キュムラント

確率論と統計学において、確率分布のキュムラント κ _{nは、分布の}モーメントの代わりとなる一連の量です。モーメントが同一の 2 つの確率分布は、キュムラントも同一であり、その逆も同様です。

最初のキュムラントは平均、 2 番目のキュムラントは分散、3 番目のキュムラントは 3 番目の中心モーメントと同じです。しかし、4 次以上のキュムラントは中心モーメントと等しくありません。場合によっては、キュムラントによる問題の理論的処理はモーメントを使用するよりも簡単です。特に、2 つ以上のランダム変数が統計的に独立している場合、それらの合計のn次キュムラントは、それらのn次キュムラントの合計に等しくなります。また、正規分布の 3 次以上のキュムラントはゼロであり、この特性を持つ分布は正規分布だけです。

モーメントの場合と同様に、ランダム変数の集合にジョイントモーメントが使用される場合、ジョイントキュムラントを定義することができます。

ランダム変数Xのキュムラントは、モーメント生成関数の自然対数であるキュムラント生成関数 K ( t )を使用して定義されます。 $${\displaystyle K(t)=\log \operatorname {E} \left[e^{tX}\right].}$$

キュムラントκn_はキュムラント生成関数の べき級数展開から得られる。$${\displaystyle K(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=\kappa _{1}{\frac {t}{1!}}+\kappa _{2}{\frac {t^{2}}{2!}}+\kappa _{3}{\frac {t^{3}}{3!}}+\cdots =\mu t+\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots .}$$

この展開はマクローリン級数なので、n番目のキュムラントは上記の展開をn回微分し、その結果をゼロで評価することで得られる。 ^[1] $${\displaystyle \kappa _{n}=K^{(n)}(0).}$$

モーメント生成関数が存在しない場合は、キュムラントは、後述するキュムラントとモーメントの関係に基づいて定義できます。

一部の著者^{[2] [3]}は、キュムラント生成関数を特性関数の自然対数として定義することを好む。これは第2特性関数とも呼ばれる。^{[4] [5]} $${\displaystyle H(t)=\log \operatorname {E} \left[e^{itX}\right]=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {(it)^{n}}{n!}}=\mu it-\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots }$$

H ( t ) (ある意味では関数K ( t ) を純虚引数について評価したもの) の利点は、E[ e itX ]がtのすべて^の実^数値に対して明確に定義されることです。これは、 X が大きな値を持つ可能性が「高すぎる」場合に発生することがあります。関数H ( t ) は明確に定義されますが、マクローリン級数の長さの点ではK ( t )を模倣します。マクローリン級数は引数tの線形順序を超えて拡張することはできず (まれに線形順序に達することさえありません)  、特に明確に定義されているキュムラントの数は変わりません。ただし、H ( t )に長いマクローリン級数がなくても、ランダム変数の解析、特に追加に直接使用できます。コーシー分布（ローレンツ分布とも呼ばれる）と、より一般的には安定分布（レヴィ分布に関連）は、生成関数の冪級数展開に有限個の明確に定義された項のみが含まれる分布の例です。

ランダム変数（の分布）の番目のキュムラントには、次の特性があります。 ${\textstyle n}$${\textstyle \kappa _{n}(X)}$${\textstyle X}$

• とが定数（ランダムではない）ならば、すなわちキュムラントは並進不変である。（ならば、${\textstyle n>1}$${\textstyle c}$${\textstyle \kappa _{n}(X+c)=\kappa _{n}(X),}$${\textstyle n=1}$${\textstyle \kappa _{1}(X+c)=\kappa _{1}(X)+c.)}$
• が定数（ランダムではない）である場合、つまり 番目のキュムラントは次数 の 同次です。${\textstyle c}$${\textstyle \kappa _{n}(cX)=c^{n}\kappa _{n}(X),}$${\textstyle n}$${\textstyle n}$
• ランダム変数が独立している場合、つまり、キュムラントは累積的であるため、この名前が付けられます。${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{m}}$$${\displaystyle \kappa _{n}(X_{1}+\cdots +X_{m})=\kappa _{n}(X_{1})+\cdots +\kappa _{n}(X_{m})\,.}$$

