サイクル指数

組み合わせ 数学において、サイクル指数は、一連の順列が集合に及ぼす影響に関する情報が係数と指数から簡単に読み取れるように構成された、複数の変数を持つ多項式です。代数形式で情報を格納するこのコンパクトな方法は、組み合わせ列挙で頻繁に使用されます。

オブジェクトの有限集合の各順列 π は、その集合をサイクルに分割します。π のサイクル インデックス単項式は、変数a ₁、a ₂、…の単項式であり、この分割のサイクルの種類を記述します。 a _iの指数は、サイズiの π のサイクルの数です 。順列群のサイクル インデックス多項式は、その要素のサイクル インデックス単項式の平均です。サイクル インデックスの代わりに、サイクルインジケータという語句が使用されることもあります。

順列群の循環指数多項式がわかれば、群の作用による同値類を列挙することができます。これがポリア列挙定理の主な要素です。これらの多項式に対して形式的な代数演算と微分演算を実行し、その結果を組合せ的に解釈することが、種理論の核心です。

集合Xからそれ自身への全単射写像はXの置換と呼ばれ、Xのすべての置換の集合は写像の合成の下で群を形成し、 Xの対称群と呼ばれ、Sym( X  ) と表記される。Sym( X ) のすべての部分群は次数| X |の置換群と 呼ばれる 。^[1] G を、 GからSym( X ) への群準同型φを持つ抽象群とする 。像φ( G ) は置換群である。群準同型は、群G が集合Xに「作用」することを可能にする手段と考えることができる( Gの要素に関連付けられた置換を使用して)。このような群準同型は、正式にはGの置換表現と呼ばれる。与えられた群は、異なる作用に対応する多くの異なる置換表現を持つことができる。^[2]

群G が集合Xに作用すると仮定する（つまり、群作用が存在する）。組合せ論的応用では、関心は集合Xにある。たとえば、Xに含まれるものを数えたり、 Gによって不変にされる可能性のある構造を知ることなどである。このような設定で順列群を扱うことで失われるものはほとんどないので、これらの応用では、群が考慮される場合、扱われるのは群の順列表現であり、したがって群作用を指定しなければならない。一方、代数学者は群自体に興味があり、群作用の核、つまり群からその順列表現に移る際にどれだけ失われるかを測定する核に関心があるだろう。^[3]

有限順列は、集合X = {1,2, ..., n } 上の群作用として表現されることが多い。この設定での順列は、2行表記で表すことができる。つまり、

${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&2&3&4&5\\2&3&4&5&1\end{matrix}}\right)}$

は、1 ↦ 2、2 ↦ 3、3 ↦ 4、4 ↦ 5、5 ↦ 1 を送信するX = {1, 2, 3, 4, 5}上の一対一に対応します。これは、表記の列から読み取ることができます。一番上の行がXの要素を適切な順序で表したものであると理解されている場合、2 行目のみを記述する必要があります。この 1 行表記では、例は [2 3 4 5 1] になります。^[4]この例は、数字を「循環させる」ため、循環置換として知られており、3 つ目の表記は (1 2 3 4 5) になります。この循環表記は、各要素がその右側の要素に送信されますが、最後の要素は最初の要素に送信されます (先頭に「循環」します) と読みます。サイクル表記では、サイクルがどこから始まるかは関係ありません。したがって、(1 2 3 4 5) と (3 4 5 1 2) と (5 1 2 3 4) はすべて同じ順列を表します。サイクルの長さは、サイクル内の要素の数です。

すべての順列が巡回順列であるわけではないが、すべての順列は本質的に一方向の互いに素な（共通要素を持たない）巡回の積^{[5]として表すことができる。 [6]順列には}固定点（順列によって変化しない要素）がある場合があり、これらは長さ 1 の巡回で表すことができる。例えば、^[7]

${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&2&3&4&5&6\\2&1&3&5&6&4\end{matrix}}\right)=(12)(3)(456).}$

