線形方程式のシステム

数学において、線型方程式系（せんどうほうていえき、英: system of linear equations）とは、同じ変数を含む2つ以上の線型方程式の集合である。^{[1] [2]} 例えば、

${\displaystyle {\begin{cases}3x+2y-z=1\\2x-2y+4z=-2\\-x+{\frac {1}{2}}yz=0\end{cases}}}$

は、 3 つの変数x、y、zの 3 つの方程式からなるシステムです。線形システムの解は、すべての方程式が同時に満たされるように変数に値を割り当てることです。上記の例では、 3 つの方程式がすべて有効になるため、 解は順序付き 3 つ 組によって与えられます。${\displaystyle (x,y,z)=(1,-2,-2),}$

線形システムは、ほとんどの現代数学で使用されている主題である線形代数の基本的な部分です。解を求める計算アルゴリズムは数値線形代数の重要な部分であり、工学、物理学、化学、コンピュータサイエンス、経済学で重要な役割を果たしています。非線形方程式のシステムは、多くの場合、線形システムで近似できます(線形化を参照)。これは、比較的複雑なシステムの数学モデルやコンピュータシミュレーションを作成するときに役立つ手法です。

多くの場合、そしてこの記事でも、方程式の係数と解は実数または複素数に制限されますが、理論とアルゴリズムはあらゆる分野の係数と解に適用されます。他の代数構造については、他の理論が開発されています。整数環などの積分領域内の係数と解については、環上の線型方程式を参照してください。多項式である係数と解については、グレブナー基底を参照してください。多数の中から「最良」の整数解を見つける方法については、整数線型計画法を参照してください。線型代数を適用できるよりエキゾチックな構造の例については、熱帯幾何学を参照してください。

1つの未知数に対する1つの方程式のシステム

${\displaystyle 2x=4}$

解決策がある

${\displaystyle x=2.}$

ただし、興味深い線形システムのほとんどには、少なくとも 2 つの方程式があります。

最も単純な種類の非自明な線形システムには、2 つの方程式と 2 つの変数が含まれます。

${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}2x&&\;+\;&&3y&&\;=\;&&6&\\4x&&\;+\;&&9y&&\;=\;&&15&.\end{alignedat}}}$

このようなシステムを解く方法の 1 つは次のとおりです。まず、について上の方程式を解きます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle x=3-{\frac {3}{2}}y.}$

次に、下の式 のxに次の式を代入します。

${\displaystyle 4\left(3-{\frac {3}{2}}y\right)+9y=15.}$

この結果、変数 のみを含む単一の方程式が得られます。これを解くと が得られ、これを の方程式に代入すると が得られます。この方法は、追加の変数を含むシステムにも一般化できます (以下の「変数の消去」または初等代数に関する記事を参照してください)。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle y=1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x={\frac {3}{2}}}$

n個の未知数と係数を持つm個の線形方程式の一般連立方程式は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots +a_{mn}x_{n}=b_{m},\end{cases}}}$

ここで、は未知数、は系の係数、は定数項である。^[3]${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle a_{11},a_{12},\dots ,a_{mn}}$${\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{m}}$

多くの場合、係数と未知数は実数または複素数ですが、整数や有理数、多項式、抽象代数構造の要素も見られます。

非常に役立つ見方の 1 つは、各未知数が線形結合の列ベクトルの重みであるというものです。

${\displaystyle x_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}+x_{2}{\begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots \\a_{m2}\end{bmatrix}}+\dots +x_{n}{\begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}}$

