フレアーホモロジー

数学において、フロイヤーホモロジーとは、シンプレクティック幾何学と低次元位相幾何学を研究するためのツールである。フロイヤー ホモロジーは、有限次元モース ホモロジーの無限次元類似体として生じる新しい不変量である。 アンドレアス フロイヤーは、シンプレクティック幾何学におけるアーノルド予想の証明において、現在ではシンプレクティック フロイヤー ホモロジーと呼ばれる最初のバージョンのフロイヤー ホモロジーを導入した。フロイヤーは、シンプレクティック多様体のラグランジアン 部分多様体に関する密接に関連した理論も開発した。3 番目の構成もフロイヤーによるもので、ヤン–ミルズ関数を使用して、ホモロジー群を 3 次元閉多様体に関連付ける。これらの構成とその派生は、シンプレクティック多様体と接触多様体、および (滑らかな) 3 次元と 4 次元多様体の位相幾何学の現在の研究において基本的な役割を果たしている。

フロアーホモロジーは、通常、関心のあるオブジェクトに無限次元多様体とその上の実数値関数を関連付けることによって定義されます。シンプレクティックバージョンでは、これはシンプレクティック作用関数を持つシンプレクティック多様体の自由ループ空間です。3次元多様体の (インスタントン) バージョンでは、これはチャーン-サイモンズ関数を持つ3次元多様体上のSU(2)接続の空間です。大まかに言えば、フロアーホモロジーは、無限次元多様体上の関数のモースホモロジーです。フロアー連鎖複体は、関数の臨界点(または場合によっては臨界点の特定の集合)によって張られるアーベル群から形成されます。連鎖複体の微分は、臨界点の固定されたペア (またはその集合) を接続する関数の勾配ベクトル場のフローラインを数えることによって定義されます。フロアーホモロジーは、この連鎖複体の ホモロジーです。

勾配フローライン方程式は、フローアーのアイデアがうまく適用できる状況では、典型的には幾何学的に意味があり、解析的に扱いやすい方程式です。シンプレクティックフローアーホモロジーの場合、ループスペース内のパスの勾配フロー方程式は、円筒（ループのパスの全空間）から対象のシンプレクティック多様体への写像のコーシー–リーマン方程式（の摂動バージョン）です。解は擬正則曲線として知られています。次に、グロモフのコンパクト性定理を使用して、微分を定義するフローラインの数が有限であるため、微分が明確に定義され、ゼロに二乗されることを示します。このようにして、フローアーホモロジーが定義されます。インスタントンフローアーホモロジーの場合、勾配フロー方程式は、実数直線と交差する3次元多様体上のヤン–ミルズ方程式とまったく同じです。

シンプレクティック フローアー ホモロジー (SFH) は、シンプレクティック多様体とその非退化シンプレクト同相写像に関連付けられたホモロジー理論です。シンプレクティック同相写像がハミルトン写像である場合、ホモロジーは、シンプレクティック多様体の自由ループ空間(の普遍被覆)上のシンプレクティック作用関数を調べることで生じます。SFH は、シンプレクティック同相写像の ハミルトン同位体に対して不変です。

ここで、非退化とは、1 がシンプレクト同相写像のどの不動点においても導関数の固有値ではないことを意味します。この条件は、不動点が孤立していることを意味します。SFH は、そのようなシンプレクト同相写像の不動点によって生成される鎖複体のホモロジーです。ここで、微分は、実数直線とシンプレクト同相写像の写像トーラスとの積における特定の擬正則曲線を数えます。これ自体は、元の多様体より次元が 2 大きいシンプレクティック多様体です。ほぼ複素構造の適切な選択では、その中の (有限エネルギーの) 穴が開いた正則曲線は、シンプレクト同相写像の不動点に対応する写像トーラスのループに漸近する円筒形の端を持ちます。相対インデックスは、固定点のペア間で定義でき、微分は、相対インデックス 1 の正則円筒の数を数えます。