この順列は、長さ 2 のサイクル 1 つと長さ 3 のサイクル 1 つ、および固定点の積です。これらのサイクル内の要素は、Xの互いに素な部分集合であり、 Xの分割を形成します。

順列のサイクル構造は、次のように、いくつかの（ダミー）変数の代数単項式としてコード化できます。順列のサイクル分解に現れるサイクルの異なるサイクル長ごとに変数が必要です。前の例では、3つの異なるサイクル長があったので、3つの変数、a ₁、a ₂、a ₃を使用します（一般に、長さkのサイクルに対応するには変数a _{k を}使用します）。変数a _{i は}、 j _i  ( g )乗になります。ここで、 j _i  ( g ) は、順列gのサイクル分解における長さiのサイクルの数です。次に、サイクルインデックス単項式を関連付けることができます。

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{k}^{j_{k}(g)}}$

順列gに適用します。この例の循環指数単項式はa ₁ a ₂ a ₃ですが、順列 (1 2)(3 4)(5)(6 7 8 9)(10 11 12 13) の循環指数単項式はa ₁ a ₂ ² a ₄ ²になります。

順列群Gのサイクル指数は、G内のすべての順列gのサイクル指数単項式の平均です。

より正式には、G をm位 、n次数の順列群とします。G内のすべての順列gは、互いに素なサイクル、たとえば c ₁ c ₂ c ₃ ... に一意に分解されます。サイクルcの長さを| c  | で表します。

ここで、 j _k ( g )を長さkのgの周期の数とする。ここで

${\displaystyle 0\leq j_{k}(g)\leq \lfloor n/k\rfloor {\mbox{ and }}\sum _{k=1}^{n}k\,j_{k}(g)=n.}$

gに単項式 を関連付ける

${\displaystyle \prod _{c\in g}a_{|c|}=\prod _{k=1}^{n}a_{k}^{j_{k}(g)}}$

変数a ₁、a ₂、...、a _n。

このとき、 Gのサイクル指数Z ( G )は次のように与えられる。

${\displaystyle Z(G)={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\prod _{k=1}^{n}a_{k}^{j_{k}(g)}.}$

ユークリッド平面における正方形の回転対称性の群Gについて考えます。その要素は、正方形の角の像だけで完全に決定されます。これらの角に 1、2、3、4 (時計回りに順に) というラベルを付けることにより、Gの要素を集合X = {1,2,3,4} の順列として表すことができます。^[8] Gの順列表現は、(1 4 3 2)、(1 3)(2 4)、(1 2 3 4)、e = (1)(2)(3)(4) の 4 つの順列で構成され、それぞれ反時計回りに 90°、180°、270°、360°回転します。恒等順列 e は、 Gのこの表現で固定点を持つ唯一の順列であることに注意してください。抽象群として、G は巡回群C ₄として知られており、この置換表現はその正規表現です。巡回指数単項式はそれぞれa ₄、a ₂ ²、a ₄、およびa ₁ ⁴です。したがって、この置換群の巡回指数は次のようになります。

${\displaystyle Z(C_{4})={\frac {1}{4}}\left(a_{1}^{4}+a_{2}^{2}+2a_{4}\right).}$

群C _4は、 Xの順序付けられていない元のペアにも自然に作用します。任意の順列g は、 { x、y } → { x ^g、y ^g }を送信します（ここでx ^gは、順列gによる元xの像です）。^[9]集合Xは、ここで { A、B、C、D、E、F } であり、 A = {1,2}、B = {2,3}、 C = {3,4}、D = {1,4}、E = {1,3}、F = {2,4} です。これらの要素は、正方形の辺と対角線と考えることができますが、まったく異なる設定では、完全グラフK ₄の辺と考えることもできます。この新しいセットに作用して、4つのグループ要素は( A D C B )( E F )、( AC )( BD )( E )( F )、( ABCD )( EF )、e = ( A )( B )( C )( D )( E )( F )で表され、この作用のサイクル指数は次のようになります。 

