接続（複合バンドル）

複合バンドルは、対称性が破れたゲージ理論（ゲージ重力理論など） 、時間軸が である非自律力学（時間依存パラメータを持つ力学など）などで重要な役割を果たします。ファイバーバンドル上の接続、およびの間には重要な関係があります。 ${\displaystyle Y\to \Sigma \to X}$${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y\to X}$${\displaystyle Y\to \Sigma }$${\displaystyle \Sigma \to X}$

微分幾何学において合成束 とは、

${\displaystyle \pi :Y\to \Sigma \to X\qquad \qquad (1)}$

繊維束の

${\displaystyle \pi _{Y\Sigma }:Y\to \Sigma ,\qquad \pi _{\Sigma X}:\Sigma \to X.}$

バンドル座標 が提供され、ここで はファイバーバンドル 上のバンドル座標です。つまり、座標 の遷移関数は座標 に依存しません。 ${\displaystyle (x^{\lambda },\sigma ^{m},y^{i})}$${\displaystyle (x^{\lambda },\sigma ^{m})}$${\displaystyle \Sigma \to X}$${\displaystyle \sigma ^{m}}$${\displaystyle y^{i}}$

次の事実は、合成バンドルの上記の物理的な応用を提供する。合成バンドル(1)が与えられたとき、 をファイバーバンドル の全体切断とします（もしあれば）。このとき、上のプルバックバンドル はファイバーバンドル の部分バンドルです。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle \Sigma \to X}$ ${\displaystyle Y^{h}=h^{*}Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y\to X}$

たとえば、が構造リー群を持つ主バンドルで、その閉じた部分群 に還元可能であるとします。 が構造群を持つ主バンドルであり、が に関連付けられたファイバーバンドルである合成バンドルが存在します。の大域断面が与えられた場合、プルバックバンドルは、構造群 を持つの還元された主サブバンドルです。ゲージ理論では、 の断面は古典的なヒッグス場として扱われます。 ${\displaystyle P\to X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle P\to P/H\to X}$${\displaystyle P\to P/H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle P/H\to X}$${\displaystyle P\to X}$${\displaystyle h}$${\displaystyle P/H\to X}$${\displaystyle h^{*}P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle H}$${\displaystyle P/H\to X}$

複合束(1)が与えられたとき、繊維束、、のジェット多様体、、をそれぞれ考える。これらには適合座標、、、が与えられる。${\displaystyle Y\to \Sigma \to X}$ ${\displaystyle J^{1}\Sigma }$${\displaystyle J_{\Sigma }^{1}Y}$${\displaystyle J^{1}Y}$${\displaystyle \Sigma \to X}$${\displaystyle Y\to \Sigma }$${\displaystyle Y\to X}$${\displaystyle (x^{\lambda },\sigma ^{m},\sigma _{\lambda }^{m})}$${\displaystyle (x^{\lambda },\sigma ^{m},y^{i},{\widehat {y}}_{\lambda }^{i},y_{m}^{i}),}$${\displaystyle (x^{\lambda },\sigma ^{m},y^{i},\sigma _{\lambda }^{m},y_{\lambda }^{i}).}$

標準地図がある

${\displaystyle J^{1}\Sigma \times _{\Sigma }J_{\Sigma }^{1}Y\to _{Y}J^{1}Y,\qquad y_{\lambda }^{i}=y_{m}^{i}\sigma _{\lambda }^{m}+{\widehat {y}}_{\lambda }^{i}}$。

この標準写像は、ファイバー束、およびの接続間の関係を定義する。これらの接続は、対応する接線値接続形式によって与えられる。${\displaystyle Y\to X}$${\displaystyle Y\to \Sigma }$${\displaystyle \Sigma \to X}$

${\displaystyle \gamma =dx^{\lambda }\otimes (\partial _{\lambda }+\gamma _{\lambda }^{m}\partial _{m}+\gamma _{\lambda }^{i}\partial _{i}),}$

${\displaystyle A_{\Sigma }=dx^{\lambda }\otimes (\partial _{\lambda }+A_{\lambda }^{i}\partial _{i})+d\sigma ^{m}\otimes (\partial _{m}+A_{m}^{i}\partial _{i}),}$

