連するアーベル群の係数を持つコホモロジーを与えるためです。 ${\displaystyle X}$

ホモトピー分類の特別なケースの一つは、ファイバリングが存在する 空間のホモトピー類である。${\displaystyle X}$

${\displaystyle K(A,n)\to X\to \pi _{1}(X)}$

は、 2つの非自明なホモトピー群、、およびを持つホモトピー 型を与える。そして、前の議論から、ファイバリング写像は、${\displaystyle \pi _{1}(X)=G}$${\displaystyle \pi _{n}(X)=A}$${\displaystyle BG\to K(A,n+1)}$

${\displaystyle H^{n+1}(BG,A)}$、

これは群コホモロジー類としても解釈できる。この空間は高次の局所系と考えることができる。 ${\displaystyle X}$

ポストニコフ塔の概念的に最も単純な例の一つは、アイレンバーグ・マクレーン空間の場合である。これは、 ${\displaystyle K(G,n)}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{i}\simeq *&{\text{for }}i<n\\X_{i}\simeq K(G,n)&{\text{for }}i\geq n\end{matrix}}}$

球面上のポストニコフ塔は、最初の数項が明示的に理解できる特別なケースである。の単連結性、球面の次数理論、ホップファイバリングから最初の数個のホモトピー群が得られるので、に対して となる。したがって、 ${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle \pi _{k}(S^{2})\simeq \pi _{k}(S^{3})}$${\displaystyle k\geq 3}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\pi _{1}(S^{2})=&0\\\pi _{2}(S^{2})=&\mathbb {Z} \\\pi _{3}(S^{2})=&\mathbb {Z} \\\pi _{4}(S^{2})=&\mathbb {Z} /2.\end{matrix}}}$

そして、 はプルバックシーケンスから来ます ${\displaystyle X_{2}=S_{2}^{2}=K(\mathbb {Z} ,2)}$${\displaystyle X_{3}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{3}&\to &*\\\downarrow &&\downarrow \\X_{2}&\to &K(\mathbb {Z} ,4),\end{matrix}}}$

これは、

${\displaystyle [p_{3}]\in [K(\mathbb {Z} ,2),K(\mathbb {Z} ,4)]\cong H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })=\mathbb {Z} }$。

もしこれが自明であれば、 を意味します。しかし、そうではありません。実際、これが、厳密な無限群がホモトピー型をモデル化しない理由です。^[3]この不変量の計算にはより多くの作業が必要ですが、明示的に見つけることができます。^[4]これは、ホップファイバ から得られるの二次形式です。 の各要素が異なるホモトピー 3 型を与えることに注意してください。 ${\displaystyle X_{3}\simeq K(\mathbb {Z} ,2)\times K(\mathbb {Z} ,3)}$${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$${\displaystyle S^{3}\to S^{2}}$${\displaystyle H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })}$

ポストニコフ塔の応用の1つは、球面のホモトピー群の計算である。^[5]次元球面の場合、ヒューレヴィッツの定理を使用して、それぞれがに対して縮約可能であることを示すことができる。定理は、下側のホモトピー群が自明であることを意味するからである。任意のセールファイバに対して、ファイバ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle S_{i}^{n}}$${\displaystyle i<n}$

${\displaystyle K(\pi _{n+1}(X),n+1)\simeq F_{n+1}\to S_{n+1}^{n}\to S_{n}^{n}\simeq K(\mathbb {Z} ,n)}$。

すると、 -項 を含むホモロジースペクトル列を形成できる。${\displaystyle E^{2}}$

${\displaystyle E_{p,q}^{2}=H_{p}\left(K(\mathbb {Z} ,n),H_{q}\left(K\left(\pi _{n+1}\left(S^{n}\right),n+1\right)\right)\right)}$。

そして、 への最初の非自明な写像は、 ${\displaystyle \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)}$

${\displaystyle d_{0,n+1}^{n+1}:H_{n+2}(K(\mathbb {Z} ,n))\to H_{0}\left(K(\mathbb {Z} ,n),H_{n+1}\left(K\left(\pi _{n+1}\left(S^{n}\right),n+1\right)\right)\right)}$、

同じように書くと

${\displaystyle d_{0,n+1}^{n+1}:H_{n+2}(K(\mathbb {Z} ,n))\to \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)}$。