これにより、ベクトル空間（またはより一般的には、モジュール）のすべての言語と理論を活用できるようになります。たとえば、左側のベクトルのすべての可能な線形結合のコレクションは、そのスパンと呼ばれ、方程式は、右側のベクトルがそのスパン内にある場合にのみ解を持ちます。そのスパン内のすべてのベクトルが、指定された左側のベクトルの線形結合として正確に 1 つの式を持つ場合、任意の解は一意です。いずれにせよ、スパンは、正確に 1 つの式を保証する線形独立ベクトルの基底を持ちます。また、その基底のベクトルの数（その次元）は、 mまたはnより大きくすることはできませんが、小さくすることはできます。これが重要なのは、 m 個の独立したベクトルがある場合、右側に関係なく解が保証され、そうでない場合は保証されないためです。

ベクトル方程式は、A がm × n行列、xがn要素の列ベクトル、bがm要素の列ベクトルである形式の 行列方程式と同等である。^[4]$${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$$

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}.}$$ スパンの基底内のベクトルの数は、行列の ランクとして表現されるようになりました。

線形システムの解とは、各方程式が満たされるように変数に値を割り当てることである 。すべての可能な解の集合は解集合と呼ばれる。^[5]${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$

線形システムは、次の 3 つの方法のいずれかで動作します。

1. システムには無限の解が存在する。
2. このシステムには独自のソリューションがあります。
3. このシステムには解決策がありません。

2 つの変数 ( xとy )を含むシステムの場合、各線形方程式はxy平面上の直線を決定します。線形システムの解はすべての方程式を満たす必要があるため、解の集合はこれらの直線の交点となり、直線、単一の点、または空集合のいずれかになります。

3変数の場合、各線形方程式は3次元空間の平面を決定し、解の集合はこれらの平面の交点になります。したがって、解の集合は平面、直線、単一の点、または空集合のいずれかになります。たとえば、3つの平行な平面には共通点がないため、それらの方程式の解の集合は空です。1点で交差する3つの平面の方程式の解の集合は単一の点です。3つの平面が2点を通過する場合、それらの方程式には少なくとも2つの共通解があります。実際、解の集合は無限であり、これらの点を通過するすべての直線で構成されます。^[6]

n変数の場合、各線形方程式はn次元空間内の超平面を決定します。解の集合はこれらの超平面の交差であり、n未満の任意の次元を持つ平坦なです。

一般に、線形システムの動作は、方程式の数と未知数の数の関係によって決まります。ここで、「一般に」とは、方程式の係数の特定の値に対して異なる動作が発生する可能性があることを意味します。

• 一般に、未知数よりも方程式の数が少ないシステムには、無限の解がありますが、解が存在しない場合もあります。このようなシステムは、不確定システムとして知られています。
• 一般に、方程式と未知数の数が同じシステムには、単一の一意の解が存在します。
• 一般に、未知数よりも方程式の数が多いシステムには解がありません。このようなシステムは過剰決定システムとも呼ばれます。

最初のケースでは、解の集合の次元は一般にn − mに等しくなります。ここで、nは変数の数、m は方程式の数です。

次の図は、2 つの変数の場合のこの三分法を示しています。

最初のシステムには、青い線上のすべての点という無限の解があります。 2 番目のシステムには、2 本の線の交点という 1 つの一意の解があります。 3 番目のシステムには、3 本の線に共通点がないため、解はありません。

上の図は最も一般的なケース (一般的なケース) のみを示していることに留意してください。2 つの方程式と 2 つの未知数から成るシステムでは解が存在しない可能性があります (2 本の線が平行である場合)。また、3 つの方程式と 2 つの未知数から成るシステムでは解が存在する可能性があります (3 本の線が 1 点で交差する場合)。

線形方程式系は、方程式が線形従属している場合、または矛盾していて未知数よりも多くの方程式がない 場合、一般的な場合とは異なる動作をします。

線形システムの方程式は、どの方程式も他の方程式から代数的に導出できない場合、独立しています。方程式が独立している場合、各方程式には変数に関する新しい情報が含まれ、方程式のいずれかを削除すると、解セットのサイズが増加します。線形方程式の場合、論理的独立性は線形独立性と同じです。

例えば、方程式

${\displaystyle 3x+2y=6\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;6x+4y=12}$

