スコットドメイン

数学の順序論と領域理論の分野において、スコット領域は代数的、有界完全、有向完全 半順序(dcpo)である。領域理論の出現時にこれらの構造を初めて研究したDana S. Scottにちなんで名付けられた。スコット領域は代数格子と非常に密接に関連しており、最大元が欠落している可能性がある点のみが異なっている。また、スコット領域はスコット情報システムとも密接に関連しており、スコット情報システムはスコット領域の「構文的」表現を構成する。

「スコット領域」という用語は上記の定義とともに広く使用されていますが、「ドメイン」という用語は一般的に受け入れられている意味を持たず、著者によって定義が異なります。スコット自身は、現在「スコット領域」と呼ばれている構造に対して「ドメイン」を使用していました。また、一部の出版物では、スコット領域は「代数半格子」などの他の名前で登場します。

もともと、ダナ・スコットは完全な格子を要求し、ロシアの数学者ユーリ・エルショフはdcpoの同型構造を構築しました。しかし、これは鉄のカーテンの崩壊後に科学的なコミュニケーションが改善されるまで認識されませんでした。彼らの業績を称えて、現在では多くの数学論文でこの基本的な構築を「スコット・エルショフ」領域と呼んでいます。

正式には、空でない部分順序集合は、 次の条件が成り立つ場合、 スコット領域と呼ばれます。${\displaystyle (D,\leq )}$

• D は有向完全です。つまり、Dのすべての有向部分集合には上限があります。
• D は有界完全です。つまり、何らかの上限を持つDのすべての部分集合には上限があります。
• Dは代数的である、つまり、 Dのあらゆる要素は、Dのコンパクト要素の有向集合の最大値として得られる。

空集合には確かに上限があるため、有界完全性から最小の要素 (空集合の上限) が存在すると結論付けることができます。 ${\displaystyle \bot }$

有界完全であるという性質は、Dのすべての空でない部分集合の最小値が存在することと同等です。すべての最小値が存在するということはすべての最大値が存在することを意味し、したがって半順序集合が完全な格子になることはよく知られています。したがって、トップ要素（空集合の最小値）がスコット領域に付加されると、次のことが結論付けられます。

1. 新しいトップ要素はコンパクトです（順序は以前に完全に指示されていたため）
2. 結果として得られる poset は代数格子(つまり代数的な完全格子) になります。

その結果、スコット領域は、ある意味では「ほぼ」代数格子です。ただし、完全格子から最上位要素を削除しても、必ずしもスコット領域が生成されるわけではありません。(完全格子 を考えてみましょう。 の有限部分集合は有向集合を形成しますが、 には上限がありません。) ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )\setminus \{\mathbb {N} \}}$

スコット領域は、スコット位相を導入することで位相空間になります。

スコット領域は、情報内容によって順序付けられた部分的な代数データを表すことを目的としています。要素は、完全に定義されていない可能性のあるデータです。ステートメントは、「すべての情報を含む」という意味です。最下部の要素は、まったく情報を含まない要素です。コンパクト要素は、有限量の情報を表す要素です。 ${\displaystyle x\in D}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

この解釈により、部分集合の上限は 、 の任意の要素が含むすべての情報を含み、それ以上の情報は含まない要素であることがわかります。明らかに、そのような上限は、矛盾する情報を含まない場合にのみ存在する (つまり、意味をなす)ため、ドメインは有向かつ有界完全ですが、すべての上限が必ずしも存在するわけではありません。代数公理は、基本的に、すべての要素が (厳密ではないが) 順序の下位からすべての情報を取得することを保証します。特に、コンパクトまたは「有限」な要素から非コンパクトまたは「無限」な要素へのジャンプは、ある有限段階では到達できない余分な情報を秘密裏に導入することはありません。 ${\displaystyle \bigvee X}$${\displaystyle X\subseteq D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

一方、最小値はのすべての要素に共有されるすべての情報を含み、以上の要素です。 に一貫した情報が含まれていない場合、その要素には共通の情報がないため、その最小値は です。このように、空でない最小値はすべて存在しますが、すべての最小値が必ずしも興味深いわけではありません。 ${\displaystyle \bigwedge X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \bot }$

部分データに関するこの定義により、代数は、次第に定義される部分代数のシーケンスの極限として定義できます。言い換えると、代数に徐々に多くの情報を追加する演算子の固定点です。詳細については、「ドメイン理論」を参照してください。

• すべての有限 poset は有向完全かつ代数的です (ただし、必ずしも有界完全である必要はありません)。したがって、任意の有界完全な有限 poset はスコット領域です。
• 追加のトップ要素 ω を持つ自然数は代数格子、つまりスコット領域を構成します。この方向のその他の例については、代数格子に関する記事を参照してください。
• アルファベット{0,1 } 上のすべての有限および無限単語の集合を、単語の接頭辞順序で順序付けて考えてみましょう。したがって、単語wが何らかの単語 vの接頭辞である場合、つまり、となる何らかの (有限または無限の) 単語v'がある場合、単語wは何らかの単語vよりも小さくなります。たとえば、です。空の単語はこの順序付けの一番下の要素であり、すべての有向集合 (常にチェーン)には上限があることは容易にわかります。同様に、有界完全性もすぐに確認できます。ただし、結果として得られる poset には、代わりに多くの最大要素 (つまり、すべての無限単語) を持つトップが確実に欠けています。また、すべての有限単語はたまたまコンパクトであり、有限単語のチェーンで無限単語を近似できることから、これは代数的でもあります。したがって、これはスコット領域であり、代数格子ではありません。${\displaystyle wv'=v}$${\displaystyle 101\leq 10110}$
• 否定的な例として、単位区間[0,1]内の実数を自然順序で並べたものを考えます。この有界完全 dcpo は代数的ではありません。実際、その唯一のコンパクト要素は 0 です。

ドメイン理論については文献を参照してください。