秩序理論の用語集

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これは、順序、格子、および領域理論の分野に関連する数学のさまざまな分野で使用される用語の用語集です。順序のトピックの構造化されたリストも利用できることに注意してください。その他の役立つリソースとしては、次の概要記事があります。

• 半順序の完全性
• 分配法則順序理論
• poset 間の関数の保存特性。

以下では、半順序は通常、そのキャリア集合によってのみ表される。文脈から意図された意味が明らかである限り、事前の説明がなくても、対応する関係記号を表すのに十分である。さらに、 < は、${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle \,\leq .}$

• 非循環。二項関係が「循環」を含まない場合、その関係は非循環である。つまり、その推移閉包は反対称である。^[1]
• 随伴。ガロア接続 を参照してください。
• アレクサンドロフ位相。順序付き集合Pに対して、任意の上集合Oはアレクサンドロフ開集合である。逆に、開集合の任意の交差が開集合である場合、位相はアレクサンドロフである。
• 代数的 poset。posetが代数的であるのは、その基底がコンパクト要素である場合です。
• アンチチェーン。アンチチェーンは、2 つの要素が比較できないポセットです。つまり、 x ≤ yとなる2 つの異なる要素xとyは存在しません。言い換えると、アンチチェーンの順序関係は、単に恒等関係です。
• 関係を近似します。関係の way-below を参照してください。
• 反対称関係。集合X上の同次関係 R は、 X内のすべての要素x、yに対して、 x R yかつy R xならばx = y が成り立つ場合、反対称であるという。
• 反調子。半順序集合PとQ の間の反調子関数fは、Pのすべての元x、yに対して、x ≤ y ( P内) であればf ( y ) ≤ f ( x ) ( Q内) が成り立つような関数です。この特性の別名は順序反転です。解析学では、全順序が存在する場合、このような関数は単調減少と呼ばれることがよくありますが、これは全順序以外のものを扱う場合にはあまり便利な説明ではありません。この双対概念は単調または順序保存と呼ばれます。
• 非対称関係。集合X上の同次関係 R は、 X内のすべての要素x、 yに対して、 x R y がy R x でないことを意味する場合、非対称です。
• 原子。最小要素 0 を持つ poset P内の原子は、0 と等しくないすべての要素の中で最小の要素です。
• 原子。最小要素が 0 である原子ポスセットPとは、Pのゼロでないすべての要素xに対して、 a ≤ xとなるPの原子aが存在するポスセットです。

• 基数。連続 poset を参照してください。
• 二項関係。2つの集合間の二項関係は、それらの直積の部分集合である。${\displaystyle X{\text{ と }}Y}$ ${\displaystyle X\times Y.}$
• ブール代数。ブール代数は、最小元が 0 で最大元が 1 である分配格子であり、すべての元xには補元 ¬ xがあり、 x ∧ ¬ x = 0 かつx ∨ ¬ x = 1 となります。
• 有界 poset。有界poset は、最小元と最大元を持つものです。
• 有界完全。ある上限を持つ部分集合のすべてが、そのような上限の最小値も持つ場合、その poset は有界完全です。双対概念は一般的ではありません。

