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数学において、残余写像の概念は半順序集合の理論で生まれ、単調関数の概念を洗練させます。
A、Bが半集合である場合、関数f : A → B は順序が保存されるとき単調であると定義されます。つまり、x ≤ yであればf ( x ) ≤ f ( y ) となります。これは、 Bのすべてのダウンセットのfによる原像がAのダウンセットであるという条件に相当します。主ダウンセットを、↓{ b } = { b ' ∈ B : b ' ≤ b }の形式のいずれかとして定義します。一般に、主ダウンセットのfによる原像は主ダウンセットである必要はありません。すべてが主ダウンセットである場合、f は残余であると呼ばれます。
残余写像の概念は、成分ごとの残余を介して二項演算子（またはそれ以上のアリティ）に一般化できます。このアプローチにより、部分的に順序付けられたマグマにおける左除算と右除算の概念が生じ、さらに準群構造が付与されます。（高アリティの残余代数についてのみ話します）。二項（またはそれ以上のアリティ）残余写像は、通常、単項写像として残余化されません。 [1]
意味
A、Bが半集合である場合、関数f : A → Bが残余となるのは、 Bのすべての主ダウンセットのfによる原像がAの主ダウンセットである場合のみです。
結果
Bがposetの場合、関数A → Bの集合は点ごとの順序 f ≤ g ↔ (∀ x ∈ A) f ( x ) ≤ g ( x )で順序付けることができます。
単調関数fが残余となるのは、（必ず一意な）単調関数f + : B → Aが存在してf o f + ≤ id Bかつf + o f ≥ id A（ id は恒等関数）が存在する場合のみであることが示せます。関数f + はfの残余です。残余関数とその残余は、その概念の（より最近の）単調定義の下でガロア接続を形成し、すべての（単調な）ガロア接続に対して、下側の随伴関数が残余となり、残余が上側の随伴関数となります。[2]したがって、単調ガロア接続と残余マッピングの概念は本質的に一致します。
さらに、f -1 (↓{ b }) = ↓{ f + ( b )}となります。
B ° がBへの双対順序(反対の poset)を表す場合、f : A → Bが剰余写像となるのは、この概念の元の反トーン定義の下で、 f : A → B ° とf * : B ° → Aがガロア接続を形成するようなf *が存在する場合のみです。
f : A → Bとg : B → Cが残余写像である場合、関数合成 gf : A → Cも残余写像であり、残余は ( gf ) + = f + g +です。反音ガロア接続はこの特性を共有しません。
poset上の単調変換（関数）の集合は点ごとの順序を持つ順序付きモノイドであり、残余変換の集合も同様である。[3]
例
剰余二項演算子
もし、 • : P × Q → Rが二元写像で、P、Q、Rが半順序集合ならば、左および右の並進に対して成分ごとの剰余、すなわち固定元による乗算を定義できる。Pの元xに対してx λ ( y ) = x • yを定義し、Qの元xに対してλ x ( y ) = y • xを定義する。すると、 x λとλ xがすべてのx (それぞれPおよびQ内)に対して剰余となるとき、かつそのときに限り、 • は剰余となると言われる。左除算 (およびそれぞれ右除算) は、左 (およびそれぞれ右) 並進の剰余をとることによって定義される: x \ y = ( x λ ) + ( y ) およびx / y = ( λ x ) + ( y )
たとえば、すべての順序付きグループは剰余であり、上記で定義される除算は、グループ内の除算の概念と一致する。それほど単純ではない例として、ブール代数B上の正方行列の集合 Mat n ( B ) があり、行列は点ごとに順序付けられている。点ごとの順序により、 Mat n ( B ) には点ごとの交わり、結合、および補集合が与えられる。行列の乗算は、通常の方法で定義され、「積」は交わり、「和」は結合である。[4]により、X \ Y = ( Y t X ′)′およびX / Y = ( X ′ Y t )′であることが示される。ここで、X ′ はXの補集合、Y t は転置行列である。
参照
注記
- ^ デネッケ、p. 95;ガラトス、p. 148
- ^ エルネ、提案 4
- ^ ブライス、2005年、193ページ
- ^ ブライス、198ページ
参考文献
- JC Derderian、「ガロア接続とペア代数」、Canadian J. Math. 21 (1969) 498-501。
- Jonathan S. Golan、「半環とそれらの上のアフィン方程式：理論と応用」、Kluwer Academic、2003年、ISBN 1-4020-1358-2。49ページ。
- TS Blyth、「Residuated Mappings」、Order 1 (1984) 187-204。
- TS Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures、Springer、2005年、ISBN 1-85233-905-5。7ページ。
- TS Blyth、MF Janowitz、「Residuation Theory」、Pergamon Press、1972年、ISBN 0-08-016408-0。9ページ。
- M. Erné、J. Koslowski、A. Melton、GE Strecker、「ガロア接続の入門」、1991 年夏季一般位相幾何学および応用会議の議事録、メアリー・エレン・ルーディンとその業績を記念して、ニューヨーク科学アカデミー紀要、第 704 巻、1993 年、pp. 103–125。さまざまなファイル形式でオンラインで入手可能: PS.GZ PS
- クラウス・デネッケ、マルセル・エルネ、シェリー・L・ウィスマス、『ガロアの接続と応用』、Springer、2004 年、ISBN 1402018975
- Galatos、Nikolaos、Peter Jipsen、Tomasz Kowalski、小野博明 (2007)、Residuated Lattices。 「An Algebraic Glimpse at Substructural Logics」、エルゼビア、ISBN 978-0-444-52141-5。