${\displaystyle Z(C_{4})={\frac {1}{4}}\left(a_{1}^{6}+a_{1}^{2}a_{2}^{2}+2a_{2}a_{4}\right).}$

群C _4は、 Xの要素の順序付きペアに対しても同様に自然な方法で作用します。任意の順列g は( x , y ) → ( x ^g , y ^g )を送信します(この場合、形式 ( x , x ) の順序付きペアも存在します)。 Xの要素は、完全な有向グラフD ₄の弧(各頂点にループがある) と考えることができます。この場合のサイクル インデックスは次のようになります。 

${\displaystyle Z(C_{4})={\frac {1}{4}}\left(a_{1}^{16}+a_{2}^{8}+2a_{4}^{4}\right).}$

上記の例が示すように、サイクル インデックスは抽象群ではなく、群の作用に依存します。抽象群には多くの順列表現があるため、それらを区別するための用語があると便利です。

抽象群が順列によって定義される場合、それは順列群であり、群作用は恒等準同型である。これは自然作用と呼ばれる。

対称群S ₃の自然作用には、要素^{[10]がある。}

${\displaystyle S_{3}=\{e,(23),(12),(123),(132),(13)\}}$

したがって、そのサイクル指数は次のようになります。

${\displaystyle Z(S_{3})={\frac {1}{6}}\left(a_{1}^{3}+3a_{1}a_{2}+2a_{3}\right).}$

集合X上の置換群Gが推移的であるとは、 Xの要素xとyのすべてのペアに対して、y = x ^gとなるgがGに少なくとも 1 つ存在する場合です。推移的置換群は、その群内で不動点を持つ唯一の置換が恒等置換である場合に、 正則(または鋭く推移的と呼ばれることもあります) です。

集合X上の有限推移的置換群G が正則であるための必要条件は、 | G | = | X  | である。^[11]ケイリーの定理によれば、あらゆる抽象群には、その群が（集合として）それ自身に（右）乗法で作用することによって与えられる正則置換表現がある。これを群の 正則表現という。

巡回群C ₆の正規表現には 6 つの順列が含まれます (順列の 1 行形式が最初に示されます)。

[1 2 3 4 5 6] = (1)(2)(3)(4)(5)(6)

[2 3 4 5 6 1] = (1 2 3 4 5 6)

[3 4 5 6 1 2] = (1 3 5)(2 4 6)

[4 5 6 1 2 3] = (1 4)(2 5)(3 6)

[5 6 1 2 3 4] = (1 5 3)(2 6 4)

[6 1 2 3 4 5] = (1 6 5 4 3 2)。

したがって、そのサイクル指数は次のようになります。

${\displaystyle Z(C_{6})={\frac {1}{6}}\left(a_{1}^{6}+a_{2}^{3}+2a_{3}^{2}+2a_{6}\right).}$

多くの場合、著者がグループアクションの用語を使用したくない場合は、関係する順列グループにアクションが何であるかを示す名前が付けられます。次の 3 つの例は、この点を示しています。

完全グラフK _{3 を}ユークリッド平面の正三角形と同一視します。これにより、三角形の対称性として含まれる順列を幾何学的言語で記述できます。頂点順列のグループS ₃ (上記の自然な動作におけるS ₃ ) 内のすべての順列は、辺順列を誘導します。これらが順列です。

• 同一性：頂点は入れ替えられず、辺も入れ替えられず、寄与は${\displaystyle a_{1}^{3}.}$
• 頂点と反対側の辺の中点を通る軸の3回の反射：これらは1つの辺（頂点に当たらない辺）を固定し、残りの2つの辺を交換する。寄与は${\displaystyle 3a_{1}a_{2}.}$
• 2つの回転、1つは時計回り、もう1つは反時計回り：これらは3つのエッジのサイクルを作成します。寄与は${\displaystyle 2a_{3}.}$

