つながり（数学）

幾何学では、接続の概念によって、接ベクトルや接空間のテンソルなどの局所幾何学的オブジェクトを、曲線または曲線族に沿って平行かつ一貫した方法で転送するというアイデアが明確になります。現代の幾何学には、転送するデータの種類に応じてさまざまな種類の接続があります。たとえば、最も基本的なタイプの接続であるアフィン接続は、多様体上の接ベクトルを曲線に沿った 1 つの点から別の点に平行転送する手段を提供します。アフィン接続は通常、共変微分の形式で与えられ、ベクトル場の方向微分を取得し、ベクトル場が特定の方向で平行であることからの偏差を測定する手段を提供します。

接続は、ある点における局所幾何学と別の点における局所幾何学との比較を可能にするため、現代幾何学において中心的な重要性を持っています。 微分幾何学は、接続のテーマに関するいくつかのバリエーションを包含しており、それらは無限小理論と局所理論という 2 つの主要なグループに分類されます。局所理論は、主に平行移動とホロノミーの概念を扱います。無限小理論は、幾何学的データの微分を扱います。したがって、共変微分は、多様体上の別のベクトル場に沿ったベクトル場の微分を指定する方法です。カルタン接続は、微分形式とリー群を使用して接続理論のいくつかの側面を定式化する方法です。エールスマン接続は、場の許容される運動方向を指定することにより、ファイバー束または主束内で接続するものです。コシュル接続は、接束よりも一般的な ベクトル束のセクションの方向微分を定義する接続です。

接続により、曲率（曲率テンソルと曲率形式も参照）やねじれテンソルなどの幾何学的不変量の便利な定式化も可能になります。

次の問題を考えてみましょう。球Sの北極に接線ベクトルが与えられているとします。このベクトルを球の他の点に一貫して移動させる方法、つまり平行移動の手段を定義します。単純に言えば、これは特定の座標系を使用して行うことができます。ただし、適切な注意を払わない限り、1 つの座標系で定義された平行移動は、別の座標系の平行移動とは一致しません。より適切な平行移動システムは、回転中の球の対称性を利用します。北極にベクトルが与えられている場合、球を回転させて北極が軸の回転なしで曲線に沿って移動するようにすることで、このベクトルを曲線に沿って移動できます。この後者の平行移動手段は、球上のレヴィ-チヴィタ接続です。同じ始点と終点を持つ 2 つの異なる曲線が与えられ、ベクトルv が回転によって最初の曲線に沿って剛体移動する場合、終点での結果のベクトルは、 2 番目の曲線に沿って剛体移動したvから得られるベクトルとは異なります。この現象は球の曲率を反映しています。平行移動を視覚化するために使用できる単純な機械装置は、南を指す戦車です。

例えば、Sが球体で、立体投影によって座標が与えられているとします。SはR ³の単位ベクトルで構成されているとします。すると、Sは北極と南極からの投影に対応する座標パッチのペアを持ちます。マッピングは

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{0}(x,y)&=\left({\frac {2x}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {2y}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {1-x^{2}-y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}}\right)\\[8pt]\varphi _{1}(x,y)&=\left({\frac {2x}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {2y}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {x^{2}+y^{2}-1}{1+x^{2}+y^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

それぞれ北極の近傍U ₀と南極の近傍U ₁をカバーする。X、Y、ZをR ³の周囲座標とする。すると、φ ₀とφ ₁には逆関数が存在する 。

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{0}^{-1}(X,Y,Z)&=\left({\frac {X}{Z+1}},{\frac {Y}{Z+1}}\right),\\[8pt]\varphi _{1}^{-1}(X,Y,Z)&=\left({\frac {-X}{Z-1}},{\frac {-Y}{Z-1}}\right),\end{aligned}}}$

座標遷移関数は円内で反転する。

${\displaystyle \varphi _{01}(x,y)=\varphi _{0}^{-1}\circ \varphi _{1}(x,y)=\left({\frac {x}{ x^{2}+y^{2}}},{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right)}$

ここで、 S 上のベクトル場 （S 内の各点への接線ベクトルの割り当て）を局所座標で表してみましょう。PがU ₀ ⊂ Sの点である場合、ベクトル場はR ²上のベクトル場v _0のプッシュフォワードによって次のように表すことができます。 ${\displaystyle v}$${\displaystyle \varphi_{0}}$

ここで、 φ ₀ ( )のヤコビ行列を表し、v ₀  =  v ₀ ( x ,  y ) はvによって一意に決定されるR ²上のベクトル場です(任意の点における局所微分同相写像のプッシュフォワードは可逆であるため)。さらに、座標チャートU ₀ ∩ U ₁の重なり部分では、 φ ₁座標に関して同じベクトル場を表すことができます。 ${\displaystyle J_{\varphi _{0}}}$${\displaystyle d{\varphi _{0}}_{x}({\mathbf {u} })=J_{\varphi _{0}}(x)\cdot {\mathbf {u} }}$

