相対的接触相同性

数学において、シンプレクティック位相幾何学の分野において、相対接触ホモロジーとは、選択された部分空間を伴う空間の不変量である。すなわち、接触多様体とそのルジャンドリアン部分多様体の 1 つに関連付けられている。これは、シンプレクティック場理論として知られるより一般的な不変量の一部であり、擬正則曲線を使用して定義される。

最も単純なケースでは、接触 3 次元多様体内のルジャンドリアン結び目の不変量が得られます。相対接触ホモロジーは、「古典的な不変量」、つまりサーストン・ベネキン数と回転数(滑らかな結び目のクラス内) よりも厳密に強力な不変量であることが示されています。

ユーリ・チェカノフは、ルジャンドリアン結び目に対する相対接触ホモロジーの純粋に組み合わせ的なバージョン、すなわち相対接触ホモロジーの結果を再現する組み合わせ的に定義された不変量を開発しました。

タマス・カルマンは、ルジャンドリアン結び目のループに対する組合せ不変量を開発し、これによって滑らかな結び目の空間の 基本群とルジャンドリアン結び目の空間の基本群の違いを検出しました。

Lenhard Ngの研究では、相対 SFT を使用して滑らかな結び目の不変量を得ています。位相 3 次元多様体内の結び目またはリンクは、接触 5 次元多様体内のレジャンドゥリアン トーラスを生じます。これは、周囲の 3 次元多様体の単位余接バンドル内の結び目に対する単位余法線バンドルで構成されます。このペアの相対 SFT は微分次数代数です。Ng は、ホモロジーの 0 次部分の組み合わせバージョンから強力な結び目不変量を導出します。これは、整数係数を持つ多変数ローラン多項式の特定の環上の有限に提示されたテンソル代数の形式を持ちます。この不変量は、（少なくとも）最大 10 回の交差を持つ結び目に異なる不変量を割り当て、アレクサンダー多項式と A 多項式を支配します（したがって、結び目がないものと区別します）。

• 相対的相同性

• Lenhard Ng、コノーマルバンドル、接触ホモロジー、結び目不変量。
• Tobias Ekholm、John Etnyre、Michael G. Sullivan、「$R^{2n+1}$ の Legendrian 部分多様体と接触ホモロジー」
• ユーリ・チェカノフ「レジェンドリアンリンクの微分代数」。 Inventions Mathematicae 150 (2002)、441-483 ページ。
• Tamas Kalman によるレジェンドリアン結び目の接触ホモロジーおよび 1 パラメータ族