コンパクト多様体のハミルトンシンプレクト同相写像のシンプレクティック フロイヤー ホモロジーは、基礎となる多様体の特異ホモロジーと同型です。したがって、その多様体のベッティ数の和は、非退化シンプレクト同相写像の固定点の数に対するアーノルド予想の 1 つのバージョンによって予測される下限をもたらします。ハミルトンシンプレクト同相写像の SFH には、量子コホモロジーと同等の変形カップ積である 1組のパンツ積もあります。この積のバージョンは、非正確なシンプレクト同相写像に対しても存在します。

多様体 M の余接バ​​ンドルの場合、フロアー ホモロジーはその非コンパクト性のためハミルトニアンの選択に依存します。無限遠で 2 次となるハミルトニアンの場合、フロアー ホモロジーはM の自由ループ空間の特異ホモロジーです(このステートメントのさまざまなバージョンの証明は、Viterbo、Salamon–Weber、Abbondandolo–Schwarz、および Cohen によるものです)。余接バンドルのフロアー ホモロジーには、基になる多様体のループ空間のホモロジーに対する 弦位相演算に対応する、より複雑な演算があります。

シンプレクティック版のフレアーホモロジーは、ホモロジーミラー対称性予想の定式化において重要な役割を果たします。

1996年にS. Piunikhin、D. Salamon、M. Schwarzは、フレアーホモロジーおよび量子コホモロジーの関係についての結果をまとめ、以下のように定式化した。Piunikhin、Salamon、Schwarz (1996)

• 半正値シンプレクティック多様体 ( M ,ω)のループ空間のフレアーコホモロジー群は、被覆変換群に関連付けられた適切なノビコフ環によってテンソル化されたMの通常のコホモロジーに自然に同型です。
• この同型性は、 M のコホモロジー上の量子カップ積構造と、フロイヤーホモロジー上のパンツ積を絡み合わせます。

上記の半正値条件とシンプレクティック多様体Mのコンパクト性は、ノビコフ環を得るため、およびフレアーホモロジーおよび量子コホモロジーの両方の定義に必要です。半正値条件は、次のいずれかが成立することを意味します (3 つのケースは互いに素ではないことに注意してください)。

• ${\displaystyle \langle [\omega ],A\rangle =\lambda \langle c_{1},A\rangle }$π ₂ ( M ) 内の任意のAに対して、λ≥0 ( Mは単調)。
• ${\displaystyle \langle c_{1},A\rangle =0}$π ₂ ( M )内のすべてのAに対して。
• によって定義される最小のチャーン数 N  ≥ 0はn  − 2以上です。${\displaystyle \langle c_{1},\pi _{2}(M)\rangle =N\mathbb {Z} }$

シンプレクティック多様体Mの量子コホモロジー群は、ノビコフ環Λとの通常のコホモロジーのテンソル積として定義できる。つまり、

${\displaystyle QH_{*}(M)=H_{*}(M)\otimes \Lambda .}$

このフロイヤーホモロジーの構成は、モース理論と擬正則曲線のアイデアから提供される、 M上の概複素構造の選択に対する独立性とフロイヤーホモロジーへの同型性を説明しますが、その背景としてホモロジーとコホモロジー間の ポアンカレ双対性を認識する必要があります。

閉じた 3 次元多様体 に関連する、同値なフレアー ホモロジーがいくつかあります。それぞれが 3 種類のホモロジー群を生成し、正確な三角形に適合します。3 次元多様体の結び目は、各理論の鎖複体に対するフィルタリングを誘導し、その鎖ホモトピー型は結び目不変量です。(それらのホモロジーは、組み合わせ的に定義されたコバノフ ホモロジーと同様の形式的特性を満たします。)

これらのホモロジーは、4 次元多様体のドナルドソン不変量とザイバーグ不変量、およびシンプレクティック 4 次元多様体のタウベスのグロモフ不変量と密接に関連しています。これらの理論に対応する 3 次元多様体ホモロジーの微分は、3次元多様体交差R上の関連する微分方程式 (それぞれ、ヤン–ミルズ、ザイバーグ–ウィッテン、コーシー–リーマン) の解を検討することによって研究されます。3 次元多様体のフレアー ホモロジーは、境界のある 4 次元多様体の相対不変量のターゲットでもあり、境界に沿って有界 3 次元多様体を貼り合わせて得られる閉じた 4 次元多様体の不変量に​​貼り合わせ構成によって関連付けられます。 (これは位相的量子場理論の概念と密接に関係しています。) ヒーガード・フレアーホモロジーでは、3次元多様体ホモロジーが最初に定義され、その後、閉じた4次元多様体の不変量がそれに基づいて定義されました。

