クラブセット

数学、特に数理論理学と集合論において、クラブ集合とは、順序位相の下で閉じており、極限順序数に対して無限大（下記参照）である極限順序数のサブセットである。クラブという名前は、「閉じていて無限大」を意味する「closed and unbounded」を短縮したものである。

形式的には、が極限順序数である場合、集合がで閉じている場合、任意の に対してである場合に限ります。したがって 、からのあるシーケンスの極限が より小さい場合、その極限も で閉じています。${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle C\subseteq \kappa }$${\displaystyle \kappa}$ ${\displaystyle \alpha <\kappa ,}$${\displaystyle \sup(C\cap \alpha )=\alpha \neq 0,}$${\displaystyle \alpha \in C.}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \kappa ,}$${\displaystyle C.}$

が極限順序数であり、任意のものに対して、${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle C\subseteq \kappa }$${\displaystyle C}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \alpha <\kappa ,}$${\displaystyle \beta \in C}$${\displaystyle \alpha <\beta .}$

集合が閉じていてかつ無限である場合、それはクラブ集合です。閉じた真クラスも重要です (順序数の真クラスはすべて、すべての順序数のクラスで無限です)。

たとえば、すべての可算極限順序数の集合は、最初の非可算順序数に関してクラブ集合です。しかし、これは閉じても無限でもないので、より高次の極限順序数 に関してクラブ集合ではありません。 が非可算な初期順序数である場合、すべての極限順序数の集合はにおいて閉じて無限です。実際、クラブ集合は、通常の関数(つまり、増加し連続する関数) の値域に他なりません 。 ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \alpha <\kappa }$${\displaystyle \kappa .}$

より一般的には、が空でない集合であり、 が基数である場合、 （の基数の部分集合の集合）がクラブ集合であるとは、 の部分集合のすべての和集合が に含まれ、より基数 未満の のすべての部分集合が の何らかの要素に含まれる場合です（定常集合 を参照）。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle C\subseteq [X]^{\lambda }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle C}$

を非可算共終性の極限順序数とします。ある に対して、の閉じた非有界部分集合の列とします。するとも閉じた非有界になります。これを確認するには、閉集合の共通部分は常に閉じていることに注目するとよいため、この共通部分が非有界であることを示すだけで済みます。したがって、任意の を固定し、各n < ωに対して、それぞれが非有界であるため可能な要素をそれぞれから選択します。これは より少ない順序数のコレクションであるため、それらの最小上限より小さいものはすべて より小さくなければならないため、これを と呼ぶことができます。このプロセスにより可算な列が生成されます。この列の極限は、実際には列の極限でもあり、それぞれが閉じていて非可算であるため、この極限はそれぞれに含まれている必要があり、したがってこの極限は、共通部分の上にある要素であり、共通部分が非有界であることを示しています。QED。 ${\displaystyle \kappa \,}$ ${\displaystyle \lambda \,.}$${\displaystyle \alpha <\lambda \,}$${\displaystyle \langle C_{\xi }:\xi <\alpha \rangle \,}$${\displaystyle \kappa \,.}$${\displaystyle \bigcap _{\xi <\alpha }C_{\xi }\,}$${\displaystyle \beta _{0}<\kappa \,,}$${\displaystyle C_{\xi }\,}$${\displaystyle \beta _{n+1}^{\xi }>\beta _{n}\,,}$${\displaystyle \lambda \,}$${\displaystyle \kappa \,,}$${\displaystyle \kappa \,,}$${\displaystyle \beta _{n+1}\,.}$${\displaystyle \beta _{0},\beta _{1},\beta _{2},\ldots \,.}$${\displaystyle \beta _{0}^{\xi },\beta _{1}^{\xi },\beta _{2}^{\xi },\ldots \,,}$${\displaystyle C_{\xi }\,}$${\displaystyle \lambda \,}$${\displaystyle C_{\xi }\,,}$${\displaystyle \beta _{0}\,,}$

このことから、 が正則基数である場合、 は集合(つまり、半順序集合) 上の非主-完全真フィルタであることがわかります。 ${\displaystyle \kappa \,}$${\displaystyle \{S\subseteq \kappa :\exists C\subseteq S{\text{ such that }}C{\text{ is closed unbounded in }}\kappa \}}$${\displaystyle \kappa \,}$${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle (\wp (\kappa ),\subseteq )}$

が正則基数である場合、クラブ集合は対角交差に関しても閉じています。 ${\displaystyle \kappa \,}$

実際、が正則で、 が対角交差の下で閉じた 上の任意のフィルターであり、 の形式のすべての集合を含む場合、 にはすべてのクラブ集合が含まれている必要があります。 ${\displaystyle \kappa \,}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$${\displaystyle \kappa \,,}$${\displaystyle \{\xi <\kappa :\xi \geq \alpha \}\,}$${\displaystyle \alpha <\kappa \,,}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$

• クラブスーツ – 集合論において、任意の定常 𝑆⊂ω₁ に対して、𝐴_𝛿 (𝛿∈𝑆) の列が存在し、𝐴_𝛿 は 𝛿 の共終部分集合であり、ω₁ のすべての非有界部分集合は何らかの 𝐴_𝛿 に含まれるという組合せ論的原理。Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• フィルタ（数学）  – 数学では、部分的に順序付けられた集合の特別な部分集合
• トポロジーにおけるフィルター – フィルターを使用して、すべての基本的なトポロジーの概念と結果を記述および特徴付けます。
• 定常集合 – 集合論的概念