• チェーン。チェーンは、完全に順序付けられた集合、または poset の完全に順序付けられた部分集合です。全順序も参照してください。
• チェーン完全。すべてのチェーンが最小の上限を持つ、部分的に順序付けられた集合。
• 閉包演算子。順序集合P上の閉包演算子は、単調かつべき等であり、 P内のすべてのxに対してC ( x ) ≥ x を満たす関数C  : P → Pです。
• コンパクト。posetの要素xがコンパクトであるとは、それがそれ自身よりずっと下、つまりx << xである場合です。また、そのようなx は有限であるとも言われます。
• 比較可能。 poset Pの2 つの要素xとy は、 x ≤ yまたはy ≤ xのいずれかの場合に比較可能です。
• 比較可能性グラフ。poset ( P , ≤) の比較可能性グラフは、頂点集合Pを持ち、その辺が≤ (特に、その反射的簡約 < ) の下で比較可能なPの異なる要素のペアであるグラフです。
• 完全なブール代数。完全な格子であるブール代数。
• 完全な Heyting 代数。完全な格子であるHeyting 代数は、完全な Heyting 代数と呼ばれます。この概念は、フレームとロケールの概念と一致します。
• 完全格子。完全格子は、任意の（おそらく無限の）接合（上限）と接合（下限）が存在する半集合です。
• 完全半順序。完全半順序、またはcpo は、最小の要素を持つ有向完全半順序(qv)です
• 完全な関係。接続された関係の同義語。
• 完全半格子。完全半格子の概念はさまざまな方法で定義されます。完全性 (順序理論)の記事で説明したように、すべての上限またはすべての下限のいずれかが存在する任意の poset は、すでに完全格子です。したがって、完全半格子の概念は、完全格子の概念と一致するように使用されることがあります。他の場合には、完全 (meet-) 半格子は、境界付き完全 cposとして定義されます。これは、すでに完全格子ではない poset の最も完全なクラスであると言えます。
• 完全に分配的な格子。任意の結合が任意の会合に分配される場合、完全な格子は完全に分配的です。
• 完成。 poset の完成とは、poset を完全な格子に順序付けして埋め込むことです。
• カットによる完成。デデキント・マクニール完成と同義語。
• 連結関係。集合X上の全関係または完全な関係R は、 Xのすべての要素x、 yに対して、 x R yまたはy R xの少なくとも 1 つがという特性を持ちます。
• 連続な poset。posetが連続であるとは、基底、つまりPのサブセットB を持ち、 Pのすべての要素xが { y in B | y << x }に含まれる有向集合の上限となる場合です。
• 連続関数。スコット連続を参照してください。
• 逆。順序 < の逆 <° とは、y < x のときは常に x <° y となることです。
• 被覆。 x < yかつx < z < yとなるPの元zが存在しないとき、 poset Pの元y はPの元x を被覆する ( xの被覆と呼ばれる)と言われます。
• cpo。完全半順序を参照してください。

• dcpo。有向完全半順序を参照してください。
• デデキント-マクニール完備化。半順序集合のデデキント-マクニール完備化は、それを含む最小の完全格子である。
• 稠密な順序。稠密な半集合Pとは、 P内のすべての要素xとy（ x < y ）に対して、 P内に要素z（ x < z < y ）が存在する集合です。 PのサブセットQがP内で稠密であるとは、 P内任意の要素x < yに対して、 Q内に要素z （ x < z < y ）が存在する場合です。
• 乱れ。集合の要素の順列で、どの要素も元の位置には現れない。
• 有向集合。poset Pの空でない部分集合X は、 Xのすべての要素xとyに対して、 x ≤ zかつy ≤ zとなるXの要素zが存在する場合、有向と呼ばれます。この双対概念は、フィルター済みと呼ばれます。
• 有向完全半順序。 poset Dのすべての有向部分集合に上限がある場合、 poset Dは有向完全 poset またはdcpoであると言われます。
• 分配的。束L は、 L内のすべてのx、 y、 zに対して、 x ∧ ( y ∨ z ) = ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z )が成り立つ。この条件は、その順序双対と同値であることが知られています。 meet- semilatticeが分配的であるとは、すべての要素a、 b、 xに対して、 a ∧ b ≤ x が、 a' ∧ b' = xとなる要素a' ≥ aおよびb' ≥ bの存在を意味するときです。完全分配的も参照してください。
• ドメイン。ドメインは、ドメイン理論で研究されるようなオブジェクトを表す一般的な用語です。使用する場合は、さらに定義する必要があります。
• ダウンセット。下セットを参照してください。
• 双対。 poset ( P , ≤ ) に対して、双対順序P ^d = ( P , ≥ )は、 y ≤ xの場合に限りx ≥ yと設定することによって定義されます。 Pの双対順序はP ^opと表記されることもあり、反対順序または逆順序とも呼ばれます。任意の順序理論の概念は、元のステートメントを特定のセットの順序双対に適用することによって定義される双対概念を誘導します。これにより、 ≤ と ≥ が交換され、ゼロと単位が出会い、結合されます。