3 次元多様体ホモロジーには、境界付き 3 次元多様体への拡張もあります。縫合フロアー ホモロジー (Juhász 2008) と境界付きフロアー ホモロジー (Lipshitz、Ozsváth、Thurston 2008) です。これらは、境界付き 2 つの 3 次元多様体の境界に沿った和集合として記述される 3 次元多様体のフロアー ホモロジーの公式を接着することにより、閉じた 3 次元多様体の不変量に​​関連付けられます。

3次元多様体フロイヤーホモロジーも、 3 次元多様体が接触構造を備えている場合、ホモロジーの特別な元を備えています。Kronheimer と Mrowka は、Seiberg–Witten の場合に初めて接触元を導入しました。Ozsvath と Szabo は、接触多様体とオープンブック分解の間の Giroux の関係を使用して、Heegaard Floer ホモロジーに対して接触元を構築しました。これは、埋め込み接触ホモロジーの空集合のホモロジー類として無料で提供されます。(埋め込み接触ホモロジーは、他の 3 つとは異なり、定義に接触構造が必要です。埋め込み接触ホモロジーについては、Hutchings (2009) を参照してください。)

これらの理論はすべて、先験的に相対的な次数付けを備えています。これらは、Kronheimer と Mrowka (SWF の場合)、Gripp と Huang (HF の場合)、および Hutchings (ECH の場合) によって、絶対的な次数付け (向き付けられた 2 平面体のホモトピー類による) に引き上げられました。Cristofaro-Gardiner は、ECH と Seiberg–Witten Floer コホモロジー間の Taubes の同型性がこれらの絶対的な次数付けを保存することを示しました。

これは、フローアー自身が導入したドナルドソン理論に関連する3次元多様体不変量です。これは、3次元多様体（より正確には、ホモロジー3次元球面）上の主SU(2)バンドル上の接続空間上のチャーン-サイモンズ関数を使用して得られます。その臨界点は平坦接続であり、そのフローラインはインスタントン、つまり実数直線と交差する3次元多様体上の反自己双対接続です。インスタントンフローアーホモロジーは、フローアーホモロジーのオイラー特性がキャソン不変量と一致するため、キャソン不変量の一般化と見なすことができます。

フローアーがフローアーホモロジーを導入して間もなく、ドナルドソンはコボルディズムが写像を誘導することに気づきました。これは、位相量子場理論として知られるようになった構造の最初の例でした。

ザイバーグ・ウィッテン・フローアーホモロジーまたはモノポール・フローアーホモロジーは、滑らかな3 次元多様体（スピン^c構造を備える）のホモロジー理論です。これは、3 次元多様体上の U(1) 接続上のチャーン・サイモンズ・ディラック関数のモースホモロジーとして見ることができます。関連する勾配フロー方程式は、実数直線と交差した 3 次元多様体上のザイバーグ・ウィッテン方程式に対応します。同様に、連鎖複体の生成元は、3 次元多様体と実数直線の積上のザイバーグ・ウィッテン方程式（モノポールと呼ばれる）の並進不変解、および 3 次元多様体と実数直線の積上のザイバーグ・ウィッテン方程式の微分カウント解であり、これらは無限大と負の無限大で不変解に漸近します。

セイバーグ・ウィッテン・フローアーホモロジーの1つのバージョンは、ピーター・クロンハイマーとトマシュ・ムロウカによるモノグラフ「Monopoles and Three-manifolds」で厳密に構築され、そこではモノポールフローアーホモロジーとして知られています。タウベスは、それが埋め込み接触ホモロジーと同型であることを示しました。有理ホモロジー3次元球面に対するSWFの代替構成は、マノレスキュ (2003) とフロイショフ (2010) によって与えられており、それらは一致することが知られています。

