クラウス・ロス

クラウス・ロス
生まれる	クラウス・フリードリヒ・ロート ( 1925-10-29 )1925年10月29日 ブレスラウ、下シロンスク県、ワイマール、ドイツ
死亡	2015年11月10日(2015-11-10)（享年90歳） インヴァネス、スコットランド
教育	セントポールスクール、ロンドン ピーターハウス、ケンブリッジ ユニバーシティ・カレッジ・ロンドン
知られている	ディオファントス近似 矛盾理論 大きなふるい
受賞歴	フィールズ賞（1958年） 王立協会会員（1960年） ド・モルガン賞（1983年） シルベスターメダル（1991年）
科学者としてのキャリア
フィールド	数学
機関	ユニバーシティ・カレッジ・ロンドン インペリアル・カレッジ・ロンドン
論文	ほぼすべての正の整数は平方、正の三乗、および 4 乗の和であることの証明 (1950)
博士課程の指導教員	テオドール・エステルマン
その他の学術アドバイザー	ジョン・チャールズ・バーキル ハロルド・ダベンポート

クラウス・フリードリヒ ・ロート（1925年10月29日 - 2015年11月10日）は、ドイツ生まれのイギリスの数学者で、代数的数のディオファントス近似に関するロートの定理を証明したことでフィールズ賞を受賞した。また、ド・モルガン賞とシルベスター賞も受賞しており、王立協会会員でもあった。

ロス氏は1933年、ナチスから逃れるために幼少の頃にイギリスに移住し、ケンブリッジ大学とロンドン大学ユニバーシティ・カレッジで学び、1950年に博士号を取得した。1966年までロンドン大学ユニバーシティ・カレッジで教鞭をとり、その後インペリアル・カレッジ・ロンドンの教授に就任した。1988年に退職した。

ディオファントス近似に関する研究以外にも、ロスは算術的組合せ論における進行自由集合の理論や分布の不規則性の理論に多大な貢献をした。また、累乗の和、大ふるい、ハイルブロンの三角形問題、正方形への正方形詰めの研究でも知られている。彼は整数列の列という本の共著者である。

ロスは1925年10月29日、プロイセンのブレスラウでユダヤ人の家庭に生まれた。両親は1933年にナチスの迫害を逃れるため彼と共にロンドンに定住し、彼は英国で育ち教育を受けた。 ^{[1] [2]弁護士であった彼の父親は}第一次世界大戦中に毒ガスにさらされ、ロスがまだ幼かった頃に亡くなった。ロスは1939年から1943年までロンドンのセントポールスクールの生徒となり、ロンドン大空襲の際には他の生徒と共にイーストハムステッドパークに疎開した。学校ではチェスと数学の両方に秀でていることで知られていた。彼は航空訓練隊に入隊しようとしたが、ドイツ人であるという理由で数年間阻止され、その後はパイロットに必要な協調性が欠けているとして阻止された。^[2]

ロスはケンブリッジ大学ピーターハウス校で数学を学び、ケンブリッジ大学のチェスチームで第一盤を担当し、 ^[2] 1945年に卒業した。^[3] 数学の才能があったにもかかわらず、数学トリポスではテストの受験能力が低かったため、3級優等しか取れなかった。ケンブリッジ大学の家庭教師、ジョン・チャールズ・バーキルは、ロスが数学を続けることに賛成せず、代わりに「統計に偏った商業的な仕事」に就くことを勧めた。^[2]その代わりに、彼はケンブリッジ大学を卒業してから大学院の研究を始めるまでの間、ゴードンストーン で短期間教師になった。 ^{[1] [2]}

ハロルド・ダヴェンポートの推薦により、1946年にユニバーシティ・カレッジ・ロンドンの数学修士課程に入学し、テオドール・エステルマンの指導の下で研究した。^[2] 1948年に修士号を取得し、1950年に博士号を取得した。^[3]博士論文は「ほぼすべての正の整数は、平方、正の三乗、4乗の和であることの証明」であった。^[4]

