核（集合論）

集合論において、関数の核とは${\displaystyle f}$（または等価核^{[ 1 ]}）は、以下のいずれかとみなすことができる。

• 関数の定義域における同値関係で、「関数が定義域と等しい限りにおいて同値である」という考え方を大まかに表すもの${\displaystyle f}$「わかる」^{[ 2 ]}または
• ドメインの対応する分割。

それとは無関係な概念として、空でない集合族の核という概念がある。${\displaystyle {\mathcal {B}},}$これは定義上、そのすべての要素の 共通部分である。$${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}~=~\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}\,B.}$$この定義は、フィルター の理論において、フィルターを自由フィルターまたは主フィルターに分類するために使用されます。

関数の核

正式な定義では、${\displaystyle f:X\to Y}$2つの集合間の関数である。要素${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$等価であるのは、${\displaystyle f\left(x_{1}\right)}$そして${\displaystyle f\left(x_{2}\right)}$は等しい、つまり同じ要素である${\displaystyle Y.}$ 核${\displaystyle f}$等価関係はこのように定義される。^{[ 2 ]}

集合族の核

の家族の核$\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$集合の数は^{[ 3 ]}$${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}~:=~\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}B.}$$ 核$\displaystyle {\mathcal {B}}}$また、次のように表記されることもあります。$\displaystyle \cap {\mathcal {B}}.}$空集合の核、${\displaystyle \ker \varnothing ,}$は、通常は定義されないままです。ファミリーは、修正済みで、核空でない場合、空でない共通部分。 ^{[ 3 ]} 族は、固定されていない場合は自由である。つまり、その核が空集合である場合は自由である。 ^{[ 3 ]}

他の同値関係と同様に、核は剰余演算によって商集合を形成することができ、その商集合が分割となる。 $${\displaystyle \left\{\,\{w\in X:f(x)=f(w)\}~:~x\in X\,\right\}~=~\left\{f^{-1}(y)~:~y\in f(X)\right\}.}$$

この商セット${\displaystyle X/=_{f}}$は関数の共像と呼ばれる。${\displaystyle f,}$そして、${\displaystyle \operatorname {coim} f}$（またはその変形）。共像は、像と自然に同型である（集合論的な意味での全単射）。${\displaystyle \operatorname {im} f;}$具体的には、同値類は${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$（これは${\displaystyle \operatorname {coim} f}$) は${\displaystyle f(x)}$で${\displaystyle Y}$（これは${\displaystyle \operatorname {im} f}$)

あらゆる二項関係と同様に、関数の核はデカルト積の部分集合と考えることができる。${\displaystyle X\times X.}$ この形式では、カーネルは次のように表すことができます。${\displaystyle \ker f}$（またはその変形）は、記号的に^{[ 2 ]と定義されることがある。}$${\displaystyle \ker f:=\{(x,x'):f(x)=f(x')\}.}$$

この部分集合の特性の研究は、${\displaystyle f.}$

もし${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$は、何らかの固定されたタイプの代数構造（群、環、ベクトル空間など）であり、関数が${\displaystyle f:X\to Y}$は準同型写像である。${\displaystyle \ker f}$は合同関係（つまり、代数構造と互換性のある同値関係）であり、 の余像は${\displaystyle f}$は商です${\displaystyle X.}$^{[ 2 ]} 共像と像の間の全単射${\displaystyle f}$これは代数的な意味での同型写像であり、第一同型定理の最も一般的な形式である。

もし${\displaystyle f:X\to Y}$は 2 つの位相空間間の連続関数であり、その位相的性質は${\displaystyle \ker f}$空間に光を当てることができる${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y.}$ 例えば、${\displaystyle Y}$ハウスドルフ空間である場合${\displaystyle \ker f}$閉集合でなければならない。逆に、${\displaystyle X}$ハウスドルフ空間であり、${\displaystyle \ker f}$は閉集合であり、その共像は${\displaystyle f,}$商空間の位相が与えられた場合、それはハウスドルフ空間でもある必要がある。

空間がコンパクトであるのは、有限交差特性（FIP）を持つ閉部分集合のすべての族の核が空でない場合に限る。^{[ 4 ] [ 5 ]}言い換えれば、空間がコンパクトであるのは、FIPを持つ閉部分集合のすべての族が固定されている場合に限る。

• セットに対するフィルタリング– 「大きな」セットを表す部分集合のファミリー 

• アウォディ、スティーブ（2010）[2006].カテゴリー理論. オックスフォード論理ガイド. 第 49巻（第2 版）. オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-923718-0。
• ドレツキ、シモン；マイナール、フレデリック（2016）。トポロジーの収束基礎。ニュージャージー：ワールド・サイエンティフィック・パブリッシング・カンパニー。ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917 .