半順序集合のスペルナー特性

順序理論の数学では、次数付き半順序集合は、その中の反鎖が半順序集合内の最大のランクレベル（同じランクの要素の集合の 1 つ）よりも大きくない場合、スペルナー性質を持つと言われ（したがってスペルナー半順序集合と呼ばれる）。^{[ 1 ]}すべてのランクレベルはそれ自体が反鎖であるため、スペルナー性質は、あるランクレベルが最大の反鎖であるという性質と同等である。^{[ 2 ]}スペルナー性質とスペルナー半順序集合は、有限集合のすべての部分集合の族（集合の包含関係によって半順序付けられている）がこの性質を持つことを示すスペルナーの定理を証明したエマヌエル・スペルナーにちなんで名付けられた。有限集合の分割の束は、通常、スペルナー性質を持たない。^{[ 3 ]}

n個の要素からなる集合のすべての部分集合を包含関係で順序付けして形成するブール格子は、スペルナーの定理によって示されるように、スペルナーの性質を満たす。

k -Sperner半順序集合は、 k個の反鎖の和集合がk個の最大ランクレベルの和集合よりも大きくないような次数付き半順序集合である^{[ 1 ]} 。あるいは、同等に、半順序集合はk個のランクレベルからなる最大k族を持つ^{[ 2 ] 。}

厳密なスペルナー順序集合は、すべての最大反鎖がランクレベルであるような次数付き順序集合である。^{[ 2 ]}

強いスペルナー半順序集合とは、最大のランク値までのすべてのkの値に対してk-スペルナーである次数付き半順序集合のことである。 ^{[ 2 ]}