1948年に修士号を取得すると、ロスはロンドン大学ユニバーシティ・カレッジの助教授となり、1950年に講師に昇進した。^[5] 彼の最も重要な貢献であるディオファントス近似、無漸化列、矛盾はすべて1950年代半ばに発表され、1958年には数学者最高の栄誉であるフィールズ賞を受賞した。^{[2] [6]}しかし、彼が教授に昇進したのは1961年になってからだった。^[1] この間、彼はハロルド・ダヴェンポートと緊密に協力し続けた。^[2]

ロスは1950年代半ばから1960年代半ばにかけてマサチューセッツ工科大学で長期休暇を取り、真剣に米国への移住を検討した。ウォルター・ヘイマンとパトリック・リンステッドは、この可能性を英国の数学にとって脅威とみなし、インペリアル・カレッジ・ロンドンの純粋数学の教授職をオファーし、ロスは1966年に教授職を引き受けた。^[2]彼は1988年に正式に退職するまでこの職に留まった。^[1]彼は1996年までインペリアル・カレッジに客員教授として留まった。^[3]

ロスの講義は通常は非常に明瞭であったが、時折とんでもないこともありました。^[2]数学系譜プロジェクトで は、ロスには博士課程の学生が2人しかいなかったと記載されていますが、^{[4]そのうちの1人、ウィリアム・チェンはロスの矛盾理論の研究を引き継ぎ、}オーストラリア数学会の会員となり、マッコーリー大学数学科長になりました。^[7]

1955年、ロスはメレク・カイリーと結婚した。彼女は、彼の最初の講義で学生だった時に彼の注目を集めていた。カイリーはエジプトの上院議員カイリー・パシャの娘だった^{[1] [2]}彼女はロンドン大学ユニバーシティ・カレッジの心理学部に勤務し、そこでネズミに対する毒素の影響に関する研究を発表した。^[8] ロスが引退すると、彼らはインヴァネスに引っ越した。ロスは、彼らの共通の興味であるラテンダンスに家の一室を捧げた。^{[2] [9]} カイリーは2002年に亡くなり、ロスは2015年11月10日にインヴァネスで90歳で亡くなった。^{[1] [2] [3]} 彼らには子供がなく、ロスは100万ポンドを超える財産の大半を「インヴァネス市に住む高齢者や病弱者を助ける」2つの医療慈善団体に寄付した。彼はフィールズ賞を、より少額の遺贈とともにピーターハウスに送った。^[10]

ロスは理論構築者というよりは数学の問題解決者として知られていた。ハロルド・ダベンポートは「ロス博士の研究の教訓」は「数学の未解決の大きな問題は、それがいかに困難で手に負えないように見えても、また、いかに多くの努力がすでに費やされてきたとしても、直接的な攻撃によって解決される可能性がある」ということだと書いている。^{[6]彼の研究対象は、}数論、矛盾理論、整数列理論の複数のトピックに及んだ。

ディオファントス近似の主題は、無理数を有理数で正確に近似することである。代数的数をどれだけ正確に近似できるかという問題は、この問題に関するアクセル・トゥーとカール・ルートヴィヒ・ジーゲルによる以前の進展に続いて、トゥー–ジーゲル問題として知られるようになった。近似の精度は数 の近似指数によって測定できる。近似指数は、 で無限に多くの有理数近似を持つ最大の数として定義される。近似指数が大きい場合、 は指数が小さい数よりも正確な近似を持つ。可能な最小の近似指数は 2 である。最も近似が難しい数でさえ、単純な連分数を使って指数 2 で近似することができる。^{[3] [6]}ロスの研究以前は、代数的数は、数を定義する多項式の次数に関連して、より大きな近似指数を持つことができると信じられていた。 ^[2]${\displaystyle x}$${\displaystyle e}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p/q}$${\displaystyle |xp/q|<1/q^{e}}$${\displaystyle x}$

1955年、ロスは現在ロスの定理として知られる定理を発表し、この問題に完全に決着をつけた。彼の定理は近似指数と次数の関係を否定し、近似指数に関して、代数的数は無理数の中で最も不正確に近似されることを証明した。より正確には、無理代数的数の場合、近似指数は常にちょうど2であることを証明した。^{[3]ロスがフィールズ賞を受賞した1958年、}ハロルド・ダベンポートが国際数学者会議で発表したロスの研究の概説で、ダベンポートはこの結果をロスの「最大の業績」と呼んだ。^[6]