• 拡張。集合X上の半順序 ≤ と ≤′ に対して、 Xのすべての要素xとyに対して、x ≤ yであればx ≤′ yである限り、 ≤′ は ≤ の拡張である。

• フィルタ。半集合Pの部分集合Xは、フィルタされた上集合である場合にフィルタと呼ばれます。双対概念はイデアルと呼ばれます。
• フィルタ済み。poset Pの空でない部分集合X は、 Xのすべての要素xとyに対して、 z ≤ xかつz ≤ yとなるXの要素zが存在する場合、フィルタ済みと呼ばれます。この双対概念は有向と呼ばれます。
• 有限要素。コンパクトを参照してください。
• フレーム。フレームFは完全な格子であり、 F内のすべてのxとF内のすべての部分集合Yに対して、無限分配法則x ∧ Y ={ x ∧ y | y in Y } が成り立ちます。フレームは、局所や完全なHeyting 代数としても知られています。${\displaystyle \bigvee}$${\displaystyle \bigvee}$

• ガロア接続。2つの半集合PとQが与えられたとき、単調関数のペアF : P → QとG : Q → P は、すべてのxがPに含まれ、すべてのy がQに含まれる場合、 F ( x ) ≤ yがx ≤ G ( y )と同値であるとき、ガロア接続と呼ば。 F はGの下側随伴関数と呼ばれ、 G はFの上側随伴関数と呼ばれます。
• 最大元。 poset Pの部分集合Xについて、 Xの元xに対してx ≤ aが成り立つとき、 Xの元 a はXの最大元と呼ばれます。この双対概念は最小元と呼ばれます。
• 基底集合。poset ( X , ≤)の基底集合は、半順序 ≤ が定義されている集合Xです。

• ヘイティング代数。ヘイティング代数Hは、 H の任意の元a に対して、関数f _a : H → H がf _a ( x ) = a ∧ xで与えられるような有界格子です。 f aの上部随伴はg _aで表され、 g _a ( x ) = a ⇒ ; xです。すべてのブール代数はヘイティング代数です。
• ハッセ図。ハッセ図は、有限の部分順序集合を推移的縮小の図の形で表すために使用される数学的な図の一種です。
• 同次関係。集合上の同次関係は のサブセットです。言い換えると、それはと 自体に対する二項関係です。${\displaystyle X}$${\displaystyle X\times X.}$${\displaystyle X}$

• イデアル。イデアルは、有向下集合である半集合PのサブセットXです。この双対概念はフィルターと呼ばれます。
• 接続代数。posetの接続代数は、加算とスカラー乗算が点ごとに定義され、乗算が特定の畳み込みとして定義された、区間上のすべてのスカラー値関数の結合代数です。詳細については、接続代数を参照してください
• 最小公倍数。半集合PとPの部分集合Xについて、 Xの下限の集合における最大の元(存在する場合、存在しない場合もある) は、 Xの最小公倍数、満たす、または最大下限と呼ばれます。これは inf XまたはXで表されます。2 つの元の最小公倍数は、 inf{ x , y } またはx ∧ yと表記されます。集合Xが有限である場合、有限最小公倍数について語ります。この双対概念は最大公倍数と呼ばれます。${\displaystyle \bigwedge}$
• 区間。半順序集合Pの2 つの要素a、 bについて、区間[ a、 b ] はPのサブセット { P内のx | a ≤ x ≤ b }。 a ≤ bが成立しない場合は、区間は空になります。
• 区間有限ポセット。部分順序集合Pは、{P内のx | x ≤ a}の形式のすべての区間が有限集合である場合に区間有限である。 ^[2]
• 逆。converseを参照してください。
• 非反射的。集合X上の関係 R は、 X内にx R xとなる要素xが存在しない場合は非反射的である。
• 等音。モノトーンを参照してください。