および の計算が簡単であれば、この写像がどのように見えるかについての情報を得ることができます。特に、同型であれば、 の計算が得られます。 の場合、 のパスファイブレーション、 のポストニコフ塔の主な特性(を与える、を与える普遍係数定理)を使用して、これを明示的に計算できます。さらに、フロイデンタールの懸垂定理により、 は に対して安定であるため、これは実際に安定ホモトピー群を与えます。 ${\displaystyle H_{n+1}\left(S_{n+1}^{n}\right)}$${\displaystyle H_{n+2}\left(S_{n+2}^{n}\right)}$${\displaystyle \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)}$${\displaystyle n=3}$${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,3)}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{4}\simeq S^{3}\cup \{{\text{cells of dimension}}\geq 6\}}$${\displaystyle H_{4}(X_{4})=H_{5}(X_{4})=0}$${\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \pi _{1}^{\mathbb {S} }}$${\displaystyle \pi _{n+k}\left(S^{n}\right)}$${\displaystyle n\geq k+2}$

同様の手法をホワイトヘッド タワー (下記) に適用して、 および を計算し、球面の最初の 2 つの非自明な安定ホモトピー群を計算できることに注意してください。 ${\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)}$${\displaystyle \pi _{5}\left(S^{3}\right)}$

古典的なポストニコフ塔に加えて、スペクトル上に構築された安定ホモトピー理論におけるポストニコフ塔の概念がある^{[6] 85-86ページ}。

スペクトルに対して、のポストニコフタワーはスペクトルのホモトピー圏における図式であり、次のように表される。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\text{Ho}}({\textbf {Spectra}})}$

${\displaystyle \cdots \to E_{(2)}\xrightarrow {p_{2}} E_{(1)}\xrightarrow {p_{1}} E_{(0)}}$、

地図付き

${\displaystyle \tau _{n}:E\to E_{(n)}}$

マップと可換です。次の 2 つの条件が満たされている場合、このタワーはポストニコフ タワーです。 ${\displaystyle p_{n}}$

1. ${\displaystyle \pi _{i}^{\mathbb {S} }\left(E_{(n)}\right)=0}$のために、${\displaystyle i>n}$
2. ${\displaystyle \left(\tau _{n}\right)_{*}:\pi _{i}^{\mathbb {S} }(E)\to \pi _{i}^{\mathbb {S} }\left(E_{(n)}\right)}$は の同型であり、${\displaystyle i\leq n}$

ここで、スペクトルの安定ホモトピー群です。すべてのスペクトルにはポストニコフ タワーがあり、このタワーは上記と同様の帰納的手順を使用して構築できます。 ${\displaystyle \pi _{i}^{\mathbb {S} }}$

CW 複合体 が与えられた場合、ホワイトヘッド タワーと呼ばれるポストニコフ タワーの双対構成があります。ホワイトヘッド タワーは、より高いホモトピー グループをすべて削除する代わりに、より低いホモトピー グループを繰り返し削除します。これは、CW 複合体のタワーによって与えられます。 ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \cdots \to X_{3}\to X_{2}\to X_{1}\to X}$、

どこ

1. 下側のホモトピー群はゼロなので、 に対しては となります。${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}$${\displaystyle i\leq n}$
2. 誘導写像はの同型写像です。${\displaystyle \pi _{i}:\pi _{i}(X_{n})\to \pi _{i}(X)}$${\displaystyle i>n}$
3. マップはファイバーを含むファイバー化です。${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n-1)}$

は単連結被覆を持つ被覆空間なので、 の普遍被覆であることに注目してください。さらに、それぞれはの普遍 -連結被覆です。 ${\displaystyle X_{1}\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{n}\to X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$

ホワイトヘッドタワー内の空間は帰納的に構築される。の高次ホモトピー群を消去して を構築すると、^[7]埋め込み が得られる。 ${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X_{n}\to K(\pi _{n+1}(X),n+1)}$

${\displaystyle X_{n+1}=\left\{f\colon I\to K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right):f(0)=p{\text{ and }}f(1)\in X_{n}\right\}}$

ある固定された基点 に対して、誘導写像は、 ${\displaystyle p}$${\displaystyle X_{n+1}\to X_{n}}$

${\displaystyle \Omega K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)\simeq K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)}$、

