F4（数学）

数学において、F _{4 は}リー群であり、リー代数 f ₄でもあります。これは、5 つの例外的な単純リー群の 1 つです。 F _{4 の}階数は 4、次元は 52 です。コンパクト形式は単連結であり、その外部自己同型群は自明群です。その基本表現は 26 次元です。

_{F 4}のコンパクトな実形式は、八元数射影平面OP ²として知られる16 次元リーマン多様体の等長変換群である。これは、ハンス・フロイデンタールとジャック・ティッツによる魔方陣として知られる構成を使用して体系的に見ることができる。

実形式は 3 つあります。コンパクトな形式、分割された形式、そして 3 つ目の形式です。これらは、3 つの実アルバート代数の等長変換群です。

F4リー_代数は、 E8の_構築と同様に、36次元リー代数so (9)にスピノルとして変換する16個の生成元を追加することによって構築できます。

古い書籍や論文では、 F _{4 はE 4}と表記されることもあります。

F _4のDynkin 図は次のとおりです。。

そのワイル/コクセター群G = W (F ₄ )は24 セルの対称群で、位数 1152 の可解群です。最小忠実次数μ ( G ) = 24を持ち、^[1] 24 セルへの作用によって実現されます。この群は小群ライブラリで ID (1152,157478) を持ちます。

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrr}2&-1&0&0\\-1&2&-2&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{array}}\right]}$

F ₄ 格子は、4 次元の体心立方格子 (つまり、それぞれがもう 1 つの中心に位置する2 つの超立方格子の結合) です。これらは、フルヴィッツ四元数リングと呼ばれるリングを形成します。ノルム 1 の 24 個のフルヴィッツ四元数は、原点を中心とする 24 個のセルの頂点を形成します。

F ₄の48 個のルート ベクトルは、2 つのデュアル構成の24 セルの頂点として見つかります。これは、24 セルの辺の長さが等しい場合、 上蝶形 288 セルの頂点を表します。

24セル頂点:

• 座標位置を並べ替えて、(±1, ±1, 0, 0) による 24 個の根を求める

デュアル 24 セル頂点:

• 8つの根を（±1, 0, 0, 0）で、座標位置を並べ替える
• (±1/2、±1/2、±1/2、±1/2)による16個のルート。

F _4の単純な根の1つの選択肢、は、次の行列の行によって与えられます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1&-1&0\\0&0&1&-1\\0&0&0&1\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$

_{F 4}ルート ポセットのハッセ図を右下に示します。

O( n ) が 2 次多項式x ² + y ² + ...を不変に保つ自己同型群であるのと同様に、F ₄は 27 変数の 3 つの多項式のセットの自己同型群です。(最初の多項式は他の 2 つの多項式に簡単に置き換えることができ、26 変数になります)。

${\displaystyle C_{1}=x+y+z}$

${\displaystyle C_{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2X{\overline {X}}+2Y{\overline {Y}}+2Z{\overline {Z}}}$

${\displaystyle C_{3}=xyz-xX{\overline {X}}-yY{\overline {Y}}-zZ{\overline {Z}}+XYZ+{\overline {XYZ}}}$

ここで、x、y、zは実数値、X、Y、Zは八元数です。これらの不変量をエルミート八元数行列の Tr( M )、 Tr( M ² )、 Tr( M ³ ) (の組み合わせ) として記述することもできます。

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}x&{\overline {Z}}&Y\\Z&y&{\overline {X}}\\{\overline {Y}}&X&z\end{bmatrix}}}$

多項式の集合は 24 次元のコンパクトな表面を定義します。

実リー代数と複素リー群の有限次元表現の指標はすべてワイル指標公式によって与えられる。最小の既約表現の次元は（OEISのシーケンスA121738）である。

1、26、52、273、324、1053（2回）、1274、2652、4096、8424、10829、12376、16302、17901、19278、19448、29172、34749、76076、81081、100776、106496、107406、119119、160056（2回）、184756、205751、212992、226746、340119、342056、379848、412776、420147、 627912...

52次元表現は随伴表現であり、26次元表現は次元27の 例外アルバート代数に対する_F4の作用のトレースフリー部分である。

次元 1053、160056、4313088 などの非同型既約表現が 2 つあります。基本表現は、次元 52、1274、273、26 の表現です (Dynkin 図の 4 つのノードに、二重矢印が 2 番目から 3 番目を指す順序で対応しています)。

次元 273 までの F ₄の最大サブグループの埋め込みと関連する射影行列を以下に示します。

• 24セル
• アルバート代数
• ケイリー平面
• ディンキン図
• 基本的な表現
• シンプルライグループ

• アダムス、J.フランク（1996）。例外リー群に関する講義。シカゴ数学講義。シカゴ大学出版局。ISBN 978-0-226-00526-3MR  1428422 。
• John Baez、「The Octonions」、セクション 4.2: F ₄、Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002)、145-205。オンライン HTML バージョンは http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node15.html にあります。
• Chevalley C, Schafer RD (1950年2月). 「例外的な単純リー代数F(4)とE(6)」Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 36 (2): 137–41. Bibcode :1950PNAS...36..137C. doi : 10.1073/pnas.36.2.137 . PMC  1063148. PMID  16588959 .
• ジェイコブソン、ネイサン(1971-06-01)。例外的リー代数(第 1 版)。CRC プレス。ISBN 0-8247-1326-5。