ヒーガード・フローアーホモロジー // ^{ⓘ は}、スピン^cPeter OzsváthとZoltán Szabóによる不変量ですヘーガード図を使用して計算されます。Kutluhan、Lee、Taubes (2020) は、ヘーガード フレアー ホモロジーが Seiberg–Witten フレアー ホモロジーに同型であることの証明を発表し、Colin、Ghiggini、Honda (2011) は、ヘーガード フレアー ホモロジーのプラス バージョン (逆方向) が埋め込み接触ホモロジーに同型であることの証明を発表しました。

3次元多様体の結び目は、ヒーガード・フレアーホモロジー群にフィルタリングを誘導し、フィルタリングされたホモトピー型は、結び目フレアーホモロジーと呼ばれる強力な結び目不変量です。これは、アレクサンダー多項式を分類します。結び目フレアーホモロジーは、Ozsváth & Szabó (2​​004) によって定義され、Rasmussen (2003) によって独立に定義されました。結び目の種数を検出することが知られています。ヒーガード分割のグリッド図を使用して、結び目フレアーホモロジーは、Manolescu、Ozsváth & Sarkar (2009) によって組み合わせ構成されました。

結び目上に分岐した S^3 の二重被覆の Heegaard Floer ホモロジーは、スペクトル列によってKhovanov ホモロジーと関連付けられます(Ozsváth & Szabó 2005)。

ヒーガード・フローアー・ホモロジーの「帽子」バージョンは、Sarkar & Wang (2010) によって組み合わせ論的に記述されました。ヒーガード・フローアー・ホモロジーの「プラス」バージョンと「マイナス」バージョン、および関連する Ozsváth–Szabó 4 次元多様体不変量も、組み合わせ論的に記述できます (Manolescu、Ozsváth、Thurston 2009)。

埋め込み接触ホモロジー は、マイケル・ハッチングスによるもので、3次元多様体（ザイバーグ・ウィッテン・フレアー・ホモロジーにおけるスピン^c構造の選択に対応する、特別な第2ホモロジー類を持つ）の不変量であり、（クリフォード・タウベスの研究により）ザイバーグ・ウィッテン・フレアー・コホモロジーに同型であり、その結果（Kutluhan、Lee & Taubes 2020 および Colin、Ghiggini & Honda 2011 によって発表された研究により）ヒーガード・フレアー・ホモロジー（逆方向）のプラスバージョンに同型である。これは、ザイバーグ・ウィッテン不変量 と同値であることが知られているタウベスのグロモフ不変量の、閉じたシンプレクティック4次元多様体から特定の非コンパクトシンプレクティック4次元多様体（つまり、接触3次元多様体クロス R）への拡張と見なすことができる。その構成は、特定の閉じたレーブ軌道の集合によって生成され、その微分によって特定のレーブ軌道の集合に端がある特定の正則曲線が数えられるという点で、シンプレクティック場理論に類似しています。SFT と異なるのは、それを生成するレーブ軌道の集合に関する技術的な条件、および与えられた端を持つフレドホルム指数1 のすべての正則曲線を数えるのではなく、 ECH 指数によって与えられた位相条件も満たすものだけを数えるという点です。これは、特に、考慮される曲線が (主に) 埋め込まれていることを意味します。

接触 3 次元多様体は任意の接触形式に対して閉じたレーブ軌道を持つというWeinstein予想は、 ECH が非自明である任意の多様体に対して成り立ち、ECH に密接に関連する技術を使用して Taubes によって証明されました。この研究の拡張により、ECH と SWF 間の同型性がもたらされました。ECH の多くの構成 (その明確性を含む) は、この同型性に依存しています (Taubes 2007)。

ECH の接触要素は特に優れた形式を持ち、レーブ軌道の空の集合に関連付けられたサイクルです。

埋め込み接触ホモロジーの類似物は、面（境界を持つ場合もある）のシンプレクティック フレアー ホモロジーの一般化として、周期フレアー ホモロジーとして知られている。より一般的には、3 次元多様体上の任意の安定ハミルトン構造に関して定義できる。接触構造と同様に、安定ハミルトン構造は非ゼロのベクトル場（レーブ ベクトル場）を定義し、ハッチングスとタウベスは、安定ハミルトン構造に対してワインスタイン予想の類似物、つまり安定ハミルトン構造は常に閉じた軌道を持つ（2 次元トーラスの写像トーラスでない限り）ことを証明した。