累積特性は、キュムラント生成関数を考慮することですぐにわかります。 つまり、独立したランダム変数の和の各キュムラントは、加数の対応するキュムラントの和です。つまり、加数が統計的に独立している場合、和の平均は平均の合計、和の分散は分散の合計、和の 3 番目のキュムラント (これは 3 番目の中心モーメントになります) は 3 番目のキュムラントの合計であり、キュムラントの各次数について同様に続きます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}K_{X_{1}+\cdots +X_{m}}(t)&=\log \operatorname {E} \left[e^{t(X_{1}+\cdots +X_{m})}\right]\\[5pt]&=\log \left(\operatorname {E} \left[e^{tX_{1}}\right]\cdots \operatorname {E} \left[e^{tX_{m}}\right]\right)\\[5pt]&=\log \operatorname {E} \left[e^{tX_{1}}\right]+\cdots +\log \operatorname {E} \left[e^{tX_{m}}\right]\\[5pt]&=K_{X_{1}}(t)+\cdots +K_{X_{m}}(t)、\end{aligned}}}$$

与えられたキュムラントκ _nを持つ分布は、エッジワース級数を通じて近似できます。

高次のキュムラントはすべて中心モーメントの多項式関数で、係数は整数ですが、2 次と 3 次だけが実際に中心モーメントとなるキュムラントです。

• ${\textstyle \kappa _{1}(X)=\オペレータ名 {E} (X)={}}$平均
• ${\textstyle \kappa _{2}(X)=\オペレーター名 {var} (X)=\オペレーター名 {E} {\big (}(X-\オペレーター名 {E} (X))^{2}{\大)}={}}$分散、または第 2 中心モーメント。
• ${\textstyle \kappa _{3}(X)=\オペレーター名 {E} {\big (}(X-\オペレーター名 {E} (X))^{3}{\big )}={}}$3番目の中心的な瞬間。
• ${\textstyle \kappa _{4}(X)=\operatorname {E} {\big (}(X-\operatorname {E} (X))^{4}{\big )}-3\left(\operatorname {E} {\big (}(X-\operatorname {E} (X))^{2}{\big )}\right)^{2}={}}$4 番目の中心モーメントから 2 番目の中心モーメントの 2 乗の 3 倍を引いた値です。したがって、これはキュムラントが単なるモーメントや中心モーメントではない最初のケースです。3 次を超える中心モーメントには累積特性がありません。
• ${\textstyle \kappa _{5}(X)=\operatorname {E} {\big (}(X-\operatorname {E} (X))^{5}{\big )}-10\operatorname {E} {\big (}(X-\operatorname {E} (X))^{3}{\big )}\operatorname {E} {\big (}(X-\operatorname {E} (X))^{2}{\big )}.}$