これらは独立ではありません。2 倍に拡大すると同じ方程式となり、同一のグラフが生成されます。これは、線形方程式のシステムにおける同値性の例です。

より複雑な例として、方程式

${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}x&&\;-\;&&2y&&\;=\;&&-1&\\3x&&\;+\;&&5y&&\;=\;&&8&\\4x&&\;+\;&&3y&&\;=\;&&7&\end{alignedat}}}$

3 番目の方程式は他の 2 つの方程式の合計であるため、独立ではありません。実際、これらの方程式のいずれも他の 2 つから導き出すことができ、解セットに影響を与えることなく方程式の 1 つを削除できます。これらの方程式のグラフは、1 つの点で交差する 3 本の線です。

線形システムは、解が存在しない場合は矛盾しており、解が存在する場合は矛盾がないと言われます。^{[7]システムが矛盾している場合、方程式から}矛盾を導き出すことができますが、これは常に0 = 1と書き直すことができます。

例えば、方程式

${\displaystyle 3x+2y=6\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;3x+2y=12}$

は矛盾しています。実際、最初の方程式から2番目の方程式を引き、その結果の両辺に1/6を掛けると、0 = 1になります。これらの方程式のxy平面上のグラフは、一対の平行線 です。

3つの線形方程式のうち2つが矛盾していても、3つの線形方程式が矛盾する可能性がある。例えば、次の方程式は

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&\;+\;&&y&&\;=\;&&1&\\2x&&\;+\;&&y&&\;=\;&&1&\\3x&&\;+\;&&2y&&\;=\;&&3&\end{alignedat}}}$

は矛盾しています。最初の 2 つの方程式を足すと3 x + 2 y = 2となり、これを 3 番目の方程式から引くと0 = 1となります。これらの方程式の 2 つには共通の解があります。同じ現象は任意の数の方程式で発生する可能性があります。

一般に、システム内の方程式の左辺が線形従属であり、定数項が依存関係を満たしていない場合に矛盾が発生します。左辺が線形独立である方程式のシステムは常に一貫しています。

言い換えると、ルーシェ・カペリ定理によれば、方程式系（過剰決定系またはそれ以外）は、拡大行列の階数が係数行列の階数よりも大きい場合矛盾します。一方、これら 2 つの行列の階数が等しい場合、系には少なくとも 1 つの解が存在する必要があります。解が一意となるのは、階数が変数の数に等しい場合のみです。それ以外の場合、一般解にはk 個の自由パラメータがあり、k は変数の数と階数の差です。したがって、このような場合には解の数は無限にあります。方程式系の階数（つまり、拡大行列の階数）は [変数の数] + 1 より高くなることはありません。つまり、任意の数の方程式を含む系は、常に、最大でも [変数の数] + 1 個の 独立した方程式を持つ系に簡約できます。

同じ変数セットを使用する 2 つの線形システムは、 2 番目のシステムの各方程式が最初のシステムの方程式から代数的に導出できる場合、同等です。逆の場合も同様です。2 つのシステムが同等なのは、両方が矛盾しているか、それぞれの方程式がもう一方の方程式の線形結合である場合です。したがって、2 つの線形システムは、同じ解セットを持つ場合にのみ同等になります。

線形方程式系を 解くアルゴリズムはいくつかあります。

解の集合が有限である場合、解は単一の要素に縮小されます。この場合、一意の解は、左辺が未知数の名前で右辺が対応する値である方程式のシーケンスによって記述されます (例 ) 。未知数の順序 (たとえばアルファベット順)が固定されている場合、解は前の例のように値のベクトルとして記述できます。 ${\displaystyle (x=3,\;y=-2,\;z=6)}$${\displaystyle (3,\,-2,\,6)}$

無限の数の解を持つ集合を記述するために、通常、変数のいくつかは自由（または独立、あるいはパラメータ）として指定されます。つまり、それらの変数は任意の値を取ることができ、残りの変数は自由変数の値に 依存します。