• 参加する。supremumを参照。

• 格子。格子は、空でない有限の結合 (上限) と会合 (下限) がすべて存在する poset です。
• 最小元。 poset Pの部分集合Xについて、 Xの任意の元 x に対してa ≤ x が成り立つ場合、 Xの元aはXの最小元と呼ばれます。この双対概念は最大元と。
• チェーンの長さは、要素の数から 1 を引いた数です。要素が 1 つのチェーンの長さは 0、要素が 2 つのチェーンの長さは 1 などです。
• 線形。全順序を参照してください。
• 線形拡張。部分順序の線形拡張は、線形順序、または全順序である拡張です。
• ロケール。ロケールは完全な Heyting 代数です。ロケールはフレームとも呼ばれ、ストーン双対性や無意味な位相幾何学に現れます。
• 局所有限な順序集合。部分順序集合Pが局所有限であるとは、すべての区間 [ a , b ] = { x in P | a ≤ x ≤ b } が有限集合である場合をいいます。
• 下限。 poset Pの部分集合Xの下限は、 Xのすべてのxに対してb ≤ xとなるPの元bです。この双対概念は上限と呼ばれます。
• 下集合。半集合Pの部分集合Xが下集合と呼ばれるのは、 X内のすべての要素xとP内のすべての要素pに対して、 p ≤ x が成り立ち、 p がXに含まれることを意味する場合です。この双対概念は上集合と呼ばれます。

• 最大連鎖。要素を追加しても完全に順序付けられるという特性を失うことのない、順序集合内の連鎖。これは飽和連鎖よりも強力で、連鎖のすべての要素より小さい要素やすべての要素より大きい要素の存在も排除します。有限飽和連鎖は、順序集合の最小要素と最大要素の両方を含む場合にのみ最大です。
• 最大元。 poset Pの部分集合Xの最大元とは、 Xの元mであり、 X内のすべてのxに対して、 m ≤ xであればm = xとなるものです。この双対概念は、最小元と呼ばれます。
• 最大元。最大元と同義。poset Pの部分集合Xについて、Xの任意の元xに対してx ≤ aが成り立つとき、 Xの元aはXの最大元と呼ばれます。 最大元は必ず最大ですが、その逆は成り立ちません。
• 会う。下限を参照。
• 極小元。 poset Pの部分集合Xの極小元とは、 Xの元mであり、 X内のすべてのxに対して、 x ≤ mならばm = xとなるものです。この双対概念は極大元と呼ばれます。
• 最小元。最小元と同義。順序集合Pの部分集合Xについて、 Xの任意の元 x に対して x ≥ a が成り立つ場合、 X の元aはXの最小元と呼ばれます。最小元は必ず最小ですが、その逆は成り立つとは限りません。
• 単調。半集合PとQの間の関数fが単調であるとは、 Pのすべての要素x、 yについて、 x ≤ y ( P内)であればf ( x ) ≤ f ( y ) ( Q内) が成り立つことをいう。この特性は、等調関数や順序保存関数とも呼ばれる。解析学では、全順序が存在する場合、このような関数は単調増加関数と呼ばれることが多いが、これは全順序でない関数を扱う場合にはあまり便利な説明ではない。この双対概念は、反調関数または順序反転関数と呼ばれる。

• 順序双対。半順序集合の順序双対は、半順序関係がその逆関係に置き換えられた同じ集合です。
• 順序埋め込み。半集合PとQ の間の関数fは、 Pのすべての要素x、 yに対して、 x ≤ y ( Pの場合)がf ( x ) ≤ f ( y ) ( Qの場合)と等しい場合。
• 順序同型。2つの半順序集合PとQの間の写像f : P → Qは、それが全単調で、 fとf ^−1が両方とも単調関数である場合、順序同型と呼ばれます。同様に、順序同型は全射順序埋め込みです。
• 順序を維持する。モノトーンを参照してください。
• 順序が逆転する。反音を参照。