• 定数確率変数X = μ。キュムラント生成関数はK ( t ) = μtです。最初のキュムラントはκ ₁ = K '(0) = μで、他のキュムラントはゼロ、κ ₂ = κ ₃ = κ ₄ = ⋅⋅⋅ = 0です。
• ベルヌーイ分布（成功確率pでの 1 回の試行における成功回数）。キュムラント生成関数はK ( t ) = log(1 − p + p e ^t )です。最初のキュムラントはκ ₁ = K '(0) = pおよびκ ₂ = K′′ (0) = p ·(1 − p )です。キュムラントは再帰式を満たします。$${\displaystyle \kappa _{n+1}=p(1-p){\frac {d\kappa _{n}}{dp}}.}$$
• 幾何分布、（各試行で成功確率pで1 回の成功までの失敗回数）。キュムラント生成関数はK ( t ) = log( p / (1 + ( p − 1)et ⁾ )です。最初のキュムラントはκ ₁ = K′ (0) = p ⁻¹ − 1およびκ ₂ = K′′ (0) = κ ₁ p ⁻¹です。p = ( μ + 1) ^{−1を代入すると、} K ( t ) = −log(1 + μ (1−et ⁾ )およびκ ₁ = μとなります。
• ポアソン分布。キュムラント生成関数はK ( t ) = μ (e ^t − 1)です。すべてのキュムラントはパラメータκ ₁ = κ ₂ = κ ₃ = ... = μに等しい。
• 二項分布、 （各試行の成功確率がpであるn 回 の独立した試行における成功回数）。特殊なケースであるn = 1はベルヌーイ分布です。すべてのキュムラントは、対応するベルヌーイ分布の対応するキュムラントのn倍です。キュムラント生成関数はK ( t ) = n log(1 − p + p e ^t )です。最初のキュムラントはκ ₁ = K′ (0) = npおよびκ ₂ = K′′ (0) = κ ₁ (1 − p )です。p = μ· n ^{−1を代入すると、} K '( t ) = ((μ ⁻¹ − n ⁻¹ )·e ⁻ t + n ⁻¹ ) ⁻¹およびκ ₁ = μが得られます。極限ケースn ⁻¹ = 0はポアソン分布です^。
• 負の二項分布（各試行で成功確率pでr 回の成功を得るまでの失敗回数）。特殊なケースであるr = 1は幾何分布です。すべてのキュムラントは、対応する幾何分布の対応するキュムラントのr倍です。キュムラント生成関数の導関数は、K ′( t ) = r ·((1 − p ) ⁻¹ ·e ^{− t} −1) ⁻¹です。最初のキュムラントは、κ ₁ = K ′(0) = r ·( p ⁻¹ −1)およびκ ₂ = K ''(0) = κ ₁ · p ⁻¹です。p = (μ· r ⁻¹ +1) ^{−1を代入すると、} K ′( t ) = (( μ ⁻¹ + r ⁻¹ ) e ^{− t} − r ⁻¹ ) ⁻¹およびκ ₁ = μとなります。これらの式を二項分布の式と比較すると、「負の二項分布」という名前が説明されます。極限ケースr ⁻¹ = 0 はポアソン分布です。

分散平均比 を導入すると 、上記の確率分布はキュムラント生成関数の導関数の統一された式を得る: ^[要出典]$${\displaystyle \varepsilon =\mu ^{-1}\sigma ^{2}=\kappa _{1}^{-1}\kappa _{2},}$$ $${\displaystyle K'(t)=(1+(e^{-t}-1)\varepsilon )^{-1}\mu }$$

2番目の導関数は、 最初のキュムラントがκ ₁ = K′ (0) = μであり、2番目のキュムラントがκ ₂ = K′ (0) = με であることを確認します。 $${\displaystyle K''(t)=(\varepsilon -(\varepsilon -1)e^{t})^{-2}\mu \varepsilon e^{t}}$$

定数ランダム変数X = μではε = 0となります。

二項分布ではε = 1 − pとなるので、0 < ε < 1となります。

ポアソン分布ではε = 1です。

負の二項分布ではε = p ⁻¹となるのでε > 1となる。

離心率による円錐断面の分類との類似点に注意してください: 円ε = 0、楕円0 < ε < 1、放物線ε = 1、双曲線ε > 1。

• 期待値μ、分散σ ²の正規分布の場合、キュムラント生成関数はK ( t ) = μt + σ ² t ² /2です。キュムラント生成関数の 1 次導関数と 2 次導関数は、K ′( t ) = μ + σ ² · tとK ''( t ) = σ ²です。キュムラントは、κ ₁ = μ、κ ₂ = σ ²、κ ₃ = κ ₄ = ⋅⋅⋅ = 0です。特別な場合σ ² = 0は、定数ランダム変数X = μです。
• 区間[−1, 0]_上の一様分布_のキュムラントはκn = Bn / nであり、ここでBn_はn番目のベルヌーイ数である。
• 速度パラメータλを持つ指数分布のキュムラントはκn = λ ^{− n} ( n ₋ 1)!です。