たとえば、次のシステムを考えてみましょう。

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&\;+\;&&3y&&\;-\;&&2z&&\;=\;&&5&\\3x&&\;+\;&&5y&&\;+\;&&6z&&\;=\;&&7&\end{alignedat}}}$

このシステムの解は次の式で表すことができます。

${\displaystyle x=-7z-1\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;y=3z+2{\text{.}}}$

ここで、z は自由変数ですが、xとy はzに依存します。解セット内の任意の点は、まずzの値を選択し、次にxとyの対応する値を計算することで取得できます。

各自由変数は解空間に 1 つの自由度を与え、その数は解集合の次元に等しくなります。たとえば、上記の方程式の解集合は直線です。これは、パラメータzの値を指定することによって解集合内の点を選択できるためです。高次の無限解は、平面または高次元集合を記述する場合があります。

自由変数の選択によって、同じ解セットの記述が異なる場合があります。たとえば、上記の方程式の解は、次のように記述することもできます。

${\displaystyle y=-{\frac {3}{7}}x+{\frac {11}{7}}\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;z=-{\frac {1}{7}}x-{\frac {1}{7}}{\text{.}}}$

ここでx は自由変数であり、yとz は従属変数です。

線形方程式系を解く最も簡単な方法は、変数を繰り返し消去することです。この方法は次のように説明できます。

1. 最初の方程式では、変数の 1 つを他の変数に関して解きます。
2. この式を残りの方程式に代入します。これにより、方程式が 1 つ少なくなり、未知数が 1 つ減った連立方程式が生成されます。
3. システムが単一の線形方程式になるまで、手順 1 と 2 を繰り返します。
4. この方程式を解き、解全体が見つかるまで代入し直します。

たとえば、次のシステムを考えてみましょう。

${\displaystyle {\begin{cases}x+3y-2z=5\\3x+5y+6z=7\\2x+4y+3z=8\end{cases}}}$

最初の方程式をxについて解くととなり、これを2番目と3番目の方程式に代入すると ${\displaystyle x=5+2z-3y}$

${\displaystyle {\begin{cases}y=3z+2\\y={\tfrac {7}{2}}z+1\end{cases}}}$

これら両方の方程式の左辺はyに等しいので、方程式の右辺も等しくなります。次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}3z+2={\tfrac {7}{2}}z+1\\\Rightarrow z=2\end{aligned}}}$

2番目または3番目の方程式にz = 2を代入するとy = 8となり、最初の方程式にyとzの値を代入するとx = −15となる。したがって、解の集合は順序付き3つ組である。 ${\displaystyle (x,y,z)=(-15,8,2)}$

行削減法（ガウス消去法とも呼ばれる）では、線形システムは拡張行列として表現される^[8]

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\3&5&6&7\\2&4&3&8\end{array}}\right]{\text{.}}}$

この行列は、基本行演算を使用して、縮小行階段形に達するまで変更されます。基本行演算には3つの種類があります。^[8]

タイプ 1 : 2 つの行の位置を入れ替えます。

タイプ 2 : 行にゼロ以外のスカラーを掛けます。

タイプ 3 : ある行に別の行のスカラー倍数を追加します。

これらの操作は可逆的であるため、生成される拡張行列は常に元の行列と同等の線形システムを表します。

拡張行列の行削減にはいくつかの特定のアルゴリズムがありますが、最も単純なのはガウス消去法とガウス・ジョルダン消去法です。次の計算は、上記の行列にガウス・ジョルダン消去法を適用したものです。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\3&5&6&7\\2&4&3&8\end{array}}\right]&\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\0&-4&12&-8\\2&4&3&8\end{array}}\right]\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\0&-4&12&-8\\0&-2&7&-2\end{array}}\right]\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\0&1&-3&2\\0&-2&7&-2\end{array}}\right]\\&\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\0&1&-3&2\\0&0&1&2\end{array}}\right]\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\0&1&0&8\\0&0&1&2\end{array}}\right]\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&0&9\\0&1&0&8\\0&0&1&2\end{array}}\right]\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&0&0&-15\\0&1&0&8\\0&0&1&2\end{array}}\right].\end{aligned}}}$