成分v ₀とv ₁を関連付けるには、連鎖律を恒等式 φ ₁ = φ ₀ o φ ₀₁に適用します。

${\displaystyle J_{\varphi _{1}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right)=J_{\varphi _{0}}\left(\varphi _{0}^{-1}(P)\right)\cdot J_{\varphi _{01}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right).}$

この行列方程式の両辺を成分ベクトルv ₁ (φ ₁ ⁻¹ ( P ))に適用し、( 1 )と( 2 ) を適用すると、

ここで、ベクトル場を曲線に沿って平行に輸送する方法を定義するという主要な問題に移ります。P ( t ) がS内の曲線であると仮定します。素朴に言えば、ベクトル場の座標成分が曲線に沿って一定であれば、ベクトル場は平行であると見なすことができます。しかし、すぐに曖昧さが生じます。どの座標系でこれらの成分が一定であるべきでしょうか?

例えば、v ( P ( t )) がU ₁座標系で定数成分を持つと仮定する。つまり、関数v ₁ ( φ ₁ ⁻¹ ( P ( t ))) は定数である。しかし、積の法則を ( 3 ) に適用し、 d v ₁ / dt = 0 という事実を用いると、

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\mathbf {v} }_{0}\left(\varphi _{0}^{-1}(P(t))\right)=\left({\frac {d}{dt}}J_{\varphi _{01}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P(t))\right)\right)\cdot {\mathbf {v} }_{1}\left(\varphi _{1}^{-1}\left(P(t)\right)\right).}$

しかし、常に非特異行列です（曲線P ( t )が定常でない場合）。そのため、_v1とv0は_曲線に沿って同時に一定に なることはありません。${\displaystyle \left({\frac {d}{dt}}J_{\varphi _{01}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P(t))\right)\right)}$

上で観察された問題は、ベクトル場の成分に適用されたとき、ベクトル計算の通常の方向微分が座標系の変化の下ではうまく動作しないということです。このため、ベクトル場を平行移動する方法を説明するのは非常に困難です (そのような概念がまったく意味をなさないとしても)。この問題を解決するには、根本的に異なる 2 つの方法があります。

最初のアプローチは、座標遷移の下で方向微分の一般化が「適切に動作する」ために何が必要かを調べることです。これは、接続に対する共変微分アプローチで採用されている戦術です。つまり、良好な動作は共変性と同等とされます。ここでは、ベクトル場自体の微分を含まない、クリストッフェル記号と呼ばれる成分を持つ特定の線形演算子による方向微分の変更を検討します。座標系φのベクトルvの方向uの成分の方向微分D _u v は、共変微分に置き換えられます。

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }=D_{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }+\Gamma (\varphi )\{{\mathbf {u} },{\mathbf {v} }\}}$

ここで、 Γ は座標系φに依存し、 uおよびvに関して双線形です。特に、 Γ はuまたはvに関するいかなる導関数も含みません。このアプローチでは、座標系φ が別の座標系に変更されるときに、 Γ は所定の方法で変換する必要があります。この変換はテンソルではありません。座標遷移の1 次導関数だけでなく、2 次導関数も含むためです。 Γ の変換法則を指定するだけでは、 Γ を一意に決定するのに十分ではありません。通常は検討中の幾何学の種類に応じて、他のいくつかの正規化条件を課す必要があります。リーマン幾何学では、レヴィ-チヴィタ接続には、クリストッフェル記号と計量との互換性(および特定の対称条件) が必要です。これらの正規化により、接続は一意に定義されます。

2 番目のアプローチは、リー群を使用して、空間上の対称性の痕跡を捉えようとするものです。これは、カルタン接続のアプローチです。回転を使用して球面上のベクトルの平行移動を指定する上記の例は、まさにこの流れに沿うものです。

歴史的に、接続はリーマン幾何学において無限小の観点から研究されてきた。接続の無限小研究は、エルヴィン・クリストッフェルによってある程度始まった。これは後にグレゴリオ・リッチ＝クルバストロとトゥリオ・レヴィ＝チヴィタ(Levi-Civita & Ricci 1900)によってより徹底的に取り上げられ、彼らは部分的に、クリストッフェルの無限小の意味における接続は平行移動の概念も可能にすることを観察した。

レヴィ＝チヴィタの研究は、接続を微分演算子の一種と見なすことに専ら焦点を当てており、その平行移動が微分方程式の解となっていた。20世紀が進むにつれて、エリー・カルタンは接続の新しい概念を開発した。彼は、パフィアン システムの技法をフェリックス・クラインのエルランゲン プログラムの幾何学に適用しようとした。これらの調査で、彼は、接続の特定の微小概念 (カルタン接続) がこれらの幾何学やその他の幾何学に適用できることを発見した。彼の接続概念は、古典的なクラインの幾何学には存在しない曲率の存在を許容した。(例えば、(Cartan 1926) および (Cartan 1983) を参照。) さらに、ガストン・ダルブーのダイナミクスを使用して、カルタンは、彼の微小接続のクラスに対して平行移動の概念を一般化することができた。これにより、接続は特定の種類の微分形式であるという、接続理論のもう 1 つの主要な流れが確立された。

