クラブフィルター

数学、特に集合論において、 が正則非可算基数である場合、のクラブ部分集合を含むすべての集合のフィルターは、クラブフィルターと呼ばれる対角交差に関して閉じた -完全フィルターになります。 ${\displaystyle \kappa}$ ${\displaystyle \operatorname {club} (\kappa ),}$${\displaystyle \kappa ,}$${\displaystyle \kappa}$

これがフィルタであることを確認するには、であるため閉じていて無限であることに注目してください (クラブ セットを参照)。 の場合、を含む任意のサブセットも に含まれるため、それを含むものはすべてクラブ セットを含みます。 ${\displaystyle \kappa \in \operatorname {club} (\kappa )}$${\displaystyle x\in \operatorname {club} (\kappa )}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \operatorname {club} (\kappa ),}$${\displaystyle x,}$

これは -完全フィルタです。なぜなら、クラブ セットの交差がクラブ セットより少ないからです。これを確認するには、がクラブ セットのシーケンスであると仮定します。 に現れるシーケンスはどれもすべてに現れるので、明らかには閉じており、したがってその極限もすべてに存在します。これが無制限であることを示すには、いくつかを取ります。 を、すべての に対して を伴う増加シーケンスとします。すべて が無制限であるため、このようなシーケンスを構築できます。と は正則であるため、このシーケンスの極限は よりも小さくなります。これを と呼び、前のシーケンスに似た新しいシーケンスを定義します。このプロセスを繰り返して、シーケンスの各要素が前のシーケンスのすべてのメンバーよりも大きいシーケンスのシーケンスを取得できます。次に、各 に対して はに含まれる増加シーケンスであり、これらすべてのシーケンスは同じ極限 ( の極限) を持ちます。この極限はすべての に含まれるため、 は よりも大きくなります。${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \langle C_{i}\rangle _{i<\alpha }}$${\displaystyle \alpha <\kappa .}$${\displaystyle C=\bigcap C_{i}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C_{i},}$${\displaystyle C_{i}.}$${\displaystyle \beta <\kappa .}$${\displaystyle \langle \beta _{1,i}\rangle }$${\displaystyle \beta _{1,1}>\beta }$${\displaystyle \beta _{1,i}\in C_{i}}$${\displaystyle i<\alpha .}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle \alpha <\kappa }$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa .}$${\displaystyle \beta _{2},}$${\displaystyle \langle \beta _{2,i}\rangle }$${\displaystyle \langle \beta _{j,i}\rangle }$${\displaystyle i<\alpha ,}$ ${\displaystyle \langle \beta _{j,i}\rangle }$${\displaystyle C_{i},}$${\displaystyle \langle \beta _{j,i}\rangle }$${\displaystyle C_{i},}$${\displaystyle C,}$${\displaystyle \beta .}$

が対角交差で閉じていることを確認するには、をクラブ集合の列とし、 とします。が閉じていることを示すには、および と仮定します。次に、各に対して すべてに対して それぞれが閉じている ので、が有界でないことを示すには、およびを次のように列を定義します。および は となるの最小元です。 からその ような元が存在します。 上記により、クラブ集合の交差は クラブです。 からであり、それぞれであるため、${\displaystyle \operatorname {club} (\kappa )}$${\displaystyle \langle C_{i}\rangle ,}$ ${\displaystyle i<\kappa }$${\displaystyle C=\Delta _{i<\kappa }C_{i}.}$${\displaystyle C}$${\displaystyle S\subseteq \alpha <\kappa }$${\displaystyle \bigcup S=\alpha .}$${\displaystyle \gamma \in S,}$ ${\displaystyle \gamma \in C_{\beta }}$${\displaystyle \beta <\gamma .}$${\displaystyle C_{\beta}}$${\displaystyle \alpha \in C_{\beta}}$${\displaystyle \beta <\alpha ,}$${\displaystyle \alpha \in C.}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \alpha <\kappa ,}$${\displaystyle \xi _{i},}$ ${\displaystyle i<\omega }$${\displaystyle \xi _{0}=\alpha ,}$${\displaystyle \xi_{i+1}}$${\displaystyle \bigcap _{\gamma <\xi _{i}}C_{\gamma }}$${\displaystyle \xi _{i+1}>\xi _{i}.}$${\displaystyle \xi_{i}}$${\displaystyle \xi =\bigcup _{i<\omega }\xi _{i}>\alpha }$${\displaystyle \xi \in C,}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle i<\xi .}$

• クラブスーツ – 集合論において、任意の定常 𝑆⊂ω₁ に対して、𝐴_𝛿 (𝛿∈𝑆) の列が存在し、𝐴_𝛿 は 𝛿 の共終部分集合であり、ω₁ のすべての非有界部分集合は何らかの 𝐴_𝛿 に含まれるという組合せ論的原理。フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• フィルター（数学）  – 数学では、部分的に順序付けられた集合の特別な部分集合
• 定常集合 – 集合論的概念

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