運動波

海洋波、雪崩、土石流、泥流、洪水などの重力と圧力によって駆動される流体力学および地球物理学的質量流において、運動波は関連する波動現象の基本的な特徴を理解するための重要な数学的ツールです。^{[1]これらの波は高速道路の}交通流 の動きをモデル化するためにも適用されます。^{[2] [3]}

これらの流れでは、質量方程式と運動量方程式を組み合わせて運動波方程式を作成できます。流れの構成に応じて、運動波は線形または非線形になります。これは、波の位相速度が定数か変数かによって決まります。運動波は、1 つの未知のフィールド変数 (たとえば、流れまたは波の高さ ) を持つ単純な偏微分方程式で、2 つの独立変数、つまり時間 ( ) と空間 ( )について記述できます。この方程式には、流れの物理的性質と形状に関する情報を含むいくつかのパラメーター (係数) が含まれます。一般に、波は移流したり拡散したりできます。ただし、単純な状況では、運動波は主に移流します。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$

土石流の非線形運動波は、複雑な非線形係数を使用して次のように記述できます。 ここで、は土石流の高さ、は時間、は下流の水路の位置、は圧力勾配と深さに依存する非線形変数の波の速度、は流れの高さと圧力勾配に依存する変数の拡散項です。この方程式は、保存形式で記述することもできます。 $${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial t}}+C{\frac {\partial h}{\partial x}}=D{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}},}$$${\displaystyle h}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$

$${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial x}}=0,}$$

ここで、 は、流れ、流れの高さ、水圧勾配のいくつかの物理的および幾何学的パラメータに依存する一般化されたフラックスです。 の場合、この方程式はバーガース方程式に簡約されます。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle F=h^{2}/2}$

• Singh, Vijay P. (1996)。「水力方程式の線形化」。水資源における運動波モデリング：表面水水文学。ニューヨーク：John Wiley & Sons。pp. 211–253。ISBN 0-471-10945-2。