そしてセール線維が存在する。

${\displaystyle K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\to X_{n}\to X_{n-1}}$。

ホモトピー理論の長完全列を用いると、に対して、に対してとなり、最終的に完全列となる。 ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=\pi _{i}\left(X_{n-1}\right)}$${\displaystyle i\geq n+1}$${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=\pi _{i}(X_{n-1})=0}$${\displaystyle i<n-1}$

${\displaystyle 0\to \pi _{n+1}\left(X_{n+1})\to \pi _{n+1}(X_{n}\right)\mathrel {\overset {\partial }{\rightarrow }} \pi _{n}K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\to \pi _{n}\left(X_{n+1}\right)\to 0}$、

ここで、中央の射が同型であれば、他の2つの群はゼロである。これは包含関係を見て、アイレンバーグ・マクレーン空間がセル分解を持つことに注目すること で確認できる。${\displaystyle X_{n}\to K(\pi _{n+1}(X),n+1)}$

${\displaystyle X_{n-1}\cup \{{\text{cells of dimension}}\geq n+2\}}$; したがって、

${\displaystyle \pi _{n+1}\left(X_{n}\right)\cong \pi _{n+1}\left(K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)\right)\cong \pi _{n}\left(K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\right)}$、

望ましい結果が得られます。

ホワイトヘッドタワーの構成要素をホモトピーファイバーとして見る別の方法があります。

${\displaystyle {\text{Hofiber}}(\phi _{n}:X\to X_{n})}$

ポストニコフタワーからは、 ${\displaystyle X^{n}}$

${\displaystyle \pi _{k}(X^{n})={\begin{cases}\pi _{k}(X)&k>n\\0&k\leq n\end{cases}}}$

ホワイトヘッドタワーの双対概念は、スペクトルのカテゴリにおけるホモトピーファイバーを用いて同様に定義することができる。

${\displaystyle E\langle n\rangle =\operatorname {Hofiber} \left(\tau _{n}:E\to E_{(n)}\right)}$

これをタワーにまとめると、スペクトルの連結被覆が得られる。これはボルディズム理論で広く使われている構成である^{[8] [9] [10]。}なぜなら、無指向コボルディズムスペクトルの被覆は、他のボルディズム理論にも適用できるからである^[10]${\displaystyle M{\text{O}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M{\text{String}}&=M{\text{O}}\langle 8\rangle \\M{\text{Spin}}&=M{\text{O}}\langle 4\rangle \\M{\text{SO}}&=M{\text{O}}\langle 2\rangle \end{aligned}}}$

ストリング・ボルディズムなど。

スピン幾何学 では、群は特殊直交群の普遍被覆として構築され、ファイバ化もそうであり、ホワイトヘッドタワーの最初の項を与える。このタワーの高次の部分には物理的に関連する解釈があり、次のように読むことができる。${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\to \operatorname {Spin} (n)\to SO(n)}$

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Fivebrane} (n)\to \operatorname {String} (n)\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)}$

ここで は弦群と呼ばれるの連結被覆であり、 はファイブブレーン群と呼ばれる の連結被覆である。^{[11] [12]}${\displaystyle \operatorname {String} (n)}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$${\displaystyle \operatorname {Fivebrane} (n)}$${\displaystyle 7}$

• アダムススペクトル列
• アイレンバーグ・マクレーン空間
• CWコンプレックス
• 妨害理論
• 安定ホモトピー理論
• 球面のホモトピー群
• 上位グループ

• ポストニコフ、ミハイル・M. (1951)。「ホモトピー不変量による空間のホモロジー群の決定」。SSSR国立アカデミー紀要。76 : 359–362。
• Maxim, Laurențiu. 「ホモトピー理論と応用に関する講義ノート」( PDF) www.math.wisc.edu .
• ホモトピー不変量による空間の第二ホモロジー群とコホモロジー群の決定 - ポストニコフ不変量のわかりやすい例を示します
• ハッチャー、アレン（2002）。代数的位相幾何学。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-79540-1。
• Zhang. 「ポストニコフタワー、ホワイトヘッドタワーとその応用（手書きのメモ）」（PDF）。www.math.purdue.edu。 2020年2月13日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。