サブネット（数学）

トポロジーや関連する数学分野 において、サブネットは部分列の概念をネットの場合に一般化したものです。ネットにおける「部分列」に相当する概念は「サブネット」です。その定義は必ずしも単純明快ではありませんが、部分列に関する定理をできる限りネットにも一般化できるように設計されています。

「サブネット」には、3つの異なる定義が存在する。サブネットの最初の定義は、1955年にジョン・L・ケリーによって提唱された^{[ 1 ]。}その後、1970年にスティーブン・ウィラードがケリーの定義の独自の（非等価な）変形を導入した^{[ 1 ]。} ウィラードの定義によるサブネットとケリーの定義によるサブネットは、「サブネット」の定義として最も一般的に用いられている^{[ 1 ]}が、いずれもフィルタの「サブシーケンス」に相当する「従属フィルタ」の概念とは等価ではない（従属フィルタが存在するという意味では等価ではない）。${\displaystyle X=\mathbb {N} }$フィルタ/従属フィルタの関係は、対応するネット/サブネットの関係では説明できない）。「従属フィルタ」の概念と同等の「サブネット」の3番目の定義（ケリーやウィラードによる定義とは同等ではない）は、スマイリー（1957）、アーネスとアンデナエス（1972）、ムルデシュワル（1983）、そしておそらく他の研究者によって独立に導入されたが、あまり使われていない。^{[ 1 ]}

この記事では、ウィラードによる定義について説明します（他の定義については、「トポロジーにおけるフィルタ#サブネットと従属フィルタの非等価性」の記事で説明しています）。

「サブネット」にはいくつかの異なる非等価な定義があり、この記事では1970年にスティーブン・ウィラードによって導入された定義^{[ 1 ]}を使用します。それは次のとおりです。${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$そして$\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i\in I}}$セット内のネットは${\displaystyle X}$有向集合から${\displaystyle A}$そして${\displaystyle I,}$それぞれ、そして$s_{\bullet }}$はサブネットであると言われている${\displaystyle x_{\bullet }}$（ウィラードの意味で、またはウィラードサブネット^{[ 1 ]} ）単調最終関数が存在する場合$${\displaystyle h:I\to A}$$ そのため $$すべての i ∈ I に対して、s_{i}=x_{h(i)} が成り立つ。$$ 関数${\displaystyle h:I\to A}$は単調で、順序保存性があり、かつ順序準同型である。${\displaystyle i\leq j}$それから${\displaystyle h(i)\leq h(j)}$そしてその画像が最終版と呼ばれる場合${\displaystyle h(I)}$共同決勝​${\displaystyle A.}$ セット${\displaystyle h(I)}$共同決勝進出${\displaystyle A}$は、すべての${\displaystyle a\in A,}$いくつか存在する${\displaystyle b\in h(I)}$そのため${\displaystyle b\geq a;}$つまり、すべての${\displaystyle a\in A}$存在する${\displaystyle i\in I}$そのため${\displaystyle h(i)\geq a.}$^{[注1 ]}

ネット${\displaystyle x_{\bullet }}$関数は${\displaystyle x_{\bullet }:A\to X}$そしてネット$s_{\bullet }}$関数は${\displaystyle s_{\bullet }:I\to X,}$定義条件${\displaystyle \left(s_{i}\right)_{i\in I}=\left(x_{h(i)}\right)_{i\in I},}$より簡潔かつ明瞭に書くと、${\displaystyle s_{\bullet }=x_{h(\bullet )}}$または${\displaystyle s_{\bullet }=x_{\bullet }\circ h,}$どこ${\displaystyle \,\circ \,}$関数合成を表し、${\displaystyle x_{h(\bullet )}:=\left(x_{h(i)}\right)_{i\in I}}$これは関数の表記法です${\displaystyle x_{\bullet }\circ h:I\to X.}$