キュムラント生成関数K ( t ) は、存在する場合、無限に微分可能かつ凸で、原点を通ります。その第 1 導関数は、確率分布のサポートの最小値から最大値までの開区間で単調に変化し、第 2 導関数は、単一の質点の退化した分布を除いて、定義されているすべての場所で厳密に正です。キュムラント生成関数が存在するのは、分布の裾が指数関数的減少によって主要化される場合、つまり、次の式で表される場合のみです ( Big O 表記を参照) 。 ここで、 は累積分布関数です。キュムラント生成関数は、そのようなcの負の上限が存在する場合はその上限に、そのようなdの上限が存在する場合はその上限に垂直漸近線を持ちます。それ以外の場合は、すべての実数に対して定義されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&\exists c>0,\,\,F(x)=O(e^{cx}),x\to -\infty ;{\text{ and}}\\[4pt]&\exists d>0,\,\,1-F(x)=O(e^{-dx}),x\to +\infty ;\end{aligned}}}$$${\textstyle F}$

ランダム変数Xのサポートに有限の上限または下限がある場合、そのキュムラント生成関数y = K ( t ) が存在する場合は、その関数は、傾きがサポートの上限または下限に等しく、どこでもこれら 2 つの線より上にある漸近線に近づきます。(K ( 0 ) = 0 であるため、積分によりこれらの漸近線の y切片 が得られます。) $${\displaystyle {\begin{aligned}y&=(t+1)\inf \operatorname {supp} X-\mu (X),{\text{ and}}\\[5pt]y&=(t-1)\sup \operatorname {supp} X+\mu (X),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{0}\left[t\inf \operatorname {supp} X-K'(t)\right]\,dt,\qquad \int _{\infty }^{0}\left[t\inf \operatorname {supp} X-K'(t)\right]\,dt}$$

分布がcだけシフトした場合、cにおける退化した質点に対して、キュムラント生成関数は直線であり、より一般的には、XとYが独立であり、それらのキュムラント生成関数が存在する場合のみである（劣独立性と2次モーメントの存在は独立性を示唆するのに十分である。^[6]） ${\textstyle K_{X+c}(t)=K_{X}(t)+ct.}$${\textstyle K_{c}(t)=ct}$${\textstyle K_{X+Y}=K_{X}+K_{Y}}$

分布の自然指数族は、K ( t ) をシフトまたは平行移動し、常に原点を通るように垂直に調整することによって実現できます。fがキュムラント生成関数を持つpdfで、がその自然指数族である場合、${\textstyle K(t)=\log M(t),}$${\textstyle f|\theta }$${\textstyle f(x\mid \theta )={\frac {1}{M(\theta )}}e^{\theta x}f(x),}$${\textstyle K(t\mid \theta )=K(t+\theta )-K(\theta ).}$

K ( t )がt ₁ < Re( t ) < t _{2 の}範囲で有限である場合、 t ₁ < 0 < t ₂であれば、K ( t ) は解析的であり、t ₁ < Re( t ) < t ₂で無限に微分可能です。さらに、 tが実数でt ₁ < t < t _{2の場合、} K ( t )は厳密に凸であり、K ′( t )は厳密に増加します。^{[引用が必要]}

正規分布のキュムラントの結果を考えると、 いくつかのm > 3に対してκ _m = κ _{m +1} = ⋯ = 0となり、低次のキュムラント（3からm − 1の次数）がゼロでない分布の族が見つかると期待されるかもしれない。そのような分布は存在しない。^[7]ここでの根本的な結果は、キュムラント生成関数は2より大きい次数の有限次多項式にはなり得ないということである。