最後の行列は簡約された階段行列形式で、システムx = −15、y = 8、z = 2を表します。前のセクションの変数の代数的消去の例と比較すると、これら 2 つの方法は実際には同じであることがわかります。違いは、計算がどのように記述されるかにあります。

クラメールの法則は、各変数が2つの行列式の商で与えられる線形方程式系の解の明示的な公式である。^[9]たとえば、次の方程式系の解は

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&\;+&\;3y&\;-&\;2z&\;=&\;5\\3x&\;+&\;5y&\;+&\;6z&\;=&\;7\\2x&\;+&\;4y&\;+&\;3z&\;=&\;8\end{alignedat}}}$

は次のように与えられる。

${\displaystyle x={\frac {\,{\begin{vmatrix}5&3&-2\\7&5&6\\8&4&3\end{vmatrix}}\,}{\,{\begin{vmatrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{vmatrix}}\,}},\;\;\;\;y={\frac {\,{\begin{vmatrix}1&5&-2\\3&7&6\\2&8&3\end{vmatrix}}\,}{\,{\begin{vmatrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{vmatrix}}\,}},\;\;\;\;z={\frac {\,{\begin{vmatrix}1&3&5\\3&5&7\\2&4&8\end{vmatrix}}\,}{\,{\begin{vmatrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{vmatrix}}\,}}.}$

各変数について、分母は係数行列の行列式であり、分子は 1 つの列が定数項のベクトルに置き換えられた行列の行列式です。

クラメールの法則は理論的には重要ですが、大きな行列式の計算がやや​​面倒なため、大きな行列に対しては実用的な価値はほとんどありません。(実際、大きな行列式は行削減を使用して最も簡単に計算できます。) さらに、クラメールの法則は数値的特性が非常に悪いため、無限の精度で有理数演算で演算を実行しない限り、小さなシステムでさえ確実に解くのに適していません。^{[引用が必要]}

方程式系が行列形式で表現される場合、解の集合全体も行列形式で表現できます。行列Aが正方行列（m行n = m列）でフルランク行列（すべてのm行が独立）である場合、この系には次式で示される唯一の解があります。 ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$

${\displaystyle \mathbf {x} =A^{-1}\mathbf {b} }$

ここで、 はAの逆数です。より一般的には、m = nであるかどうか、またAの階数に関わらず、すべての解（存在する場合）は、次のようにAのムーア・ペンローズ逆数 （ ）を使用して与えられます。 ${\displaystyle A^{-1}}$${\displaystyle A^{+}}$

${\displaystyle \mathbf {x} =A^{+}\mathbf {b} +\left(I-A^{+}A\right)\mathbf {w} }$

ここで、はすべての可能なn ×1ベクトルにわたる自由パラメータのベクトルです。任意の解が存在するための必要かつ十分な条件は、を使用して得られる潜在的な解が、つまり、を満たすことです。この条件が成立しない場合、方程式系は矛盾しており、解はありません。条件が成立する場合、システムは矛盾がなく、少なくとも1つの解が存在します。たとえば、上記のAが正方でフルランクの場合、は単にに等しく、一般解方程式は次のように簡略化されます。 ${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {0} }$${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$${\displaystyle AA^{+}\mathbf {b} =\mathbf {b} .}$${\displaystyle A^{+}}$${\displaystyle A^{-1}}$

${\displaystyle \mathbf {x} =A^{-1}\mathbf {b} +\left(I-A^{-1}A\right)\mathbf {w} =A^{-1}\mathbf {b} +\left(I-I\right)\mathbf {w} =A^{-1}\mathbf {b} }$

