エルデシュ数

エルデシュ数（ハンガリー語: [ˈɛrdøːʃ] ）は、数学者ポール・エルデシュと他の人との間の「共同研究の距離」を、数学論文の著者数で表したものです。同じ原理は、特定の個人が多数の同僚と共同研究している他の分野でも適用されています。

パウル・エルデシュ（1913–1996）はハンガリーの著名な数学者で、晩年は500人以上の同僚とともに論文を執筆し、未解決の数学問題の解決に多くの時間を費やした。^[1]エルデシュは生涯で1,525本以上の論文を発表し、歴史上他のどの数学者よりも多くの論文を書いた（少なくとも1,525本^{[2] ）。 [1]}（数学の総ページ数ではレオンハルト・オイラーのほうが多かったが、個別の論文数は800本ほどと少なかった。）^[3]エルデシュはキャリアの大半を定住地や職を持たずに過ごした。持ち物をすべて2つのスーツケースに入れて旅をし、共同研究したい数学者をしばしば突然訪ね、一緒に滞在することを覚悟していた。^{[4] [5] [6]}

エルデシュ数というアイデアは、もともとこの数学者の友人たちが彼の膨大な成果を讃えて考案したものです。後に、数学者がどのように協力して未解決の問題の答えを見つけるかを研究するツールとして注目されるようになりました。いくつかのプロジェクトは、エルデシュ数を代理として用いて研究者間のつながりを研究することに専念しています。^[7]たとえば、エルデシュのコラボレーショングラフは、著者がどのように集まっているか、論文あたりの共著者数が時間の経過とともにどのように変化するか、新しい理論がどのように伝播するかを教えてくれます。^[8]

いくつかの研究によると、一流の数学者はエルデシュ数が特に低い（つまり、近接性が高い）傾向があることが示されています。^[9]フィールズ賞受賞者のエルデシュ数の中央値は3です。エルデシュ数が2以下の人はわずか7,097人（共同研究の道筋がある数学者の約5％）です。^[10]時間が経つにつれて、エルデシュ数の低い数学者が亡くなり、共同研究ができなくなるため、達成可能な最低のエルデシュ数は必然的に増加します。それでも、歴史上の人物が低いエルデシュ数を持つ場合があります。たとえば、有名なインドの数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンのエルデシュ数はわずか3です​​（GHハーディ、エルデシュ数2経由）が、ラマヌジャンが亡くなったとき、ポール・エルデシュはまだ7歳でした。^[11]

エルデシュ数が割り当てられるには、有限のエルデシュ数を持つ別の人物と研究論文の共著者でなければなりません。ポール・エルデシュ自身にはエルデシュ数 0 が割り当てられています。ある著者のエルデシュ数は、その共著者の最も低いエルデシュ数より 1 大きい値です。たとえば、エルデシュと共著した著者のエルデシュ数は 1 になります。アメリカ数学会は、Mathematical Reviewsカタログに掲載されている 2 人の数学著者間の共同研究距離を決定するための無料のオンライン ツールを提供しています。^[11]

エルデシュは生涯で約1,500本の数学論文を執筆したが、そのほとんどは共著である。彼には509人の直接の共著者がいた。^[7]これらはエルデシュ数1を持つ人々である。彼らと共著した人々（エルデシュ自身とは共著していない）のエルデシュ数は2（2020年8月7日現在で12,600人^[12]）、エルデシュ数が2の人と共著した人々（エルデシュやエルデシュ数が1の人とは共著していない）のエルデシュ数は3、などとなる。エルデシュにつながるこのような共著の連鎖を持たない人のエルデシュ数は無限大（または未定義）である。ポール・エルデシュの死後、新しい研究者が得られるエルデシュ数の最低値は2である。

2 人の著者間のつながりを構成する要素については、曖昧さの余地があります。アメリカ数学会の共同研究距離計算機は、数学雑誌のほとんどを含み、他の主題は限定的にしかカバーしていないMathematical Reviewsのデータを使用しています。また、非研究出版物もいくつか含まれています。Erdős Number Project の Web サイトには次のように書かれています。

...MRシステムの欠点の1つは、共同執筆されたすべての作品が、実際には共同研究ではない死亡記事などの記事であっても、正当なリンクを提供しているとみなされることです。... ^[13]

また、次のようにも述べています。

... 頂点 u と v の間にエッジを含める基準は、それらの間で何らかの共同研究が行われ、その結果として出版された作品があることです。追加の共著者は任意の数まで許可されます。