モーメント生成関数は次のように表されます。 $${\displaystyle M(t)=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu '_{n}t^{n}}{n!}}=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\kappa _{n}t^{n}}{n!}}\right)=\exp(K(t)).}$$

つまり、キュムラント母関数はモーメント母関数の対数である。 $${\displaystyle K(t)=\log M(t).}$$

最初のキュムラントは期待値です。2 番目と 3 番目のキュムラントはそれぞれ 2 番目と 3 番目の中心モーメントです(2 番目中心モーメントは分散です)。ただし、高次のキュムラントはモーメントでも中心モーメントでもなく、モーメントのより複雑な多項式関数です。

モーメントは、⁠ ⁠におけるのn次導関数を評価することでキュムラントの観点から復元できる。 ${\textstyle \exp(K(t))}$${\displaystyle t=0}$$${\displaystyle \mu '_{n}=M^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}\exp(K(t))}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=0}.}$$

同様に、キュムラントは、⁠ ⁠におけるのn次導関数を評価することによってモーメントの観点から回復することができる。 ${\textstyle \log M(t)}$${\displaystyle t=0}$$${\displaystyle \kappa _{n}=K^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}\log M(t)}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=0}.}$$

最初のnキュムラントによるn次モーメントの明示的な表現、およびその逆は、合成関数の高次導関数に対するファディブルーノの公式を使用することで得られます。一般に、 となります。 ここで、は不完全 (または部分)ベル多項式です。 $${\displaystyle \mu '_{n}=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{n-k+1})}$$ $${\displaystyle \kappa _{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(\mu '_{1},\ldots ,\mu '_{n-k+1}),}$$${\textstyle B_{n,k}}$

同様に、平均が で与えられる場合、中心モーメント生成関数は で与えられ 、n番目の中心モーメントはキュムラントで次のように得られる。 ${\textstyle \mu }$$${\displaystyle C(t)=\operatorname {E} [e^{t(x-\mu )}]=e^{-\mu t}M(t)=\exp(K(t)-\mu t),}$$$${\displaystyle \mu _{n}=C^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} t^{n}}}\exp(K(t)-\mu t)\right|_{t=0}=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(0,\kappa _{2},\ldots ,\kappa _{n-k+1}).}$$

また、n > 1の場合、中心モーメントによる n番目のキュムラントは$${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{n}&=K^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} t^{n}}}(\log C(t)+\mu t)\right|_{t=0}\\[4pt]&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(0,\mu _{2},\ldots ,\mu _{n-k+1}).\end{aligned}}}$$

n次のモーメント μ ′ _{n は}、最初のn 個のキュムラントのn次多項式です。最初のいくつかの式は次のとおりです。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu '_{1}={}&\kappa _{1}\\[5pt]\mu '_{2}={}&\kappa _{2}+\kappa _{1}^{2}\\[5pt]\mu '_{3}={}&\kappa _{3}+3\kappa _{2}\kappa _{1}+\kappa _{1}^{3}\\[5pt]\mu '_{4}={}&\kappa _{4}+4\kappa _{3}\kappa _{1}+3\kappa _{2}^{2}+6\kappa _{2}\kappa _{1}^{2}+\kappa _{1}^{4}\\[5pt]\mu '_{5}={}&\kappa _{5}+5\kappa _{4}\kappa _{1}+10\kappa _{3}\kappa _{2}+10\kappa _{3}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}+10\kappa _{2}\kappa _{1}^{3}+\kappa _{1}^{5}\\[5pt]\mu '_{6}={}&\kappa _{6}+6\kappa _{5}\kappa _{1}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+15\kappa _{4}\kappa _{1}^{2}+10\kappa _{3}^{2}+60\kappa _{3}\kappa _{2}\kappa _{1}+20\kappa _{3}\kappa _{1}^{3}\\&{}+15\kappa _{2}^{3}+45\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}\kappa _{1}^{4}+\kappa _{1}^{6}.\end{aligned}}}$$