S ₃からの頂点置換によって誘導される辺置換の群Gのサイクル指数は

${\displaystyle Z(G)={\frac {1}{6}}\left(a_{1}^{3}+3a_{1}a_{2}+2a_{3}\right).}$

完全グラフK _{3 は}それ自身の線グラフ（頂点-辺双対）と同型であり、したがって頂点置換群によって誘導される辺置換群は頂点置換群と同じ、つまりS ₃であり、サイクルインデックスはZ ( S ₃ ) です。これは、3 つ以上の頂点を持つ完全グラフには当てはまりません。なぜなら、これらの完全グラフには、頂点 ( ) よりも厳密に多くの辺 ( ) があるからです。 ${\displaystyle {\binom {n}{2}}}$${\displaystyle n}$

これは 3 つの頂点の場合と完全に類似しています。これらは頂点の順列 (自然な動作におけるS _{4 ) と辺の順列 (順序付けられていないペアに作用する}S ₄ ) を誘導します。

• 恒等式: この順列はすべての頂点(つまり辺)をそれ自身に写像し、その寄与は${\displaystyle a_{1}^{6}.}$
• 2つの頂点を交換する6つの順列: これらの順列は、2つの頂点を結ぶ辺と、交換されていない2つの頂点を結ぶ辺を保存します。残りの辺は2つの2サイクルを形成し、寄与は${\displaystyle 6a_{1}^{2}a_{2}^{2}.}$
• 1つの頂点を固定し、固定されていない3つの頂点に対して3サイクルを生成する8つの順列：これらの順列は、2つの3サイクルの辺を作成します。1つは頂点に接続しない辺を含み、もう1つは頂点に接続する辺を含みます。寄与は${\displaystyle 8a_{3}^{2}.}$
• 2つの頂点のペアを同時に交換する3つの順列: これらの順列は、2つのペアを接続する2つの辺を保存します。残りの辺は2つの2サイクルを形成し、寄与は${\displaystyle 3a_{1}^{2}a_{2}^{2}.}$
• 4サイクルの頂点を循環させる6つの順列：これらの順列は4サイクルの辺（サイクル上にあるもの）を作成し、残りの2つの辺を交換する。寄与は${\displaystyle 6a_{2}a_{4}.}$

順列の種類を幾何学的に正四面体の対称性として視覚化することができます。これにより、順列の種類について次の説明が得られます。

• アイデンティティ。
• 1 つのエッジとそれに対向するエッジの中点を含む平面での反射。
• 頂点と反対側の面の中点を通る軸を中心に 120 度回転します。
• 2 つの反対のエッジの中点を結ぶ軸を中心に 180 度回転します。
• 90 度のローター反射が6 回あります。

K4の辺順列群Gのサイクルインデックスは_次のようになります。

${\displaystyle Z(G)={\frac {1}{24}}\left(a_{1}^{6}+9a_{1}^{2}a_{2}^{2}+8a_{3}^{2}+6a_{2}a_{4}\right).}$

3次元空間内の通常の立方体とその対称性のグループ（これをC と呼ぶ）を考えてみましょう。立方体の6つの面を並べ替えます。（辺の並べ替えや頂点の並べ替えも考えられます。）対称性は24個あります。

• アイデンティティ:

そのような順列が1つあり、その寄与は${\displaystyle a_{1}^{6}.}$

• 6 つの 90 度面回転:

面の中心とそれに対向する面の中心を通る軸を中心に回転します。これにより、面とそれに対向する面が固定され、回転軸に平行な面の4サイクルが作成されます。寄与は${\displaystyle 6a_{1}^{2}a_{4}.}$

• 3 つの 180 度顔回転:

前回と同じ軸を中心に回転しますが、今度は軸に平行な面の4つのサイクルではなく、2つの2つのサイクルがあります。寄与は${\displaystyle 3a_{1}^{2}a_{2}^{2}.}$

• 8 つの 120 度頂点回転:

今回は、2つの反対の頂点（主対角線の端点）を通る軸を中心に回転します。これにより、2つの3サイクルの面が作成されます（同じ頂点に接する面はサイクルを形成します）。寄与は${\displaystyle 8a_{3}^{2}.}$

• 6 つの 180 度エッジ回転:

これらの辺の回転は、同じ面に接していない互いに平行な反対の辺の中点を通る軸を中心に回転し、最初の辺に接する2つの面、2番目の辺に接する2つの面、および2つの頂点を共有するが2つの辺と辺を共有しない2つの面を交換します。つまり、2つのサイクルが3つあり、寄与は${\displaystyle 6a_{2}^{3}.}$

結論としては、グループCのサイクル指数は

${\displaystyle Z(C)={\frac {1}{24}}\left(a_{1}^{6}+6a_{1}^{2}a_{4}+3a_{1}^{2}a_{2}^{2}+8a_{3}^{2}+6a_{2}^{3}\right).}$

このグループには、すべての要素を固定する順列が 1 つ含まれています (これは自然な動作である必要があります)。

${\displaystyle Z(E_{n})=a_{1}^{n}.}$

巡回群C n_は、正n角形の回転、つまり円の周囲にn個の要素が等間隔に配置された回転群である。この群には、 nの約数dごとにd位の φ( d ) 個の要素があり、 φ( d  ) はオイラーの φ 関数であり、 d未満の自然数でd と互いに素な数の個数を与える。 C _nの正規表現では、 d位の順列には長さdの巡回がn / d個あるため、次のようになる。^[12]

${\displaystyle Z(C_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{d|n}\varphi (d)a_{d}^{n/d}.}$

二面体群は巡回群に似ていますが、反射も含みます。その自然な作用は、

${\displaystyle Z(D_{n})={\frac {1}{2}}Z(C_{n})+{\begin{cases}{\frac {1}{2}}a_{1}a_{2}^{(n-1)/2},&n{\mbox{ odd, }}\\{\frac {1}{4}}\left(a_{1}^{2}a_{2}^{(n-2)/2}+a_{2}^{n/2}\right),&n{\mbox{ even.}}\end{cases}}}$

交代群の自然な作用における循環指数は、置換群として

${\displaystyle Z(A_{n})=\sum _{j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots +nj_{n}=n}{\frac {1+(-1)^{j_{2}+j_{4}+\cdots }}{\prod _{k=1}^{n}k^{j_{k}}j_{k}!}}\prod _{k=1}^{n}a_{k}^{j_{k}}.}$

分子は、偶数順列の場合は 2 、奇数順列の場合は 0 です。 2 が必要なのは、 のためです 。 ${\displaystyle {\frac {1}{|A_{n}|}}={\frac {2}{n!}}}$

対称群 S _nの自然作用における サイクル指数は、次の式で与えられます。

${\displaystyle Z(S_{n})=\sum _{j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots +nj_{n}=n}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{n}k^{j_{k}}j_{k}!}}\prod _{k=1}^{n}a_{k}^{j_{k}}}$

これは完全なベル多項式でも表すことができます。

${\displaystyle Z(S_{n})={\frac {B_{n}(0!\,a_{1},1!\,a_{2},\dots ,(n-1)!\,a_{n})}{n!}}.}$

この式は、与えられた順列形状が何回出現するかを数えることによって得られる。3つのステップがある。まず、n個のラベルのセットをサブセットに分割する。ここで、サブセットのサイズはkである。このようなサブセットはすべて、長さkのサイクルを生成する。しかし、同じサイズのサイクルは区別しない。つまり、それらは ずつ順列化される。これ により、次の式が得られる。${\displaystyle j_{k}}$${\displaystyle k!/k}$${\displaystyle S_{j_{k}}}$

${\displaystyle {\frac {n!}{\prod _{k=1}^{n}(k!)^{j_{k}}}}\prod _{k=1}^{n}\left({\frac {k!}{k}}\right)^{j_{k}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{j_{k}!}}={\frac {n!}{\prod _{k=1}^{n}k^{j_{k}}j_{k}!}}.}$