重要なのは、サブネットは単にネットワークの制限ではないということである。${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$そのドメインの有向部分集合へ${\displaystyle A.}$ 対照的に、定義上、与えられた数列の部分列${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }$は、与えられたシーケンスから、残りの要素の相対的な位置を変えずに一部の要素を削除することによって形成されるシーケンスです。具体的には、シーケンスは${\displaystyle \left(s_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$は、​${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$正の整数の厳密に増加する数列が存在する場合${\displaystyle h_{1}<h_{2}<h_{3}<\cdots }$そのため${\displaystyle s_{n}=x_{h_{n}}}$すべての${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$（つまり、${\displaystyle \left(s_{1},s_{2},\ldots \right)=\left(x_{h_{1}},x_{h_{2}},\ldots \right)}$) シーケンス${\displaystyle \left(h_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(h_{1},h_{2},\ldots \right)}$関数と正準的に同一視できる${\displaystyle h_{\bullet }:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$定義される${\displaystyle n\mapsto h_{n}.}$したがって、シーケンス$\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$は、${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$厳密に増加する関数が存在する場合に限る${\displaystyle h:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$そのため${\displaystyle s_{\bullet }=x_{\bullet }\circ h.}$

部分列はサブネットである

すべてのサブシーケンスはサブネットです。${\displaystyle \left(x_{h_{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$は、${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$それから地図${\displaystyle h:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$定義される${\displaystyle n\mapsto h_{n}}$は、その像が終域で共終であり、を満たす順序保存写像である。${\displaystyle x_{h_{n}}=x_{h(n)}}$すべての人々のために${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$

シーケンスとサブネットは存在するが、サブシーケンスは存在しない

シーケンス​${\displaystyle \left(s_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }:=(1,1,2,2,3,3,\ldots )}$は部分列ではありません${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }:=(1,2,3,\ldots )}$マップがサブネットであるにもかかわらず${\displaystyle h:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$定義される${\displaystyle h(i):=\left\lfloor {\tfrac {i+1}{2}}\right\rfloor }$は、その像が順序保存マップである。${\displaystyle h(\mathbb {N} )=\mathbb {N} }$そして満たす${\displaystyle s_{i}=x_{h(i)}}$すべての人々のために${\displaystyle i\in \mathbb {N} .}$^{[注2 ]}

シーケンスはネットですが、シーケンスには部分シーケンスではないサブネットがあります。重要な違いは、サブネットはネット内の同じ点を複数回使用でき、サブネットのインデックスセットのカーディナリティがはるかに大きくなる可能性があることです。単調性を要求しないより一般的な定義を使用すると、シーケンスは、ある部分シーケンスの項を繰り返して並べ替えることで得られる場合に限り、与えられたシーケンスのサブネットになります。^{[ 2 ]}

シーケンスではないシーケンスのサブネット

シーケンスのサブネットワークは必ずしもシーケンスではない。 ^{[ 3 ]} 例として、${\displaystyle I=\{r\in \mathbb {R} :r>0\}}$通常の命令に従う${\displaystyle \,\leq \,}$そして定義する${\displaystyle h:I\to \mathbb {N} }$許可することによって${\displaystyle h(r)=\lceil r\rceil }$天井になる${\displaystyle r.}$それから${\displaystyle h:(I,\leq )\to (\mathbb {N} ,\leq )}$は順序保存マップ（非減少関数であるため）であり、その像は${\displaystyle h(I)=\mathbb {N} }$は、その終域の共終部分集合である。${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }:\mathbb {N} \to X}$を任意の数列（例えば定数数列など）とし、${\displaystyle s_{r}:=x_{h(r)}}$すべての${\displaystyle r\in I}$（言い換えれば、${\displaystyle s_{\bullet }:=x_{\bullet }\circ h}$このネット${\displaystyle \left(s_{r}\right)_{r\in I}}$ドメインがシーケンスではないため${\displaystyle I}$は非可算集合です。しかし、${\displaystyle \left(s_{r}\right)_{r\in I}}$はシーケンスのサブネットです${\displaystyle x_{\bullet }}$（定義により）${\displaystyle s_{r}=x_{h(r)}}$すべての${\displaystyle r\in I.}$したがって${\displaystyle s_{\bullet }}$はサブネットです${\displaystyle x_{\bullet }}$それはシーケンスではありません。

