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数学では、2 つの半順序集合PとQが与えられたとき、それらの間の関数f : P → Q は、すべての有向上限を保存する場合に、スコット連続(数学者Dana Scottにちなんで命名) である。つまり、Pの上限を持つPのすべての有向部分集合Dに対して、その像はQに上限を持ち、その上限はDの上限の像である。すなわち、∐ f [ D ] = f (∐ D ) であり、∐ は有向結合である。[ 1 ] Qが真理値の半順序集合、すなわちシェルピンスキー空間である場合、スコット連続関数は開集合の特性関数であり、したがってシェルピンスキー空間は開集合の分類空間である。[ 2 ]
半順序集合Pの部分集合Uは、それが上集合であり、かつ有向結合によって到達不可能である場合、すなわち、 Uを上限とするすべての有向集合DがUと空でない共通部分を持つ場合、スコット開集合と呼ばれる。半順序集合Pのスコット開部分集合は、P上に位相、すなわちスコット位相を形成する。半順序集合間の関数は、スコット位相に関して連続である場合に限り、スコット連続である。 [ 1 ]
スコット位相は、最初にダナ・スコットによって完全束に対して定義され、後に任意の半順序集合に対して定義された。[ 3 ]
スコット連続関数は、ラムダ計算のモデル[ 3 ]やコンピュータプログラムの表示的意味論の研究に用いられます。
スコット連続関数は常に単調であり、A, B ∈ Pに対してA ≤ P Bならばf ( A ) ≤ Q f ( B ) となります。
有向完全半順序の部分集合は、その半順序によって誘導されるスコット位相に関して閉じているのは、それが下集合であり 、かつ有向部分集合の上限に関して閉じている場合に限る。[ 4 ]
スコット位相を持つ有向完全半順序( dcpo) は常にコルモゴロフ空間である (すなわち、 T 0分離公理を満たす)。[ 4 ]ただし、スコット位相を持つ dcpo がハウスドルフ空間となるのは、順序が自明な場合のみである。[ 4 ]スコット開集合は、包含によって順序付けられると完全束を形成する。[ 5 ]
任意のコルモゴロフ空間に対して、位相はその空間上に順序関係、すなわち特殊化順序を誘導する。すなわち、x ≤ y は、 xのすべての開近傍がyの開近傍でもある場合に限る。dcpo Dの順序関係は、スコット位相によって誘導される特殊化順序として、スコット開集合から再構成することができる。ただし、スコット位相を備えた dcpo は必ずしもsober である必要はない。sober 空間の位相によって誘導される特殊化順序は、その空間を dcpo にするが、この順序から導出されるスコット位相は、元の位相よりも細かい。[ 4 ]
与えられた位相空間の開集合を包含関係で順序付けると、スコット位相を定義できる格子が形成される。位相空間Tの部分集合X がT上の位相に関してコンパクトである（ Xのすべての開被覆がXの有限部分被覆を含むという意味で）のは、 Xの開近傍の集合がスコット位相に関して開集合である場合に限る。[ 5 ]
CPO（ dcpoのデカルト閉圏）の場合、スコット連続関数の特に注目すべき2つの例は、curryとapplyである。[ 6 ]
ヌエル・ベルナップはスコット連続性を用いて論理結合子を4値論理に拡張した。[ 7 ]