前述のように、 は解から完全に消え、1 つの解だけが残ります。ただし、他の場合にはが残り、したがって自由パラメータ ベクトルの潜在的な値は無限であり、方程式の解は無限になります。 ${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle \mathbf {w} }$

3 つか 4 つの方程式からなる連立方程式は簡単に手作業で解くことができますが ( Cracovian を参照)、より大きな連立方程式にはコンピュータがよく使用されます。連立一次方程式を解く標準的なアルゴリズムは、いくつかの変更を加えたガウス消去法に基づいています。まず、小さな数による除算は避けることが重要です。小さな数による除算は不正確な結果につながる可能性があります。これは、必要に応じて方程式を並べ替えることで実行できます。このプロセスは、ピボットと呼ばれます。次に、アルゴリズムはガウス消去法を正確に行うのではなく、行列AのLU 分解を計算します。これは主に整理ツールですが、同じ行列Aでベクトルbが異なる複数の連立方程式を解く必要がある場合は、これを使用するとはるかに速くなります。

行列Aが特別な構造を持っている場合、これを利用してより高速で正確なアルゴリズムを得ることができます。たとえば、対称 正定値行列を持つシステムは、コレスキー分解を使用すると 2 倍の速さで解くことができます。レビンソン再帰法は、テプリッツ行列の高速な方法です。アプリケーションで頻繁に登場する、多くのゼロ要素を持つ行列 (いわゆるスパース行列) にも特別な方法があります。

非常に大規模なシステムでは、時間やメモリが大量に消費されるため、まったく異なるアプローチが採用されることが多い。その考え方は、解の初期近似値（正確である必要はない）から始めて、この近似値をいくつかのステップで変更し、真の解に近づけていくというものである。近似値が十分に正確になったら、これをシステムの解とする。これが反復法のクラスにつながる。一部の疎行列では、ランダム性を導入することで反復法の速度が向上する。^[10]反復法の一例として、ヤコビ法がある。この方法では、行列が対角成分と非対角成分に分割される。アルゴリズムの開始時に初期推定値を使用する。後続の各推定値は、反復方程式を使用して計算される。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle D}$${\displaystyle L+U}$${\displaystyle {\mathbf {x}}^{(0)}}$

${\displaystyle {\mathbf {x}}^{(k+1)}=D^{-1}({\mathbf {b}}-(L+U){\mathbf {x}}^{(k)})}$

推測値と推定値の差が十分に小さい場合、アルゴリズムは解に収束したと言われる。 ^[11]${\displaystyle {\mathbf {x}}^{(k)}}$${\displaystyle {\mathbf {x}}^{(k+1)}}$

線形方程式系に対する量子アルゴリズムも存在する。^[12]

すべての定数項がゼロの場合、 線形方程式系は同次方程式です。

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\&&&&&&&&&&\vdots \;\ &&&\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&0.\\\end{alignedat}}}$

同次系は次のような行列方程式と等価である。

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} }$

ここで、Aはm × n行列、xはn個の要素を持つ列ベクトル、0はm個の要素を持つゼロベクトルです。

すべての同次システムには、ゼロ（または自明）解と呼ばれる少なくとも 1 つの解があり、各変数にゼロの値を割り当てることで得られます。システムが非特異行列（det( A ) ≠ 0）を持つ場合、それは唯一の解でもあります。システムが特異行列を持つ場合、無限の数の解を持つ解セットが存在します。この解セットには、次の追加のプロパティがあります。

1. uとvが同次系の解を表す2 つのベクトルである場合、ベクトルの和u + vもその系の解になります。
2. u が同次系の解を表すベクトルであり、rが任意のスカラーである場合、r uも系の解になります。