「プライム」はモーメントμ ′ _nと中心モーメント μ _nを区別します。中心モーメントをキュムラントの関数として表すには、これらの多項式からκ _{1 が}因子として現れるすべての項を削除するだけです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=0\\[4pt]\mu _{2}&=\kappa _{2}\\[4pt]\mu _{3}&=\kappa _{3}\\[4pt]\mu _{4}&=\kappa _{4}+3\kappa _{2}^{2}\\[4pt]\mu _{5}&=\kappa _{5}+10\kappa _{3}\kappa _{2}\\[4pt]\mu _{6}&=\kappa _{6}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+10\kappa _{3}^{2}+15\kappa _{2}^{3}.\end{aligned}}}$$

同様に、n番目のキュムラントκ _{n は}、最初のn個の非中心モーメント におけるn次多項式です。最初のいくつかの式は次のとおりです。$${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{1}={}&\mu '_{1}\\[4pt]\kappa _{2}={}&\mu '_{2}-{\mu '_{1}}^{2}\\[4pt]\kappa _{3}={}&\mu '_{3}-3\mu '_{2}\mu '_{1}+2{\mu '_{1}}^{3}\\[4pt]\kappa _{4}={}&\mu '_{4}-4\mu '_{3}\mu '_{1}-3{\mu '_{2}}^{2}+12\mu '_{2}{\mu '_{1}}^{2}-6{\mu '_{1}}^{4}\\[4pt]\kappa _{5}={}&\mu '_{5}-5\mu '_{4}\mu '_{1}-10\mu '_{3}\mu '_{2}+20\mu '_{3}{\mu '_{1}}^{2}+30{\mu '_{2}}^{2}\mu '_{1}-60\mu '_{2}{\mu '_{1}}^{3}+24{\mu '_{1}}^{5}\\[4pt]\kappa _{6}={}&\mu '_{6}-6\mu '_{5}\mu '_{1}-15\mu '_{4}\mu '_{2}+30\mu '_{4}{\mu '_{1}}^{2}-10{\mu '_{3}}^{2}+120\mu '_{3}\mu '_{2}\mu '_{1}\\&{}-120\mu '_{3}{\mu '_{1}}^{3}+30{\mu '_{2}}^{3}-270{\mu '_{2}}^{2}{\mu '_{1}}^{2}+360\mu '_{2}{\mu '_{1}}^{4}-120{\mu '_{1}}^{6}\,.\end{aligned}}}$$

一般に、^[8]キュムラントは行列の行列式である: $${\displaystyle \kappa _{l}=(-1)^{l+1}\left|{\begin{array}{cccccccc}\mu '_{1}&1&0&0&0&0&\ldots &0\\\mu '_{2}&\mu '_{1}&1&0&0&0&\ldots &0\\\mu '_{3}&\mu '_{2}&\left({\begin{array}{l}2\\1\end{array}}\right)\mu '_{1}&1&0&0&\ldots &0\\\mu '_{4}&\mu '_{3}&\left({\begin{array}{l}3\\1\end{array}}\right)\mu '_{2}&\left({\begin{array}{l}3\\2\end{array}}\right)\mu '_{1}&1&0&\ldots &0\\\mu '_{5}&\mu '_{4}&\left({\begin{array}{l}4\\1\end{array}}\right)\mu '_{3}&\left({\begin{array}{l}4\\2\end{array}}\right)\mu '_{2}&\left({\begin{array}{c}4\\3\end{array}}\right)\mu '_{1}&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\mu '_{l-1}&\mu '_{l-2}&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ddots &1\\\mu '_{l}&\mu '_{l-1}&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\left({\begin{array}{l}l-1\\l-2\end{array}}\right)\mu '_{1}\end{array}}\right|}$$