接続理論の 2 つの流れは、現在まで続いています。微分作用素としての接続と、微分形式としての接続です。1950 年に、Jean-Louis Koszul (Koszul 1950) は、 Koszul 接続によって接続を微分作用素と見なすための代数的枠組みを与えました。Koszul 接続は、Levi-Civita の接続よりも一般的であり、扱いにくいChristoffel 記号を接続形式から最終的に除去 (または少なくとも隠蔽) できたため、より簡単に扱うことができました。付随する平行移動演算も、接続の観点から自然な代数的解釈を持っていました。Koszul の定義は、共変微分と平行移動の間の解析的対応を代数的なものに効果的に変換したため、その後、微分幾何学コミュニティのほとんどで採用されました。

同年、カルタンの弟子であるチャールズ・エーレスマン(Ehresmann 1950) は、主バンドル、より一般的にはファイバーバンドルの文脈における微分形式の見方として接続のバリエーションを提示した。 エーレスマン接続は、厳密に言えば、カルタン接続の一般化ではなかった。カルタン接続は、カルタンの同値法との関係のため、多様体の基礎となる微分位相に非常に厳密に結びついていた。 エーレスマン接続はむしろ、当時の他の幾何学者、例えば、カルタン接続から離れてゲージ接続と呼ばれるものを研究し始めていたShiing-Shen Chernなどの基礎研究を見るための堅実な枠組みであった。 エーレスマンの観点では、主バンドル内の接続は、バンドルの全空間上の水平および垂直のベクトル場の指定から構成される。 平行移動は、曲線を底から主バンドル内の水平な曲線に持ち上げることである。 この観点は、ホロノミーの研究において特に価値があることが証明されている。

• かなり直接的なアプローチは、共変微分が微分演算子としてベクトル場のモジュールの要素にどのように作用するかを指定することです。より一般的には、同様のアプローチが任意のベクトルバンドルの接続に適用されます。
• 伝統的なインデックス表記法では、コンポーネントによる接続を指定します。クリストッフェル記号を参照してください。(注: これは 3 つのインデックスを持ちますが、テンソルではありません)。
• 擬リーマン幾何学とリーマン幾何学において、レヴィ-チヴィタ接続は計量テンソルに関連付けられた特殊な接続です。
• これらはアフィン接続の例です。また、射影接続の概念もあり、複素解析におけるシュワルツ微分はその一例です。より一般的には、アフィン接続と射影接続はどちらもカルタン接続の一種です。
• 主バンドルを使用すると、接続はリー代数の値を持つ微分形式として実現できます。接続（主バンドル）を参照してください。
• 「データ」（それが何であれ）の転送の概念を直接利用する接続へのアプローチは、Ehresmann 接続です。
• 最も抽象的なアプローチはアレクサンダー・グロタンディークが提案したもので、グロタンディーク接続は対角線の無限小近傍からの下降データとして見られます。(Osserman 2004) を参照してください。

• アフィン接続
• カルタン接続
• エアレスマン接続
• グロタンディーク接続
• レヴィ・チヴィタ接続
• 接続フォーム
• 接続（ファイバーマニホールド）
• 接続（主バンドル）
• 接続（ベクトル束）
• 接続（アフィンバンドル）
• 接続（複合バンドル）
• 接続（代数的枠組み）
• ゲージ理論（数学）
• コネス接続

• Levi-Civita、T. Ricci, G. (1900)、「絶対的な差分計算とルールの応用方法」、Mathematische Annalen、54 ( 1–2 ): 125–201、doi :10.1007/BF01454201、S2CID  120009332
• Cartan、Élie (1924)、「Sur les variétés à connexion projective」、Bulletin de la Société Mathématique de France、52 : 205–241、doi : 10.24033/bsmf.1053
• Cartan、Élie (1926)、「Les groupes d'holonomie des espaces généralisés」、Acta Mathematica、48 ( 1–2 ): 1– 42、doi : 10.1007/BF02629755
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• ルミステ、Ü. (2001) [1994]、「接続」、数学百科事典、EMS プレス
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• Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G. (2000)、古典場理論と量子場理論のつながり、World Scientific、ISBN 981-02-2013-8。
• 森田茂之 (2001) 『微分形式の幾何学』 AMS、ISBN 0-8218-1045-6

• ウィキメディア・コモンズの「接続 (数学)」に関連するメディア
• マニフォールドアトラスにおける接続