ただし、初等教科書、共同編集者、死亡記事などの非研究出版物は除外されます。「第2種のエルデシュ数」は、エルデシュ数の割り当てを2人の共同研究者がいる論文に制限します。^[14]

エルデシュ数は、おそらく、エルデシュ数が2である分析家、カスパー・ゴフマンによって初めて印刷物で定義されました。 ^{[12]ゴフマンは、1969年に「}そしてあなたのエルデシュ数は何ですか？」と題した論文で、エルデシュとの多作な共同研究についての見解を発表しました。 ^[15]マイケル・ゴロムの死亡記事のコメントも参照してください。^[16]

フィールズ賞受賞者の中でエルデシュ数の平均は3と低い。^[10]エルデシュ数2のフィールズ賞受賞者には、アトレ・セルバーグ、小平邦彦、クラウス・ロス、アラン・ベイカー、エンリコ・ボンビエリ、デイヴィッド・マンフォード、チャールズ・フェファーマン、ウィリアム・サーストン、シン・トン・ヤウ、ジャン・ブルガン、リチャード・ボルチャーズ、マンジュル・バーガヴァ、ジャン＝ピエール・セール、テレンス・タオがいる。エルデシュ数1のフィールズ賞受賞者はいない。^[17]しかし、エンドレ・セメレディはエルデシュ数1のアーベル賞受賞者である。^[9]

エルデシュは数百人の共著者と共同研究をしましたが、数十本の論文を共著した人もいました。これはエルデシュと最も頻繁に共著した10人と、エルデシュと共著した論文の数（つまり共同研究の数）のリストです。^[18]

2022年現在^{[アップデート]}、フィールズ賞受賞者全員のエルデシュ数は有限であり、その値の範囲は2から6で、中央値は3である。対照的に、有限エルデシュ数を持つすべての数学者のエルデシュ数の中央値は5で、極値は13である。^[19]以下の表は、物理学、化学、医学、経済学のノーベル賞受賞者のエルデシュ数統計をまとめたものである。 ^[20]最初の列は受賞者の数を数える。2番目の列は有限エルデシュ数を持つ受賞者の数を数える。3番目の列は有限エルデシュ数を持つ受賞者の割合である。残りの列は、それらの受賞者のエルデシュ数の最小値、最大値、平均値、中央値を報告している。

物理学分野のノーベル賞受賞者のうち、アルバート・アインシュタインとシェルドン・グラショーのエルデシュ数は2である。エルデシュ数が3のノーベル賞受賞者には、エンリコ・フェルミ、オットー・シュテルン、ヴォルフガング・パウリ、マックス・ボルン、ウィリス・E・ラム、ユージン・ウィグナー、リチャード・P・ファインマン、ハンス・A・ベーテ、マレー・ゲルマン、アブドゥス・サラム、スティーブン・ワインバーグ、ノーマン・F・ラムゼイ、フランク・ウィルチェク、デビッド・ワインランド、ジョルジオ・パリシがいる。フィールズ賞を受賞した物理学者のエド・ウィッテンのエルデシュ数は3である。^[10]

計算生物学者の リオル・パクターのエルデシュ数は2である。^[21] 進化生物学者の リチャード・レンスキーのエルデシュ数は3であり、リオル・パクターおよび数学者のベルント・シュトゥルムフェルスと共著で論文を執筆しているが、両者ともエルデシュ数は2である。^[22]

ノーベル経済学賞受賞者のうちエルデシュ数が 2 の人は少なくとも 2 人います。ハリー・M・マーコウィッツ(1990 年) とレオニード・カントロヴィッチ(1975 年) です。エルデシュ数が 2 であるその他の金融数学者には、デビッド・ドノホ、マーク・ヨー、ヘンリー・マッキーン、ダニエル・ストロック、ジョセフ・ケラーなどがいます。

エルデシュ数が3のノーベル経済学賞受賞者には、ケネス・J・アロー（1972年）、ミルトン・フリードマン（1976年）、ハーバート・A・サイモン（1978年）、ジェラール・ドブリュー（1983年）、ジョン・フォーブス・ナッシュ・ジュニア（1994年）、ジェームズ・マーリーズ（1996年）、ダニエル・マクファデン（2000年）、ダニエル・カーネマン（2002年）、ロバート・J・オーマン（2005年）、レオニード・ハーウィッツ（2007年）、ロジャー・マイヤーソン（2007年）、アルビン・E・ロス（2012年）、ロイド・S・シャプレー（2012年）、ジャン・ティロール（2014年）がいる。^[23]

