エンリケス – 小平分類

数学において、エンリケス・コダイラ分類は、コンパクトな 複素曲面を 10 のクラスに分類し、各クラスはモジュライ空間によってパラメータ化されます。ほとんどのクラスではモジュライ空間はよく理解されていますが、一般型の曲面のクラスでは、モジュライ空間は、いくつかの要素がわかっているものの、明示的に記述するには複雑すぎるようです。

マックス・ネーターは代数曲面の体系的な研究を始め、グイド・カステルヌオーヴォは分類の重要な部分を証明した。フェデリゴ・エンリケス (1914、1949) は複素射影曲面の分類を説明した。小平邦彦 (1964、1966、1968a、1968b) は後にその分類を拡張し、非代数コンパクト曲面を含めた。正特性の曲面の類似の分類はデイビッド・マンフォード (1969) によって始められ、エンリコ・ボンビエリとデイビッド・マンフォード (1976、1977) によって完成された。これは特性 0 の射影の場合と似ているが、特性 2 の特異および超特異エンリケス曲面と、特性 2 および 3 の準超楕円曲面も得られる点が異なる。

コンパクト複素面の Enriques–Kodaira 分類では、すべての非特異極小コンパクト複素面は、このページにリストされている 10 種類のどれか 1 つであるとされています。つまり、有理数、ルールド (種数 > 0)、タイプ VII、K3、Enriques、Kodaira、トーリック、超楕円、真に準楕円、または一般タイプの面のいずれかです。

一般型以外の 9 つのクラスの曲面については、すべての曲面がどのように見えるかについてかなり完全な説明があります (クラス VII については、 2024 年現在でも証明されていないグローバル球面殻予想に依存します)。一般型の表面については、多くの例が見つかっていますが、明示的な分類についてはあまり知られていません。

正特性の代数曲面の分類 (Mumford 1969、Mumford & Bombieri 1976、1977) は、特性 0 の代数曲面の分類と似ていますが、小平面や VII 型の曲面が存在せず、特性 2 にエンリケス曲面の追加の族がいくつか存在し、特性 2 と 3 に超楕円曲面があり、特性 2 と 3 の小平次元 1 では準楕円ファイバー化も許可されます。これらの追加の族は次のように理解できます。特性 0 では、これらの曲面は有限群による曲面の商ですが、有限特性では、エタールでない有限群スキームによる商を取ることもできます。

オスカー・ザリスキは、分離不可能な拡大(ザリスキ面)から導かれた、有理ではないが有理でない正特性の曲面をいくつか構築しました。正特性では、セールはが と異なる可能性があることを示し、イグサは、それらが等しい場合でも、不規則性 (ピカール多様体の次元) よりも大きくなる可能性があることを示しました。 ${\displaystyle h^{0}(\オメガ )}$${\displaystyle h^{1}({\mathcal {O}})}$

分類に使用されるコンパクト複素曲面の最も重要な不変量は、さまざまなコヒーレント層コホモロジー群の次元で表すことができます。基本的な不変量は、次のように定義される多種数とホッジ数です。

• K は、そのセクションが正則 2 形式である標準直線束です。

• ${\displaystyle P_{n}=\dim H^{0}(K^{n}),n\geqslant 1}$は多種族と呼ばれます。これらは双有理不変量、すなわち爆発に対して不変です。ロバート・フリードマンとジョン・モーガンは、ザイバーグ・ウィッテン理論を用いて、複素多様体の場合、それらは基礎となる有向滑らかな 4 次元多様体のみに依存することを示しました。非ケーラー面の場合、多種族は基本群によって決定されますが、ケーラー面の場合、同相でありながら多種族次元と小平次元が異なる曲面の例があります。個々の多種族はあまり使用されません。それらについて最も重要なことは、小平次元で測定される成長率です。

• ${\displaystyle \kappa}$はコダイラ次元です。多種族がすべて 0 の場合、（-1 と書かれることもあります）であり、それ以外の場合は が有界となる最小の数（曲面の場合は 0、1、または 2）です。エンリケスはこの定義を使用しませんでした。代わりに、およびの値を使用しました。これらは、次の対応が与えられた場合にコダイラ次元を決定します。${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle P_{n}/n^{\kappa }}$${\displaystyle P_{12}}$${\displaystyle K\cdot K=c_{1}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa =-\infty &\longleftrightarrow P_{12}=0\\\kappa =0&\longleftrightarrow P_{12}=1\\\kappa =1&\longleftrightarrow P_{12}>1{\text{ かつ }}K\cdot K=0\\\kappa =2&\longleftrightarrow P_{12}>1{\text{ かつ }}K\cdot K>0\\\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle h^{i,j}=\dim H^{j}(X,\Omega ^{i}),}$ここで、は正則i形式の層であり、 はホッジ数であり、多くの場合ホッジダイヤモンドに配置されます。${\displaystyle \Omega ^{i}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&&h^{0,0}&&\\&h^{1,0}&&h^{0,1}&\\h^{2,0}&&h^{1,1}&&h^{0,2}\\&h^{2,1}&&h^{1,2}&\\&&h^{2,2}&&\\\end{matrix}}}$