1953年の「ロスの定理」と呼ばれるもう一つの結果は、算術組合せ論におけるもので、等差数列 に3がない整数の列に関するものである。これらの列は1936年にポール・エルデシュとパル・トゥランによって研究され、彼らはそれらがまばらであると予想した。^{[11] [a]} しかし、1942年にラファエル・セーラムとドナルド・C・スペンサーは、からまでの数の、任意の に対して に比例するサイズを持つ、累進のない部分集合を構築した。^[12]${\displaystyle 1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n^{1-\varepsilon }}$${\displaystyle \epsilon >0}$

ロスは、そのような集合のサイズが に比例することは不可能であることを証明して、エルデシュとトゥランの正当性を証明した。つまり、すべての密な整数集合には3項の等差数列が含まれる。彼の証明は、ハーディ・リトルウッド円法を含む解析的数論の手法を使用して、与えられた数列の数を推定し、数列が十分に密である場合、この数はゼロではないことを示した。^{[2] [13]}${\displaystyle n}$

その後、他の著者らはロスの累進自由集合のサイズに関する限界を強化した。^[14]別の方向への強化であるセメレディの定理は、整数の稠密集合には任意の長さの等差数列が含まれることを示している。^[15]

ロスはディオファントス近似に関する研究で高い評価を得たが、ウィリアム・チェンとボブ・ヴォーンの死亡記事によると、ロスが最も誇りに思っていたのは分布の不規則性に関する研究だった。^{[2]このテーマに関する1954年の論文は、現代の}不一致理論の基礎を築いた。これは単位正方形内の点の配置に関するもので、原点と正方形の点の間に囲まれたすべての長方形の面積は、その中の点の数でよく近似される。^[2]${\displaystyle n}$

ロスは、点の数と面積の差の二乗でこの近似値を測定し、ランダムに選ばれた長方形について、差の二乗の期待値は の対数であることを証明した。この結果は可能な限り最良のものであり、同じ問題に対するタチアナ・パブロフナ・エーレンフェストによる以前の限界を大幅に改善した。^{[16]エーレンフェストと}ヨハネス・ファン・デル・コルプトによる同じ問題に関する先行研究にもかかわらず、ロスはこの結果が「新しい課題のきっかけとなった」と自慢していたことで知られていた。^[2]${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

ロスの初期の業績には、ほぼすべての正の整数が平方、立方、4 乗の和として表せることを示した 1949 年の累乗の和に関する論文や、平方数間のギャップに関する 1951 年の論文などがあり、チェンとヴォーンはそれぞれ「非常にセンセーショナル」と「かなり重要」と評している。^[2]インペリアル カレッジでの就任講義は、大きなふるい、つまり素数を法とする多くの合同な数が禁じられている整数集合のサイズを制限することについてのものだった。^[17]ロスは、この問題に関する論文を 1965 年に発表していた。

ロスのもう一つの関心は、ハイルブロンの三角形問題、つまり正方形内に点を配置して面積の小さい三角形を避ける問題であった。この問題に関する彼の 1951 年の論文は、達成できる面積の非自明な上限を初めて証明した。彼は最終的にこの問題に関する 4 つの論文を発表し、最新のものは 1976 年に発表された。 ^[18] ロスはまた、正方形 内の正方形の詰め込みに関しても大きな進歩を遂げた。単位正方形を明らかに軸に平行な方法で正方形に詰め込むと、 の値が整数よりわずかに小さい場合、ほぼ の面積を未被覆のままにできる。ポール・エルデシュとロナルド・グラハムが、より巧妙な傾斜詰め込みにより のみという大幅に小さい面積を残せることを証明した後、^{[19]ロスと}ボブ・ヴォーンは、この問題に関する最初の非自明な下限を証明する 1978 年の論文でこれに応えた。彼らが示したように、 のいくつかの${\displaystyle s\times s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle 2s}$${\displaystyle O(s^{7/11})}$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\sqrt {s}}}$

