シンプレクティゼーション

数学において、接触多様体のシンプレクティゼーションは、それに自然に対応する シンプレクティック多様体です。

を接触多様体とし、 とする。集合 ${\displaystyle (V,\xi )}$${\displaystyle x\in V}$

${\displaystyle S_{x}V=\{\beta \in T_{x}^{*}V-\{0\}\mid \ker \beta =\xi _{x}\}\subset T_{x}^{*}V}$

におけるすべての非零1形式の和集合で、接触面を核とする。和集合 ${\displaystyle x}$${\displaystyle \xi_{x}}$

${\displaystyle SV=\bigcup _{x\in V}S_{x}V\subset T^{*}V}$

は、の余接バンドルのシンプレクティック部分多様体であり、したがって自然なシンプレクティック構造を持ちます。 ${\displaystyle V}$

射影は、 構造群を持つ上の主バンドルの構造をシンプレクティゼーションに提供します。 ${\displaystyle \pi :SV\to V}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}\equiv \mathbb {R} -\{0\}}$

接触構造が 接触形式によって共配向されている場合、 と同じ共配向を与える形式のみが考慮される別のバージョンのシンプレクティゼーションがあります。 ${\displaystyle \xi}$ ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle \alpha}$

${\displaystyle S_{x}^{+}V=\{\beta \in T_{x}^{*}V-\{0\}\,|\,\beta =\lambda \alpha ,\,\lambda >0\}\subset T_{x}^{*}V,}$

${\displaystyle S^{+}V=\bigcup _{x\in V}S_{x}^{+}V\subset T^{*}V.}$

バンドルが自明な場合のみ、 は共方向付け可能であることに注意してください。このバンドルの任意のセクションは、接触構造の共方向付け形式です。 ${\displaystyle \xi}$${\displaystyle \pi :SV\to V}$