セール双対性 と複素曲面のホッジ数は、曲面の有向実コホモロジー環のみに依存し、単一点の拡大によって 1 増加する点を 除いて、双有理変換に対して不変です。${\displaystyle h^{i,j}=h^{2-i,2-j}}$${\displaystyle h^{0,0}=h^{2,2}=1.}$${\displaystyle h^{1,1}}$

• 曲面がケーラー面である場合、独立したホッジ数は 3 つだけです。${\displaystyle h^{i,j}=h^{j,i}}$
• 表面がコンパクトな場合は、${\displaystyle h^{1,0}}$${\displaystyle h^{0,1}}$${\displaystyle h^{0,1}-1.}$

次のように、ホッジ数の線形結合として記述できる不変量は多数あります (少なくとも複素曲面の場合)。

• ベッティ数: 定義${\displaystyle b_{i}=\dim H^{i}(S),0\leqslant i\leqslant 4.}$

${\displaystyle {\begin{cases}b_{0}=b_{4}=1\\b_{1}=b_{3}=h^{1,0}+h^{0,1}=h^{2,1}+h^{1,2}\\b_{2}=h^{2,0}+h^{1,1}+h^{0,2}\end{cases}}}$

特性p  > 0 では、ベッティ数はl 進コホモロジーを使用して定義され、これらの関係を満たす必要はありません。

• オイラー特性またはオイラー数:

${\displaystyle e=b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+b_{4}.}$

• 不規則性はピカール多様体とアルバネーゼ多様体の次元として定義され、qで表されます。複素曲面の場合（ただし、素特性曲面の場合は必ずしもそうではありません）

${\displaystyle q=h^{0,1}.}$

• 幾何学的種数:

${\displaystyle p_{g}=h^{0,2}=h^{2,0}=P_{1}.}$

• 算術種数:

${\displaystyle p_{a}=p_{g}-q=h^{0,2}-h^{0,1}.}$

• 自明バンドルの正則オイラー特性（通常は上で定義したオイラー数 e とは異なります） :

${\displaystyle \chi =p_{g}-q+1=h^{0,2}-h^{0,1}+1.}$

ノイマンの公式によれば、それはトッドの種数とも等しい。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{12}}(c_{1}^{2}+c_{2}).}$

• 複素曲面の第二コホモロジー群の符号は次のように表される。${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle \tau =4\chi -e=\sum \nolimits _{i,j}(-1)^{j}h^{i,j}.}$

• ${\displaystyle b^{\pm }}$は、最大の正定値部分空間と負定値部分空間の次元なので、次のようになります。${\displaystyle H^{2},}$

${\displaystyle {\begin{cases}b^{+}+b^{-}=b_{2}\\b^{+}-b^{-}=\tau \end{cases}}}$

• c ₂ = eおよび はチャーン数であり、多様体上のチャーン類のさまざまな多項式の積分として定義されます。${\displaystyle c_{1}^{2}=K^{2}=12\chi -e}$

分類ではあまり使われないコンパクト複素曲面の不変量は他にもある。これには、線型同値を法とする因子のピカール群Pic( X ) 、その商であるピカール数ρ の階数を持つネロン・セヴェリ群NS( X )などの代数的不変量、基本群π ₁や積分ホモロジー群、コホモロジー群などの位相的不変量、およびザイバーグ・ウィッテン不変量やドナルドソン不変量などの基礎となる滑らかな4 次元多様体の不変量が含まれる。

任意の曲面は非特異曲面に対して双有理的であるため、ほとんどの場合、非特異曲面を分類するだけで十分です。

曲面上の任意の点が与えられた場合、その点を拡大することで新しい曲面を形成できます。これは、大まかに言うと、その点を射影直線のコピーで置き換えることを意味します。この記事では、非特異曲面X は、別の非特異曲面から点を拡大することでは得られない場合に極小曲面と呼ばれます。カステルヌオーヴォの収縮定理により、これは、X に(−1) 曲線 (自己交差数 −1 の滑らかな有理曲線) がないと言うことと同等です。(極小モデル プログラムというより現代的な用語では、滑らかな射影曲面X は、その標準直線束K _Xがnef である場合に極小曲面と呼ばれます。滑らかな射影曲面が、そのより強い意味で極小モデルを持つのは、そのコダイラ次元が非負である場合のみです。)

