グロタンディーク接続

代数幾何学と総合微分幾何学において、グロタンディーク接続は、対角線の無限小近傍からの下降データの観点から 接続を観察する方法です。

グロタンディーク接続は、エーレスマン接続がコシュル接続を一般化するのと類似した方法で構築されたガウス-マニン接続の一般化です。構築自体は幾何学的不変性の要件を満たす必要があり、これは代数幾何学のスキームを含むより広いクラスの構造に対する共変性の類似物と見なすことができます。したがって、ある意味で接続はグロタンディーク位相上の自然な層に存在する必要があります。このセクションでは、エーレスマン接続を層理論の用語でグロタンディーク接続として記述する方法について説明します。

を多様体と射影的沈み込みとし、は上でファイバー化された多様体とし ます。 を の切断の一次ジェット束とします 。 これは 上の束、または の全空間上の束と見なすことができます。 後者の解釈では、Ehresmann 接続は の束の切断 ( 上)です。 したがって、問題は、このベクトル束の切断の層の本質的な記述を得ることです。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi :E\to M}$ ${\displaystyle E}$${\displaystyle M.}$${\displaystyle J^{1}(M,E)}$${\displaystyle E.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle E.}$${\displaystyle E}$${\displaystyle J^{1}(M,E)\to E.}$

グロタンディークの解法は、対角埋め込みを考えることです。におけるのイデアルの 層は、 が対角線に沿って消える関数で構成されます。の無限小幾何学の多くは、 によって実現できます。 たとえば、は余接バンドルの切断の層です。におけるの1 次無限小近傍を、イデアルの層に対応するサブスキームとして定義できます (座標の説明については以下を参照してください)。 ${\displaystyle \Delta :M\to M\times M.}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle M\times M}$${\displaystyle M\times M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle I.}$${\displaystyle \Delta^{*}\left(I,I^{2}\right)}$ ${\displaystyle M^{(2)}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle M\times M}$${\displaystyle I^{2}.}$

デカルト積のそれぞれの因子を射影することによって与えられる一対の射影があり、これを制限して射影を与える。ここで、またはのいずれか一方に沿ってファイバー空間の引き戻しを 形成することができる。一般に、とを互いと同一 視する標準的な方法はない。グロタンディーク接続は、これら 2 つの空間間の指定された同型である。同じ言語で接続の 曲率とp 曲率を定義することもできる。${\displaystyle p_{1},p_{2}:M\times M\to M}$${\displaystyle p_{1},p_{2}:M^{(2)}\to M.}$${\displaystyle E}$${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle p_{2}.}$${\displaystyle p_{1}^{*}E}$${\displaystyle p_{2}^{*}E}$

• 接続（数学）  - 特定の変数が空間内の特定の点に沿って移動するときにどのように変化するかを示す関数

1. Osserman, B.、「接続、曲率、p 曲率」、プレプリント。
2. Katz, N.、「べき零接続とモノドロミー定理」、IHES Publ. Math. 39 (1970) 175–232。