さらに、シーケンス${\displaystyle x_{\bullet }}$また、サブネットでもある${\displaystyle \left(s_{r}\right)_{r\in I}}$包含マップ以来${\displaystyle \iota$ :\mathbb {N} \to I} (これは${\displaystyle n\mapsto n}$）は、その像が${\displaystyle \iota (\mathbb {N} )=\mathbb {N} }$は、その終域の共終部分集合であり、${\displaystyle x_{n}=s_{\iota (n)}}$すべての${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$したがって${\displaystyle x_{\bullet }}$そして${\displaystyle \left(s_{r}\right)_{r\in I}}$これらは（同時に）互いのサブネットである。

部分集合によって誘導されるサブネット

仮定する${\displaystyle I\subseteq \mathbb {N} }$は無限集合であり、${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$は数列です。${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ネットは${\displaystyle (I,\leq )}$これもサブネットです${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$（取る${\displaystyle h:I\to \mathbb {N} }$インクルージョンマップとなる${\displaystyle i\mapsto i}$このサブネット${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$今度はサブシーケンスを誘発する${\displaystyle \left(x_{h_{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$定義することによって${\displaystyle h_{n}}$として${\displaystyle n^{\text{th}}}$最小値${\displaystyle I}$（つまり、${\displaystyle h_{1}:=\inf I}$そして${\displaystyle h_{n}:=\inf\{i\in I:i>h_{n-1}\}}$すべての整数に対して${\displaystyle n>1}$)このようにして、${\displaystyle I\subseteq \mathbb {N} }$正規部分列を誘導し、それは部分列として記述できます。ただし、以下に示すように、シーケンスのすべての部分列が部分列であるとは限りません。

この定義は、部分列に関するいくつかの重要な定理を一般化したものである。

• ネット${\displaystyle x_{\bullet }}$収束して${\displaystyle x}$すべてのサブネットが${\displaystyle x_{\bullet }}$収束して${\displaystyle x.}$
• ネット${\displaystyle x_{\bullet }}$クラスターポイントを持つ${\displaystyle y}$サブネットがある場合に限り${\displaystyle y_{\bullet }}$収束して${\displaystyle y}$
• 位相空間${\displaystyle X}$コンパクトであるのは、すべてのネットがコンパクトである場合に限る。${\displaystyle X}$収束サブネットを持つ（証明についてはnetを参照）。

取${\displaystyle h}$「サブネット」の定義における同一性マップであり、${\displaystyle B}$の共同最終部分集合となる${\displaystyle A}$これは共終部分列の概念につながるが、例えば共終部分列に限定すると上記の第２定理がチホノフのプランクに対して成り立たなくなるため、不十分であることが判明する。

• セットに対するフィルタリング– 「大きな」セットを表す部分集合のファミリー 
• トポロジーにおけるフィルタ#サブネット– フィルタを使用して、すべての基本的なトポロジー概念と結果を記述および特徴付けます。 

• エンゲルキング、リザード(1989)。一般的なトポロジ。ヘルダーマン・フェルラーク、ベルリン。ISBN 3885380064。
• ケリー、ジョン・L. (1991).一般トポロジー. スプリンガー. ISBN 3540901256。
• ルンデ、フォルカー (2005)。トポロジーの味。スプリンガー。ISBN 978-0387-25790-7。
• シェクター、エリック（1996）。解析学とその基礎ハンドブック。サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミック・プレス。ISBN 978-0-12-622760-4OCLC 175294365​​ 
• ウィラード、スティーブン（2004）[1970]。一般トポロジー。ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-43479-7OCLC 115240。​