シンプレクティック多様体の 2 つの横方向に交差するラグランジアン部分多様体のラグランジアン フレアー ホモロジーとは、2 つの部分多様体の交差点によって生成される鎖複合体のホモロジーであり、その微分数は擬正則 ホイットニー ディスクを数えます。

シンプレクティック多様体の3つのラグランジアン部分多様体L ₀、L ₁、L ₂が与えられた場合、ラグランジアン・フレアーホモロジー上に積構造が存在する。

${\displaystyle HF(L_{0},L_{1})\otimes HF(L_{1},L_{2})\rightarrow HF(L_{0},L_{2}),}$

これは、正則三角形（つまり、頂点と辺が適切な交点とラグランジアン部分多様体にマッピングされる三角形の正則写像）を数えることによって定義されます。

このテーマに関する論文は、Fukaya、Oh、Ono、Ohta が執筆予定です。Lalonde と Cornea による「クラスター ホモロジー」に関する最近の研究では、これに対する別のアプローチが提示されています。一対のラグランジアン サブマニフォールドの Floer ホモロジーは、常に存在するとは限りません。存在する場合、ハミルトン同位体を使用して一方のラグランジアンを他方から同位体化することが妨げられます。

数種類のフレアー ホモロジーは、ラグランジュ フレアー ホモロジーの特殊なケースです。M のシンプレクティック フレアー ホモロジーは、周囲多様体が M と M の交差であり、ラグランジュ部分多様体がシンプレクティック フレアー ホモロジーの対角線とグラフであるラグランジュ フレアー ホモロジーのケースとして考えることができます。ヒーガード フレアー ホモロジーの構築は、3 次元多様体のヒーガード分割を使用して定義された全実部分多様体に対するラグランジュ フレアー ホモロジーの変形に基づいています。Seidel–Smith と Manolescu は、ラグランジュ フレアー ホモロジーの特定のケースとしてリンク不変量を構築しました。これは、組み合わせ的に定義されたリンク不変量 であるコバノフ ホモロジーと推測的に一致します。

アティヤ・フローアー予想は、インスタントン・フローアー・ホモロジーをラグランジュ交差フローアー・ホモロジーと結び付けます。^[1]曲面に沿ったヒーガード分割を持つ 3 次元多様体 Y を考えます。すると、ゲージ同値性を法とした 上の平坦接続の空間は、 6 g  − 6次元のシンプレクティック多様体になります( gは曲面 の種数) 。ヒーガード分割では、 は2 つの異なる 3 次元多様体を境界付けます。境界を持つ各 3 次元多様体上のゲージ同値性を法とした平坦接続の空間は、 をラグランジュ部分多様体として に埋め込みます。ラグランジュ交差フローアー・ホモロジーを考えることができます。あるいは、3 次元多様体 Y のインスタントンフローアー・ホモロジーを考えることができます。アティヤ・フローアー予想は、これら 2 つの不変量が同型であることを主張しています。 ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle M(\Sigma )}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle M(\Sigma )}$

マキシム・コンツェビッチのホモロジーミラー対称性予想は、カラビ・ヤウ多様体におけるラグランジアンのラグランジアン・フレアーホモロジーと、ミラーカラビ・ヤウ多様体上の連接層のExt 群との間の等式を予測する。この状況では、フレアーホモロジー群ではなく、フレアー連鎖群に焦点を合わせる必要がある。パンツ積と同様に、擬似正則n角形を使用して多重合成を構築することができる。これらの合成は -関係を満たし、シンプレクティック多様体内のすべての (遮られていない) ラグランジアン部分多様体のカテゴリを -カテゴリ(深谷カテゴリと呼ばれる)にする。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle A_{\infty}}$${\displaystyle A_{\infty}}$

より正確に言うと、ラグランジアンにグレーディングとスピン構造という追加データを加えなければなりません。これらの構造を選択できるラグランジアンは、基礎となる物理学に敬意を表してブレーンと呼ばれることがよくあります。ホモロジーミラー対称性予想は、カラビ-ヤウの深谷カテゴリとミラーのコヒーレント層の有界導来カテゴリの基礎となるdg カテゴリの間に導来森田同値の一種があり、その逆もまた同様であると述べています。 ${\displaystyle X}$