これらはまさに、解集合がR ⁿの線形部分空間となるために必要な特性です。特に、同次系に対する解集合は、対応する行列Aのヌル空間と同じです。

線形システムの解と対応する同次システムの解の間には密接な関係があります。

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} \qquad {\text{and}}\qquad A\mathbf {x} =\mathbf {0} .}$

具体的には、pが線形システムA x = bの特定の解である場合、全体の解の集合は次のように記述できます。

${\displaystyle \left\{\mathbf {p} +\mathbf {v} :\mathbf {v} {\text{ is any solution to }}A\mathbf {x} =\mathbf {0} \right\}.}$

幾何学的には、 A x = bの解集合はA x = 0の解集合の変換であることを意味します。具体的には、最初のシステムの平坦部は、同次システムの線形部分空間をベクトルpで変換することによって取得できます。

この推論は、システムA x = bに少なくとも 1 つの解がある場合にのみ適用されます。これは、ベクトルb が線形変換Aの像内にある場合にのみ発生します。

• アントン、ハワード（1987）、初等線形代数（第5版）、ニューヨーク：ワイリー、ISBN 0-471-84819-0
• ボーリガード、レイモンド A.; フレイリー、ジョン B. (1973)、『線形代数の入門：群、環、体へのオプション入門』、ボストン：ホートン・ミフリン社、ISBN 0-395-14017-X
• バーデン、リチャード L.; フェアーズ、J. ダグラス (1993)、数値解析(第 5 版)、ボストン: プリンドル、ウェーバー、シュミット、ISBN 0-534-93219-3
• カレン、チャールズ G. (1990)、行列と線形変換、MA: ドーバー、ISBN 978-0-486-66328-9
• ゴルブ、ジーン H.; ヴァン・ローン、チャールズ F. (1996)、マトリックス計算(第 3 版)、ボルチモア:ジョンズ・ホプキンス大学出版局、ISBN 0-8018-5414-8
• ハーパー、チャーリー（1976）、数理物理学入門、ニュージャージー：プレンティスホール、ISBN 0-13-487538-9
• Harrow, Aram W.; Hassidim, Avinatan; Lloyd, Seth (2009)、「線形方程式系のための量子アルゴリズム」、Physical Review Letters、103 (15): 150502、arXiv : 0811.3171、Bibcode :2009PhRvL.103o0502H、doi :10.1103/PhysRevLett.103.150502、PMID  19905613、S2CID  5187993
• スターリング、メアリー J. (2009)、Linear Algebra for Dummies、インディアナポリス、インディアナ州: Wiley、ISBN 978-0-470-43090-3
• ホワイトロー、TA（1991）、線形代数入門（第2版）、CRC Press、ISBN 0-7514-0159-5

• アクラー、シェルドン・ジェイ (1997)。線形代数を正しく理解する(第 2 版)。Springer- Verlag。ISBN 0-387-98259-0。
• レイ、デイビッド C. (2005 年 8 月 22 日)。線形代数とその応用(第 3 版)。アディソン ウェスレー。ISBN 978-0-321-28713-7。
• マイヤー、カール D. (2001 年 2 月 15 日)。行列解析と応用線形代数。工業応用数学協会 (SIAM) 。ISBN 978-0-89871-454-82001年3月1日時点のオリジナルよりアーカイブ。
• プール、デイビッド (2006)。線形代数: 現代入門(第 2 版)。ブルックス/コール。ISBN 0-534-99845-3。
• アントン・ハワード (2005)。『初等線形代数（応用版）』（第 9 版）。ワイリー インターナショナル。
• レオン、スティーブン J. (2006)。線形代数とその応用(第 7 版)。ピアソン プレンティス ホール。
• ストラング、ギルバート(2005)。線形代数とその応用。
• Peng, Richard; Vempala, Santosh S. (2024). 「行列乗算よりも高速なスパース線形システムの解法」. Comm. ACM . 67 (7): 79–86. arXiv : 2007.10254 . doi :10.1145/3615679.

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