1966年、ヘイニ・ハルバースタムとロスは整数列に関する著書『Sequences』を出版した。当初は2巻セットの第1巻となる予定で、その内容には、列の和の密度、列の要素の和としての整数の表現の数の上限、和がすべての整数を表す列の密度、ふるい理論と確率法、どの要素も他の要素の倍数ではない列などが含まれていた。^[21]第2版は1983年に出版された。 ^[22]

ロスは1958年にディオファントス近似に関する研究でフィールズ賞を受賞した。彼はイギリス人初のフィールズ賞受賞者となった。 ^{[1]彼は1960年に}王立協会会員に選出され、後にエディンバラ王立協会名誉会員、ロンドン大学ユニバーシティ・カレッジ会員、ロンドン大学インペリアル・カレッジ会員、ピーターハウス名誉会員となった。^[1]フィールズ賞、王立協会会員、教授職が名誉の逆の順序で与えられたことは彼にとって面白かった。^[2]

ロンドン数学会は1983年にロスにド・モルガン賞を授与した。 ^[3] 1991年に王立協会は「数論への多大な貢献、特に代数的数を有理数で近似することに関する有名な問題の解決」に対してシルベスター賞を授与した。 ^[23]

2009年にはロスの80歳の誕生日を記念して、ロスの研究に関連するトピックに関する32のエッセイをまとめた記念誌が出版され、 ^{[24] 2017年には}ロンドン大学ユニバーシティ・カレッジの学術誌「Mathematika」 の編集者がロスに特別号を捧げた。^[25] ロスの死後、インペリアル・カレッジ数学科はロスを称えてロス奨学金を設立した。^[26]

• Roth, KF (1949)。「ほぼすべての正の整数は平方、正の立方、および 4 乗の和であることの証明」。ロンドン数学会誌。第 2 シリーズ。24 : 4–13。doi :10.1112/ jlms /  s1-24.1.4。MR 0028336。Zbl 0032.01401  。
• Roth, KF (1951a)。「ハイルブロンの問題について」。 ロンドン数学会誌。第 2 シリーズ。26 (3): 198–204。doi :10.1112/ jlms /s1-26.3.198。MR 0041889。Zbl 0043.16303  。
• Roth, KF (1951b)。「平方数間のギャップについて」。ロンドン数学会誌。第 2 シリーズ。26 (4): 263–268。doi :10.1112/ jlms /  s1-26.4.263。MR 0043119。Zbl 0043.04802  。
• Roth, KF (1953)。「特定の整数集合について」。 ロンドン数学会誌。第 2 シリーズ。28 : 104–109。doi :10.1112/ jlms /s1-28.1.104。MR 0051853。Zbl 0050.04002  。
• Roth, KF (1954). 「分布の不規則性について」. Mathematika . 1 (2): 73–79. doi :10.1112/S0025579300000541. MR  0066435. Zbl  0057.28604.
• Roth, KF (1955). 「代数的数の有理近似」. Mathematika . 2 : 1–20, 168. doi :10.1112/S0025579300000644. MR  0072182. Zbl  0064.28501.
• Roth, KF (1965). 「Linnik と Rényi の大型ふるいについて」. Mathematika . 12 : 1–9. doi :10.1112/S0025579300005088. MR  0197424. Zbl  0137.25904.
• Roth, KF (1976). 「ハイルブロンの三角形問題の発展」.数学の進歩. 22 (3): 364–385. doi : 10.1016/0001-8708(76)90100-6 . MR  0429761. Zbl  0338.52005.
• Roth, KF; Vaughan, RC (1978). 「単位正方形で正方形を詰める際の非効率性」. Journal of Combinatorial Theory . Series A. 24 (2): 170–186. doi : 10.1016/0097-3165(78)90005-5 . MR  0487806. Zbl  0373.05026.

• ハルバースタム, ヘイニ;ロート、クラウス・フリードリッヒ (1966)。シーケンス。ロンドン：クラレンドン・プレス。^[21]第2版は1983年にSpringer-Verlagから出版されました。^[22]