鏡面反射

反射の法則は、線形代数を用いて等価的に表現することもできます。反射光線の方向は、入射ベクトルと表面法線ベクトルによって決定されます。入射方向が与えられた場合、${\displaystyle \mathbf {\hat {d}} _{\mathrm {i} }}$光源から表面までの距離と表面の法線方向${\displaystyle \mathbf {\hat {d}} _{\mathrm {n} },}$鏡面反射方向${\displaystyle \mathbf {\hat {d}} _{\mathrm {s} }}$(すべての単位ベクトル) は次のとおりです: ^{[ 9 ] [ 10 ]}

${\displaystyle \mathbf {\hat {d}} _{\mathrm {s} }=\mathbf {\hat {d}} _{\mathrm {i} }-2\mathbf {\hat {d}} _{\mathrm {n} }\left(\mathbf {\hat {d}} _{\mathrm {n} }\cdot \mathbf {\hat {d}} _{\mathrm {i} }\right),}$

どこ${\displaystyle \mathbf {\hat {d}} _{\mathrm {n} }\cdot \mathbf {\hat {d}} _{\mathrm {i} }}$は、内積によって得られるスカラーです。異なる著者は、入射方向と反射方向を異なる符号で定義する場合があります。これらのユークリッドベクトルが列形式で表現されていると仮定すると、この式は行列ベクトルの乗算として等価的に表現できます。^{[ 11 ]}

${\displaystyle \mathbf {\hat {d}} _{\mathrm {s} }=\mathbf {R} \;\mathbf {\hat {d}} _{\mathrm {i} },}$

どこ${\displaystyle \mathbf {R} }$は、いわゆるハウスホルダー変換行列であり、次のように定義されます。

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {I} -2\mathbf {\hat {d}} _{\mathrm {n} }\mathbf {\hat {d}} _{\mathrm {n} }^{\mathrm {T} };}$

単位行列の観点から${\displaystyle \mathbf {I} }$そして外側の製品の2倍${\displaystyle \mathbf {\hat {d}} _{\mathrm {n} }}$。

光が物質中を伝播し、屈折率の低い物質との界面に当たると、光の一部が反射されます。入射角が臨界角よりも大きい場合、全反射が起こり、光はすべて反射されます。臨界角は次のように表されます。

${\displaystyle \theta _{\text{crit}}=\arcsin \!\left({\frac {n_{2}}{n_{1}}}\right)\!.}$

光が2つの物質の界面に当たると、反射光は一般的に部分的に偏光します。しかし、光がブリュースター角で界面に当たると、反射光は界面に平行な完全な直線偏光になります。ブリュースター角は次のように表されます。

${\displaystyle \theta _{\mathrm {B} }=\arctan \!\left({\frac {n_{2}}{n_{1}}}\right)\!.}$

平面鏡に映る像には、次のような特徴があります。

• それは鏡の後ろ、物体が手前にある距離と同じ距離にある。
• それは対象物と同じ大きさです。
• 正しい向き（直立）です。
• 逆です。
• これは仮想像であり、つまり像は鏡の向こう側にあるように見え、スクリーンに投影することはできない。

平面鏡による像の反転は、状況によって見え方が異なります。多くの場合、鏡に映る像は左右反転しているように見えます。天井に平面鏡を取り付けた場合、その下に立って見上げると、上下反転しているように見えることがあります。同様に、左折する車は、前方の車の運転手から見ると、バックミラー上では依然として左折しているように見えます。方向の反転の有無は、方向の定義方法によって異なります。より具体的には、鏡は座標系の左右対称性を変化させ、座標系の軸の1つが反転しているように見え、像のキラリティが変化する可能性があります。たとえば、右足の靴の像は左足の靴のように見えます。