n > 1のキュムラントκ _{n を}中心モーメントの関数として表すには、これらの多項式から μ' _{1 が}因子として現れるすべての項を削除します。 $${\displaystyle \kappa _{2}=\mu _{2}\,}$$ $${\displaystyle \kappa _{3}=\mu _{3}\,}$$ $${\displaystyle \kappa _{4}=\mu _{4}-3{\mu _{2}}^{2}\,}$$ $${\displaystyle \kappa _{5}=\mu _{5}-10\mu _{3}\mu _{2}\,}$$ $${\displaystyle \kappa _{6}=\mu _{6}-15\mu _{4}\mu _{2}-10{\mu _{3}}^{2}+30{\mu _{2}}^{3}\,.}$$

n > 2のキュムラントκ _{n を}標準化中心モーメントμ″ _nの関数として表すには、多項式で μ' ₂ =1も設定します。 $${\displaystyle \kappa _{3}=\mu ''_{3}\,}$$ $${\displaystyle \kappa _{4}=\mu ''_{4}-3\,}$$ $${\displaystyle \kappa _{5}=\mu ''_{5}-10\mu ''_{3}\,}$$ $${\displaystyle \kappa _{6}=\mu ''_{6}-15\mu ''_{4}-10{\mu ''_{3}}^{2}+30\,.}$$

キュムラントは、関係log M ( t ) = K ( t )をtについて微分することでモーメントに関連付けることができ、M′ ( t ) = K′ ( t ) M ( t )となります。この式には、便利なことに指数や対数が含まれていません。t ^{n −1} / ( n −1)!の係数を左辺と右辺で等しくし、μ′ ₀ = 1 を使用すると、 n ≥ 1について次の式が得られます。^[9] これらの式により、低次のキュムラントとモーメントに関する知識を使用して、またはのいずれかを他方から計算できます。に対する中心モーメントに対応する式は、それぞれをに対してに設定して置き換えることで、これらの式から作成されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu '_{1}={}&\kappa _{1}\\[1pt]\mu '_{2}={}&\kappa _{1}\mu '_{1}+\kappa _{2}\\[1pt]\mu '_{3}={}&\kappa _{1}\mu '_{2}+2\kappa _{2}\mu '_{1}+\kappa _{3}\\[1pt]\mu '_{4}={}&\kappa _{1}\mu '_{3}+3\kappa _{2}\mu '_{2}+3\kappa _{3}\mu '_{1}+\kappa _{4}\\[1pt]\mu '_{5}={}&\kappa _{1}\mu '_{4}+4\kappa _{2}\mu '_{3}+6\kappa _{3}\mu '_{2}+4\kappa _{4}\mu '_{1}+\kappa _{5}\\[1pt]\mu '_{6}={}&\kappa _{1}\mu '_{5}+5\kappa _{2}\mu '_{4}+10\kappa _{3}\mu '_{3}+10\kappa _{4}\mu '_{2}+5\kappa _{5}\mu '_{1}+\kappa _{6}\\[1pt]\mu '_{n}={}&\sum _{m=1}^{n-1}{n-1 \choose m-1}\kappa _{m}\mu '_{n-m}+\kappa _{n}\,.\end{aligned}}}$$${\textstyle \kappa _{n}}$${\textstyle \mu '_{n}}$${\textstyle \mu _{n}}$${\textstyle n\geq 2}$${\textstyle \mu '_{1}=\kappa _{1}=0}$${\textstyle \mu '_{n}}$${\textstyle \mu _{n}}$${\textstyle n\geq 2}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{2}={}&\kappa _{2}\\[1pt]\mu _{3}={}&\kappa _{3}\\[1pt]\mu _{n}={}&\sum _{m=2}^{n-2}{n-1 \choose m-1}\kappa _{m}\mu _{n-m}+\kappa _{n}\,.\end{aligned}}}$$