エルデシュ数が低い数学者によって設立された投資会社もいくつかある。その中には、アクスコム・テクノロジーズのジェームズ・B・アックス氏やルネッサンス・テクノロジーズのジェームズ・H・シモンズ氏などがあり、両者ともエルデシュ数は3である。^{[24] [25]}

より形式的な哲学は数学の基礎と推論を共有しているため、これらの分野はかなり重複しており、エルデシュ数は多くの哲学者に利用可能です。^[26]哲学者のジョン・P・バージェスとブライアン・スキルムズのエルデシュ数は2です。^{[12]エルデシュ数が2であるジョン} ・バーワイズとジョエル・デイビッド・ハムキンスも哲学に多大な貢献をしていますが、主に数学者として説明されています。

リチャード・ポズナー判事は、アルビン・E・ロスと共著しており、エルデシュ数は最大で4である。ハーバード大学ロースクールで教鞭をとる政治家、哲学者、法理論家のロベルト・マンガベイラ・ウンガーは、リー・スモーリンと共著しており、エルデシュ数は最大で4である。

2005年から2021年までドイツの首相を務めたアンゲラ・メルケルのエルデシュ数は最大5である。^[17]

工学の分野、特に通信理論と暗号学では、エルデシュが提唱した離散数学を直接利用している。そのため、これらの分野の専門家のエルデシュ数が低いのは驚くことではない。例えば、カリフォルニア工科大学の電気工学教授であるロバート・マケリースは、エルデシュ自身と共同研究していたにもかかわらず、エルデシュ数が1であった。^[27] RSA暗号システムの発明者である暗号学者のロン・リベスト、アディ・シャミール、レナード・アデルマンは、全員エルデシュ数2である。^[21]

ルーマニアの数学者で計算言語学者のソロモン・マーカスは、 1957年にエルデシュと共著したActa Mathematica Hungaricaの論文でエルデシュ数を1としました。^[28]

エルデシュ数は長年世界中の数学者の伝説の一部となっている。2000年代初頭に活躍していた数学者の中で有限のエルデシュ数を持つ人の数は最大15で、中央値は5、平均値は4.65である。 ^[7]有限のエルデシュ数を持つ人のほぼ全員が8未満の数を持っている。今日の科学では学際的な共同研究が非常に頻繁に行われているため、他の多くの科学分野でも数学者以外の非常に多くの人たちも有限のエルデシュ数を持っている。^[29]例えば、政治学者のスティーブン・ブラムスのエルデシュ数は2です。生物医学研究では、統計学者が論文の著者に含まれることはよくあり、多くの統計学者はエルデシュ数が2のジョン・テューキーを介してエルデシュにリンクすることができます。同様に、著名な遺伝学者のエリック・ランダーと数学者のダニエル・クライトマンは論文で協力しており、^{[30] [31]}クライトマンのエルデシュ数は1であるため、^[32]遺伝学とゲノミクスのコミュニティの大部分はランダーと彼の多数の協力者を介してリンクすることができます。同様に、グスタフス・シモンズとの共同研究により、暗号研究コミュニティ内でエルデシュ数への扉が開かれ 、多くの言語学者が有限のエルデシュ数を持っているが、その多くはノーム・チョムスキー（エルデシュ数4）^{[33] 、}ウィリアム・ラボフ（3）^{[34] 、}マーク・リバーマン（3）^{[35] 、}ジェフリー・プルム（3） ^[36]、イヴァン・サグ（4）^{[37]などの著名な学者との共同研究の連鎖によるものである。}芸術分野とのつながりもある。 ^[38]

アレックス・ロペス＝オルティスによれば、 1986年から1994年の3回の受賞サイクルにおけるフィールズ賞とネヴァンリンナ賞の受賞者全員のエルデシュ数は最大9である。

初期の数学者は現代の数学者よりも論文数が少なく、共著論文を発表することも稀であった。有限のエルデシュ数を持つ最古の人物として知られているのは、出版資格の基準に応じて、アントワーヌ・ラボアジエ（1743年生まれ、エルデシュ数13）、リチャード・デデキント（1831年生まれ、エルデシュ数7）、フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス（1849年生まれ、エルデシュ数3）のいずれかである。^[39]

マーティン・トンパ^[40]は、エルデシュ数問題の有向グラフ版を提案した。これは、コラボレーショングラフの辺をアルファベット順で前の著者から後の著者へと向け、著者の単調なエルデシュ数をこの有向グラフにおけるエルデシュから著者までの最長経路の長さとして定義したものである。彼は、このタイプの経路の長さが12であることを発見した。