• 半順序。半順序は、反射的、反対称的、推移的な二項関係です。用語の誤用として、この用語は、そのような関係ではなく、それに対応する半順序集合を指すために使用されることもあります。
• 半順序集合。半順序集合または略してposetは、半順序を持つ集合で。${\displaystyle (P,\leq ),}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle P.}$
• Poset。部分的に順序付けられた集合。
• 事前順序。事前順序は、反射的かつ推移的な二項関係です。このような順序は、準順序または非厳密事前順序と呼ばれることもあります。事前順序という用語は、非巡回二項関係(非巡回有向グラフとも呼ばれます)を示すためにも使用されます
• 予約セット。予約セットとは、予約注文とセットになったものです。${\displaystyle (P,\leq )}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle P.}$
• 保存。半集合PとQの間の関数f が、 P の上限 sup X を持つ P のすべての部分集合 X に対して、 sup { f ( x ) : x in X } が存在し、 f (sup X ) に等しい場合、上限 (結合) を保存すると言われます。このような関数は結合保存とも呼ばれます。同様に、 f は有限、空でない、有向、または任意の結合 (または会合) を保存すると言われます。逆の性質は結合反映と呼ばれます。
• 素数。格子Lのイデアル I は、 Lのすべての要素xとyに対して、 Iのx ∧ yがIのxまたはy を意味する、素数であるといわれます。この双対概念は素数フィルターと呼ばれます。同様に、集合が素数フィルターとなるのは、その補集合が素数イデアルである場合のみです。
• 主。フィルターに最小元がある場合、そのフィルターは主フィルターと呼ばれます。また、主イデアルは最大元を持つイデアルです。このような状況では、最小元または最大元も主元と呼ばれることがあります。
• 射影（演算子） 。関数合成に対して単調かつべき等である半順序集合上の自己写像。射影はドメイン理論において重要な役割を果たします。
• 擬似補元。Heyting代数では、元x ⇒; 0 はxの擬似補元と呼ばれます。これは、sup{ y  : y ∧ x = 0}、つまりy ∧ x = 0となるすべての元yの最小の上限としても与えられます。

• 準順序。事前順序を参照してください。
• 準推移的。関係が準推移的であるのは、異なる要素の関係が推移的である場合です。推移的であることは準推移的であることを意味し、準推移的であることは非循環的であることを意味します。 ^[1]

• 反映。半集合PとQの間の関数f は、 Pのすべての部分集合Xについて、上限 sup{ f ( x ): x in X } が存在し、 P内のいくつかのsに対してf ( s )の形である場合、 sup Xが存在し、 sup X = sであることが分かるときと言われています。同様に、 f は有限、空でない、有向、または任意の結合 (または会合) を反映すると言われています。逆の性質は結合保存と呼ばれます。
• 反射的。集合X上の二項関係 R は、 X内のすべての要素xに対してx R xが成り立つ場合、反射的である。
• 残差。残差マッピングに付加されたデュアル マップ。
• 残差写像。主ダウンセットの逆像が再び主となる単調写像。同様に、ガロア接続の 1 つの要素。

• 飽和連鎖。ポピュレート集合内の連鎖で、その 2 つの要素の間に要素を追加すると、完全に順序付けられた特性が失われます。連鎖が有限である場合、連続する要素のすべてのペアで、大きい方の要素が小さい方の要素を覆うことを意味します。最大連鎖も参照してください。
• 散在。全順序は、密に順序付けられた部分集合がない場合には散在している。
• スコット連続。ポセットPとQ の間の単調関数f  : P → Qは、 Pに上限 sup D を持つすべての有向集合Dに対して、集合 { fx | x in D } がQに上限f (sup D ) を。言い換えると、スコット連続関数はすべての有向上限を保存する関数です。これは、実際には、それぞれのポセット上のスコット位相に関して連続であることと同等です
• スコット領域。スコット領域は、有界な完全な 代数 cpoである部分順序集合です。
• スコット開環。スコットトポロジーを参照。
• スコット位相。半集合Pに対して、部分集合Oがスコット開集合であるとは、それが上集合であり、 Oに上限を持つすべての有向集合DがOと空でない交差を持つ場合である。すべてのスコット開集合の集合は位相、すなわちスコット位相を形成する。
• 半格子。半格子は、すべての有限の空でない結合 (suprema) またはすべての有限の空でない会合 (infima) のいずれかが存在する半集合です。したがって、結合半格子または会合半格子と呼ばれます。
• 最小の要素。最小要素を参照してください。
• 半順序集合のスペルナー性質
• スペルナーポセット
• 厳密にはスペルナーのポセット
• 強いスペルナーポセット
• 厳密な順序。厳密な半順序を参照してください。
• 厳密な半順序。厳密な半順序は、推移的、非反射的、反対称的な同次二項関係です。
• 厳密な事前順序。厳密な半順序を参照してください。
• 上限。半集合PとPの部分集合Xについて、 Xの上限の集合における最小の元(存在する場合、存在しない場合もある) は、 Xの上限、結合、または最小上限と呼ばれます。これは、 sup XまたはXで表されます。2 つの元の上限は、 sup{ x , y } またはx ∨ yと表記されます。集合Xが有限の場合、有限の上限について語ります。双対概念は、下限と呼ばれます。${\displaystyle \bigvee}$
• 鈴村一貫性。二項関係Rは、x R ^∗ yがx R yであるかy R xでない場合、鈴村一貫性がある。^[1]
• 対称関係。集合X上の同次関係 R は、 X内のすべての要素x、 yに対して、 x R yならばy R xとなる場合、対称であるという。

