自由表面

物理学において、自由表面とは、平行せん断応力がゼロである流体の表面であり、^[1] 2つの均質な流体間の界面 などがこれに当たります。^[2] このような均質な流体の例としては、水（液体）と地球の大気中の空気（気体混合物）が挙げられます。液体とは異なり、気体は単独では自由表面を形成できません。^[3]スラリー、粒状物質、粉末などの流動化/液化固体は自由表面を形成することがあります。

重力場にある液体は、上から拘束されなければ自由表面を形成する。^[3]力学的平衡 の下では、この自由表面は液体に作用する力に対して垂直でなければならない。そうでない場合は表面に沿った力が生じ、液体はその方向に流れる。^[4]したがって、地球の表面では、乱されない限り、液体の自由表面はすべて水平である（固体が自由表面の中に浸っている場合は除く。固体の近くでは、表面張力によってメニスカスと呼ばれる領域で表面が歪む）。^[4]

重力場などの外部の力の影響を受けない自由液体では、内部の引力のみが役割を果たします（例：ファンデルワールス力、水素結合）。その自由表面は、体積に対して表面積が最小となる形状、つまり完全な球体をとります。このような挙動は表面張力で表現できます。これは、同じ密度の水とアルコールの混合物の表面の下に置かれた大きな油滴を観察することで実験的に実証でき、油は中性浮力を持ちます。^{[5] [6]}

平坦度は、液体の自由表面の形状を指します。地球上では、液体の平坦度は惑星の曲率の関数であり、三角法から、1平方メートルの面積で真の平坦度から約19.6ナノメートルの偏差があることがわかります。この偏差は表面張力の影響によって決まります。この計算では、海面での地球の平均半径を使用していますが、液体は極ではわずかに平坦になります。^{[7] [8]長距離または惑星規模では、乱されていない液体の表面は等}ジオポテンシャル面 に従う傾向があります。たとえば、平均海面はジオイドにほぼ従います。

液体の自由表面が乱されると、表面に波が発生します。これらの波は弾性力による弾性波ではなく、乱された液体の表面を水平レベルに戻そうとする重力の力によって引き起こされる重力波です。運動量により波はオーバーシュートし、振動して表面の隣接部分に乱れを広げます。^[4]表面波の速度は、液体が深い場合は波長の平方根に比例して変化します。そのため、海上の長い波は短い波よりも速くなります。 ^{[4]非常に小さな波やさざ波は重力ではなく}毛細管現象によるもので、より長い海洋表面波とは異なる特性を持っています。^[4] これは、さざ波によって表面積が増加し、この場合の毛細管力が重力に比べて大きいためです。^[9] 毛細管さざ波は、表面下の粘性と表面レオロジーの両方によって減衰されます。

液体が円筒形の容器に入れられ、円筒の軸と一致する垂直軸の周りを回転している場合、自由表面は放物面と呼ばれる回転放物面をとります。各点の自由表面は、円内の各点の運動から生じる重力と遠心力の合力である、そこに作用する力に対して直角です。^[4]望遠鏡の主鏡は放物面である必要があるため、この原理を使用して液体鏡望遠鏡が作成されます。

円筒座標でZ方向に回転する液体で満たされた円筒形の容器を考えます。運動方程式は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial r}}=\rho r\omega ^{2},\quad {\frac {\partial P}{\partial \theta }}=0,\quad {\frac {\partial P}{\partial z}}=-\rho g,}$

ここでは圧力、は流体の密度、は円筒の半径、は角周波数、 は重力加速度です。一定圧力の表面をとれば、全微分は次のようになります 。${\displaystyle P}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle g}$${\displaystyle (dP=0)}$

${\displaystyle dP=\rho r\omega ^{2}dr-\rho gdz\to {\frac {dz_{\text{等圧線}}}{dr}}={\frac {r\omega ^{2}}{g}}.}$

積分すると、自由表面の方程式は次のようになる。

${\displaystyle z_{s}={\frac {\omega ^{2}}{2g}}r^{2}+h_{c},}$

ここで、回転軸に沿った容器の底からの自由表面の距離です。自由表面によって形成される放物面の体積を積分し、元の高さを解くと、円筒形容器の中心線に沿った流体の高さがわかります。 ${\displaystyle h_{c}}$

${\displaystyle h_{c}=h_{0}-{\frac {\omega ^{2}R^{2}}{4g}}.}$

中心から 任意の距離における自由表面の方程式は次のようになる。${\displaystyle r}$

${\displaystyle z_{s}=h_{0}-{\frac {\omega ^{2}}{4g}}(R^{2}-2r^{2}).}$

自由液体が軸を中心に回転している場合、自由表面は扁平な回転楕円体の形状をとります。これは赤道の膨らみによる地球のおおよその形状です。^[10]

• 流体力学では、自由表面は自由表面条件^[11]によって数学的に定義され、つまり圧力に対する物質微分はゼロである。$${\displaystyle {\frac {Dp}{Dt}}=0.}$$
• 流体力学では、自由表面渦（ポテンシャル渦または渦巻きとも呼ばれる）は、非回転流れの中で形成されます。^[12]例えば、浴槽の水を抜くときなどです。^[13]
• 造船学や海洋安全学において、自由表面効果は、部分的に満たされたタンクや船倉内の自由表面の下の液体や粒状物質が、船舶が傾いたときに移動する場合に発生します。^[14]
• 水理工学において、自由表面ジェットとは、ジェットの外側の流体の巻き込みが最小限であるジェットのことで、巻き込みの影響が大きい水中ジェットとは対照的である。空気中の液体ジェットは自由表面ジェットに近い。^[15]
• 流体力学において、自由表面流は開水路流とも呼ばれ、自由表面の下の流体の重力駆動による流れであり、典型的には大気中の空気の下を流れる水である。^[16]

• 自由表面効果
• 表面張力
• レーザー加熱による台座成長
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• 自由表面流の計算方法
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