これは接触多様体とそれらの間のシンプレクティック共形性の不変量であり、もともとYakov Eliashberg、Alexander Givental、Helmut Hoferによるものである。シンプレクティック場理論とその部分複合体である有理シンプレクティック場理論および接触ホモロジーは、選択された接触形式のレーブベクトル場の閉軌道によって生成される微分代数のホモロジーとして定義される。微分は接触多様体上の円筒内の特定の正則曲線を数えるが、自明な例は閉じたレーブ軌道上の（自明な）円筒の分岐被覆である。さらに、円筒ホモロジーまたは線型接触ホモロジー（表記法の乱用により、単に接触ホモロジーと呼ばれることもある）と呼ばれる線型ホモロジー理論が含まれ、その連鎖群は閉軌道によって生成されるベクトル空間であり、その微分は正則円筒のみを数える。しかし、円筒接触ホモロジーは、正則円板の存在と、規則性および横断性の欠如により、常に定義されるわけではありません。円筒接触ホモロジーが意味をなす状況では、自由ループ空間上の作用関数の (わずかに修正された)モースホモロジーとして見ることができ、ループ上の接触形式アルファの積分にループを送ります。レーブ軌道は、この関数の臨界点です。

SFT は、相対接触ホモロジーとして知られる接触多様体のルジャンドリアン部分多様体の相対不変量も関連付けます。その生成元はレーブ弦です。レーブ弦はラグランジアン上で始まり、終わるレーブベクトル場の軌跡であり、その微分は接触多様体のシンプレクシゼーションにおける特定の正則ストリップを数え、その端は与えられたレーブ弦に漸近します。

SFT では、接触多様体は、シンプレクティック多様体のトーラスをシンプレクティック同相写像に写像することで置き換えることができます。円筒接触ホモロジーは明確に定義されており、シンプレクティック同相写像の冪のシンプレクティック フレアー ホモロジーによって与えられますが、(有理) シンプレクティック場理論と接触ホモロジーは、一般化されたシンプレクティック フレアー ホモロジーとして考えることができます。ただし、シンプレクティック同相写像が時間依存ハミルトニアンの時間 1 写像である重要なケースでは、これらの高次の不変量に​​はそれ以上の情報は含まれないことが示されました。

あるオブジェクトのフロイヤーホモロジー理論を構築する方法として考えられるのは、通常のホモロジーが目的のフロイヤーホモロジーであるような関連スペクトルを構築することである。そのようなスペクトルに他のホモロジー理論を適用すると、他の興味深い不変量が得られる可能性がある。この戦略は、ラルフ・コーエン、ジョン・ジョーンズ、グレアム・シーガルによって提案され、マノレスク (2003) によってセイバーグ・ウィッテン・フロイヤーホモロジーの特定のケースで、またコーエンによって余接束のシンプレクティックフロイヤーホモロジーの特定のケースで実行された。このアプローチは、マノレスクが 2013 年にピン (2) 同値なセイバーグ・ウィッテンフロイヤーホモロジーを構築した基礎となり、これによってマノレスクは 5 次元以上の多様体に対する三角分割予想を反証した。

これらのフレアーホモロジーの多くは完全かつ厳密に構築されておらず、多くの推測上の同値性は証明されていません。関連する分析、特に擬正則曲線のコンパクト化された モジュライ空間の構築には技術的な困難が伴います。ホファーは、クリス・ウィソッキおよびエドゥアルト・ゼンダーと共同で、多様体の理論と「一般フレドホルム理論」を通じて新しい分析的基礎を開発しました。多様体プロジェクトはまだ完全には完了していませんが、いくつかの重要なケースでは、より簡単な方法を使用して横断性が示されました。

フロアー ホモロジーは、一般的に明示的に計算するのが困難です。たとえば、すべての表面シンプレクティック フロアー ホモロジーは、2007 年にようやく完成しました。この点では、ヒーガード フロアー ホモロジーは成功例です。研究者は、その代数構造を利用して、さまざまなクラスの 3 次元多様体について計算し、理論の大部分を計算するための組合せアルゴリズムを発見しました。また、既存の不変量や構造にも関連しており、3 次元多様体トポロジーに関する多くの洞察が得られました。

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