また、マイケル・バーは「有理エルデシュ数」を提案し、エルデシュと共同論文をp本書いた人にはエルデシュ数1/ pが割り当てられるという考えを一般化している。^[41] 2番目の種類の共同マルチグラフ（彼は1番目の種類のケースを扱う方法も持っているが）から、2人の数学者が共同で発表した論文ごとに1つのエッジを持つ電気ネットワークを形成し、各エッジに1オームの抵抗器を持つ電気ネットワークを形成する。2つのノード間の総抵抗は、これら2つのノードがどれだけ「近い」かを示す。

「個々の研究者にとって、エルデシュ数のような指標はネットワークの構造的特性を捉えるのに対し、h指数は出版物の引用の影響力を捉える」と主張されており、「共著ネットワークのランキングでは、現実的で受け入れ可能なランキングを生成するために、両方の指標を考慮に入れる必要があることは容易に納得できる」とされている^{[42] 。}

2004年、エルデシュ数が4の数学者ウィリアム・トージャーが共著の権利をeBayでオークションにかけ、購入者にエルデシュ数が5となる権利を与えた。1031ドルで落札したのはスペインの数学者だったが、彼は支払いを拒否し、嘲笑だと考えた行為を阻止するために入札しただけだった。^{[43] [44]}

この概念のさまざまなバリエーションが他の分野にも応用されることが提案されているが、特にベーコン数（ゲーム「Six Degrees of Kevin Bacon 」など）は、一連の映画での共演によって俳優を俳優ケビン・ベーコンに結び付けるものである。これは、ゴフマンのエルデシュ数に関する論文の25年後の1994年に作成された。

少数の人々はエルデシュとベーコンの両方に関係があり、2つの数を足し合わせたエルデシュ・ベーコン数を持っています。一例として、テレビシリーズ「ワンダー・イヤーズ」でウィニー・クーパーを演じたことで最もよく知られている女優で数学者のダニカ・マッケラーがいます。彼女のエルデシュ数は4です^[45]、ベーコン数は2です^[46]。

さらに拡張することも可能です。たとえば、「エルデシュ・ベーコン・サバス数」は、エルデシュ・ベーコン数と、公衆の面前で歌うという点でのバンド、ブラック・サバスとの協力距離の合計です。物理学者のスティーブン・ホーキングのエルデシュ・ベーコン・サバス数は8でした。^[47]女優のナタリー・ポートマンは11です（彼女のエルデシュ数は5です）。^[48]

チェスにおいて、モーフィー番号は、当時最も偉大なチェスプレイヤーであり、非公式の世界チェスチャンピオンと広く考えられていたポール・モーフィーとのプレイヤーの関係を表します。^[49]

囲碁では、秀策番号は、そのプレイヤーが当時最強のプレイヤーであった本因坊秀策との関係を表す。^{[50] [51]}

ビデオゲームでは、リュウナンバーはビデオゲームのキャラクターとストリートファイターのキャラクターであるリュウとのつながりを表します。^{[52] [53]}

• 著者レベルの指標 – 個々の著者の計量書誌学的影響の指標
• コラボレーション グラフ – ソーシャル ネットワークにおけるコラボレーションをグラフでモデル化
• エルデシュ数による人物一覧
• ポール・エルデシュにちなんで名付けられたもののリスト
• 科学計量学 – 学術文献の定量的研究
• 6次の隔たり – すべての人々の社会的相互関係の概念
• スモールワールド実験 – ソーシャルネットワークの平均経路長を調べる実験
• スモールワールドネットワーク – ほとんどのノードが少数のステップで到達可能なグラフ
• 科学的知識の社会学 – 社会活動としての科学の研究

• ジェリー・グロスマン、エルデシュ数プロジェクト。統計と、エルデシュ数が 2 以下のすべての数学者の完全なリストが含まれています。
• 新しいエルデシュ数プロジェクトのウェブサイト 2021 年に新しいサイトに移行します。
• 「よく知られているコラボレーション グラフの一部について」、Jerrold W. Grossman と Patrick DF Ion。
• 「エルデシュ共同グラフのいくつかの分析」、Vladimir Batagelj と Andrej Mrvar。
• アメリカ数学会、MR 無料ツール: コラボレーション距離。エルデシュ数と他の著者間のコラボレーション距離を検索するエンジン。
• Numberphile ビデオ。虚数エルデシュ数に関するロナルド・グラハム。