${\displaystyle \Gamma =dx^{\lambda }\otimes (\partial _{\lambda }+\Gamma _{\lambda }^{m}\partial _{m}).}$

ファイバーバンドル上の接続と ファイバーバンドル上の 接続は接続を定義します ${\displaystyle A_{\Sigma }}$${\displaystyle Y\to \Sigma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Sigma \to X}$

${\displaystyle \gamma =dx^{\lambda }\otimes (\partial _{\lambda }+\Gamma _{\lambda }^{m}\partial _{m}+(A_{\lambda }^{i}+A_{m}^{i}\Gamma _{\lambda }^{m})\partial _{i})}$

合成バンドル 上のベクトル場 を合成接続といいます。これは、合成接続 による 上のベクトル場への水平持ち上げが、接続 による への水平持ち上げと、接続 による への持ち上げの合成と一致するような、唯一の接続です。 ${\displaystyle Y\to X}$ ${\displaystyle \gamma \tau }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle A_{\Sigma }(\Gamma \tau )}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle A_{\Sigma }}$

合成バンドル(1)が与えられたとき、上のベクトルバンドルの正確なシーケンスは次のようになります。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle 0\to V_{\Sigma }Y\to VY\to Y\times _{\Sigma }V\Sigma \to 0,\qquad \qquad (2)}$

ここで 、およびは、の垂直接線束 および垂直余接束である。繊維束上のすべての接続は、分割をもたらす。 ${\displaystyle V_{\Sigma }Y}$${\displaystyle V_{\Sigma }^{*}Y}$${\displaystyle Y\to \Sigma }$${\displaystyle A_{\Sigma }}$${\displaystyle Y\to \Sigma }$

${\displaystyle A_{\Sigma }:TY\supset VY\ni {\dot {y}}^{i}\partial _{i}+{\dot {\sigma }}^{m}\partial _{m}\to ({\dot {y}}^{i}-A_{m}^{i}{\dot {\sigma }}^{m})\partial _{i}}$

正確な列（2）の分割を用いると、1階微分演算子を構築することができる。

${\displaystyle {\widetilde {D}}:J^{1}Y\to T^{*}X\otimes _{Y}V_{\Sigma }Y,\qquad {\widetilde {D}}=dx^{\lambda }\otimes (y_{\lambda }^{i}-A_{\lambda }^{i}-A_{m}^{i}\sigma _{\lambda }^{m})\partial _{i},}$

合成バンドル上の。これは垂直共変微分と呼ばれる。これは次の重要な性質を持つ。 ${\displaystyle Y\to X}$

をファイバーバンドルのセクションとし、を上のプルバックバンドルとします。すべての接続はプルバック接続を誘導します。${\displaystyle h}$${\displaystyle \Sigma \to X}$${\displaystyle h^{*}Y\subset Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A_{\Sigma }}$

${\displaystyle A_{h}=dx^{\lambda }\otimes [\partial _{\lambda }+((A_{m}^{i}\circ h)\partial _{\lambda }h^{m}+(A\circ h)_{\lambda }^{i})\partial _{i}]}$

上の共変微分。すると、 への垂直共変微分の制限は、引き戻し接続 に対する よく知られた共変微分と一致し ます。 ${\displaystyle h^{*}Y}$${\displaystyle {\widetilde {D}}}$${\displaystyle J^{1}h^{*}Y\subset J^{1}Y}$ ${\displaystyle D^{A_{h}}}$${\displaystyle h^{*}Y}$${\displaystyle A_{h}}$

• Saunders, D., The Geometry of Jet Bundles. Cambridge University Press, 1989. ISBN  0-521-36948-7 .
• Mangiarotti, L., Sardanashvily, G.、「古典場理論と量子場理論における接続」。World Scientific、2000年。ISBN 981-02-2013-8。 

• Sardanashvily, G.、理論家のための上級微分幾何学。ファイバー束、ジェット多様体、ラグランジアン理論、 Lambert Academic Publishing、2013年。ISBN 978-3-659-37815-7 ; arXiv :0908.1886 

• つながり（数学）
• 接続（ファイバーマニホールド）