サイクルの合計サイズを追跡するための 追加の変数を使用しながら、すべてのサイクルインデックスを合計すると、式はさらに簡素化されます。${\displaystyle n}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle \sum \limits _{n\geq 1}y^{n}Z(S_{n})=\sum \limits _{n\geq 1}\sum _{j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots +nj_{n}=n}\prod _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}^{j_{k}}y^{kj_{k}}}{k^{j_{k}}j_{k}!}}=\prod \limits _{k\geq 1}\sum \limits _{j_{k}\geq 0}{\frac {(a_{k}y^{k})^{j_{k}}}{k^{j_{k}}j_{k}!}}=\prod \limits _{k\geq 1}\exp \left({\frac {a_{k}y^{k}}{k}}\right),}$

したがって、サイクル指数の簡略化された形式は次のようになります。 ${\displaystyle S_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Z(S_{n})&=[y^{n}]\prod \limits _{k\geq 1}\exp \left({\frac {a_{k}y^{k}}{k}}\right)\\&=[y^{n}]\exp \left(\sum \limits _{k\geq 1}{\frac {a_{k}y^{k}}{k}}\right).\end{aligned}}}$

対称群のサイクル指数には、便利な再帰式があります。n を含むサイクルのサイズl を設定して考えます。ここで、サイクルの残りの要素を選択する方法は 複数あり、そのような選択ごとに 異なるサイクルが生成されます。 ${\displaystyle Z(S_{0})=1}$${\displaystyle {\begin{matrix}1\leq l\leq n.\end{matrix}}}$${\textstyle {n-1 \choose l-1}}$${\displaystyle l-1}$${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {l!}{l}}=(l-1)!\end{matrix}}}$

これにより、次の式が得られます。

${\displaystyle Z(S_{n})={\frac {1}{n!}}\sum _{g\in S_{n}}\prod _{k=1}^{n}a_{k}^{j_{k}(g)}={\frac {1}{n!}}\sum _{l=1}^{n}{n-1 \choose l-1}\;(l-1)!\;a_{l}\;(n-l)!\;Z(S_{n-l})}$

または

${\displaystyle Z(S_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{l=1}^{n}a_{l}\;Z(S_{n-l}).}$

このセクション全体を通して、変数名を明示的に含めることで、サイクルインデックスの表記を少し変更します。したがって、置換群Gについては次のように記述します。

${\displaystyle Z(G)=Z(G;a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}).}$

G を集合Xに作用する群とする。GはXのk部分集合とXの異なる元のk組にも作用する( k = 2の場合の例を参照) (1 ≤ k ≤ n )。f kとF _{k は}それぞれこれらの作用におけるGの軌道の数を表すものとする。慣例によりf ₀ = F ₀ = 1とする。次式_を^{得る: [13]}

a) f _kの通常の生成関数は次のように与えられる。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}f_{k}t^{k}=Z(G;1+t,1+t^{2},\ldots ,1+t^{n}),}$そして

b) F _kの指数生成関数は次のように与えられる。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}F_{k}t^{k}/k!=Z(G;1+t,1,1,\ldots ,1).}$

G を集合Xに作用する群とし、hをXからYへの関数とする。G の任意のgに対して、h ( x ^g ) もXからYへの関数である。したがって、G はXからYへのすべての関数の集合Y ^Xへの作用を誘導する。この作用の軌道の数は Z( G ; b , b , ..., b )であり、 b = | Y  | である。^[14]

この結果は、軌道計数補題（Not Burnside の補題とも呼ばれるが、伝統的には Burnside の補題と呼ばれる）から導かれ、結果の重み付きバージョンがPólya の列挙定理です。

サイクル指数は複数の変数を持つ多項式であり、上記の結果は、この多項式の特定の評価が組み合わせ的に重要な結果をもたらすことを示しています。多項式として、それらは形式的に加算、減算、微分、積分することもできます。記号的組み合わせ論の分野では、これらの形式的な演算の結果の組み合わせ的解釈が提供されます。

ランダム順列のサイクル構造がどのようなものかという問題は、アルゴリズムの分析において重要な問題です。最も重要な結果の概要は、ランダム順列の統計で確認できます。

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