• 上部。ユニットを参照してください。
• 全順序。全順序Tは、 T内の各xとyに対して、 x ≤ yまたはy ≤ xが満たされる半順序です。全順序は、線形順序または連鎖とも呼ばれます。
• 全体的関係。連結関係の同義語。
• 推移的関係。集合X上の関係 Rは、 X内のすべての要素x、 y、 zに対して、 x R yかつy R z が成り立つ場合推移的であるという。
• 推移閉包。関係Rの推移閉包R ^∗は、有限連鎖xRa、 aRb、...、zRyが存在するすべてのペアx、 yから構成される。 ^[1]

• 単位。poset Pの最大の要素は、単位または単に1 (存在する場合)と呼ばれることがあります。 この要素の別の一般的な用語は、トップです。 これは空集合の最小値であり、 Pの最大値です。 双対概念はゼロと呼ばれます。
• アップセット。アッパーセットを参照してください。
• 上限。半集合 P の部分集合Xの上限は、 X内のすべてのxに対してx ≤ bとなるPの元bです。この双対概念は下限と呼ばれます。
• 上集合。半集合Pの部分集合X は、 Xのすべての要素xとPのすべての要素pに対して、 x ≤ p がp がXに含まれることを意味する、上集合と呼ばれます。双対概念は下集合と呼ばれます。

• 評価。格子 が与えられた場合、評価は厳密（つまり）、単調、モジュラー（つまり）、正です。連続評価は測度の一般化です。${\displaystyle X}$${\displaystyle \nu :X\to [0,1]}$${\displaystyle \nu (\varnothing )=0}$${\displaystyle \nu (U)+\nu (V)=\nu (U\cup V)+\nu (U\cap V)}$

• はるか下の関係。半集合Pにおいて、ある元x がyよりはるか下 ( x << y )であるとは、 Pの有向部分集合D のうち上限を持つものすべてについて、 y ≤ sup DならばD内のあるdに対してx ≤ d が成り立つことを意味している。また、 x はyに近似するとも言われる。領域理論も参照。
• 弱い順序。集合X上の部分順序 ≤は、半集合 (X, ≤) が濃度の比較によって順序付けられた集合の可算な集合と同型である場合に、弱い順序である。

• ゼロ。半集合Pの最小の要素はゼロまたは単に0 (存在する場合)と呼ばれることがあります。この要素の別の一般的な用語はbottomです。ゼロは空集合の上限であり、 Pの下限です。双対概念はunitと呼ばれます。

ここで示す定義は、次の標準的な参考書に記載されている定義と一致しています。

• BA Davey および HA Priestley、「Introduction to Lattices and Order」、第 2 版、Cambridge University Press、2002 年。
• G. Gierz、KH Hofmann、K. Keimel、JD Lawson、M. Mislove、DS Scott、「連続格子と領域」、『数学とその応用百科事典』第93巻、ケンブリッジ大学出版局、2003年。

具体的な定義:

• 鄧邦明 (2008)、「有限次元代数と量子群」、数学概説とモノグラフ、第150巻、アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-4186-0