汎用フィルター

数学の集合論の分野において、汎用フィルタは強制化の理論で使用される一種のオブジェクトです。強制化は多くの目的で使用される手法ですが、特に、特定の命題がZFCなどの特定の形式理論から独立していることを証明するために使用されます。たとえば、ポール・コーエンは強制化を使用して、ZFC が矛盾しない場合は、正確にアレフ 1 の実数が存在するという連続体仮説を証明できないことを証明しました。コーエンの証明の現代的な再解釈では、の値を変更せずに、を超える実数をコード化する汎用フィルタを構築することで証明が進められます。 ${\displaystyle \aleph_{1}}$${\displaystyle \aleph_{1}}$

正式には、P を半順序集合とし、F をP 上のフィルターとします。つまり、F は次のようなPのサブセットです。

1. Fは空ではない
2. p、  q  ∈  Pかつp  ≤  qかつpがFの元である場合、q はFの元である（Fは上向きに閉じている）
3. pとq がFの元である場合、 r  ≤  pかつr  ≤  q を満たすFの元rが存在する（F は下向きである）

ここで、D がPの稠密な 開集合の集合であり、その位相において、 P内の特定のpに対して { q  |  q  ≤  p }の形式をとるすべての集合が基本開集合となる場合、F がD内のすべての集合を満たすとき、F はDジェネリックであると言われる。つまり、

${\displaystyle F\cap E\neq \varnothing ,\,}$すべての E ∈ D について。

同様に、MがZFC の推移 モデル(またはその十分なフラグメント) であり、PがMの要素である場合、F がMの要素であるPのすべての稠密な開部分集合を満たすとき、FはMジェネリックであると言われ、または M に対してジェネリックであることもあります。

• 1-generic  –計算可能性リダイレクト先の簡単な説明を表示するページにおける典型的な例に対するプロパティの保持
• Rasiowa–Sikorski 補題 – 数学的補題