すべての曲面X は極小非特異曲面に対して双有理的であり、この極小非特異曲面は、X のKodaira 次元が少なくとも 0 であるか代数的でない場合に一意です。 Kodaira 次元の代数曲面は、複数の極小非特異曲面に対して双有理的である可能性がありますが、これらの極小曲面間の関係を記述するのは簡単です。 たとえば、ある点で拡大されたP ¹ × P ^{1は、2 回拡大された}P ²と同型です。 したがって、すべてのコンパクト複素曲面を双有理同型まで分類するには、極小非特異曲面を分類するだけで (多かれ少なかれ) 十分です。 ${\displaystyle -\infty }$

小平次元の代数曲面は次のように分類できます。q > 0 の場合、アルバネーゼ多様体への写像には射影線であるファイバーがあり (曲面が極小の場合)、曲面は線織面です。q = 0 の場合、アルバネーゼ多様体は点であるためこの議論は成り立ちませんが、この場合、カステルヌオーヴォの定理により曲面は有理曲面であることが示唆されます。 ${\displaystyle -\infty }$

非代数曲面については、小平はタイプ VII と呼ばれる追加の曲面クラスを発見しましたが、これはまだ十分に理解されていません。

有理曲面とは、複素射影平面 P ²に対して双有理的な曲面のことです。これらはすべて代数的です。極小有理曲面は、P ²自身と、n = 0 またはn ≥ 2のヒルツェブルッフ曲面Σ _nです。 (ヒルツェブルッフ曲面 Σ _nは、層 O(0) + O( n ) に関連付けられたP ¹上のP ¹バンドルです。曲面 Σ _0はP ¹ × P ¹に同型であり、 Σ _{1 は}点で拡大された P ²に同型であるため、極小ではありません。)

不変量:多種族はすべて 0 であり、基本群は自明です。

ホッジダイヤモンド:

例: P ²、P ¹ × P ¹ = Σ ₀、ヒルツェブルッフ面 Σ _n、二次曲面、三次曲面、デルペッツォ面、ヴェロネーゼ面。これらの例の多くは非極小です。

種数gの線織面は、線分P ¹を繊維とする種数gの曲線への滑らかな射を持ちます。これらはすべて代数的です。(種数 0 のものはヒルツェブルッフ面であり、有理数です。) 任意の線織面は、唯一の曲線Cに対してP ¹ × Cと双有理同値であるため、双有理同値までの線織面の分類は、曲線の分類と本質的に同じです。 P ¹ × P ¹と同型でない線織面には、唯一の罫線があります ( P ¹ × P ¹には2 つの罫線があります)。

不変条件:多属はすべて 0 です。

ホッジダイヤモンド:

例:種数 > 0 の任意の曲線とP ¹の積。

これらの曲面は代数的でもケーラー面でもない。 b ₂ = 0の極小曲面はボゴモロフによって分類されており、ホップ面または井上面のいずれかである。第 2 ベッティ数が正の例としては、井上-ヒルツェブルッフ面、榎木面、より一般的には加藤面などがある。大域球殻予想によれば、第 2 ベッティ数が正である極小クラス VII 面はすべて加藤面であり、これでタイプ VII 面の分類がほぼ完了する。

不変量: q = 1、h ^1,0 = 0。すべての多属は 0 です。

ホッジダイヤモンド:

これらの面はノイマンの公式から分類される。小平次元0の場合、Kはそれ 自身との交差数が0なので、${\displaystyle 12\chi =c_{2}+c_{1}^{2}.}$${\displaystyle c_{1}^{2}=0.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi &=h^{0,0}-h^{0,1}+h^{0,2}\\c_{2}&=2-2b_{1}+b_{2}\end{aligned}}}$

我々は次の点に到達します:

${\displaystyle 10+12h^{0,2}=8h^{0,1}+2\left(2h^{0,1}-b_{1}\right)+b_{2}}$

さらにκ = 0なので次の式が成り立ちます。

${\displaystyle h^{0,2}={\begin{cases}1&K=0\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

これを前の式と組み合わせると次のようになります。

${\displaystyle 8h^{0,1}+2\left(2h^{0,1}-b_{1}\right)+b_{2}={\begin{cases}22&K=0\\10&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

一般に 2 h ^0,1 ≥ b ₁なので、左側の 3 つの項は負でない整数であり、この方程式の解はわずかしかありません。

• 代数曲面の場合、2 h ^0,1 − b _1は0と2 p _gの間の偶数整数です。
• コンパクトな複素曲面の場合、2 h ^0,1 − b ₁ = 0 または 1 です。
• ケーラー面の場合、2 h ^0,1 − b ₁ = 0 かつh ^1,0 = h ^0,1です。

これらの条件に対するほとんどのソリューションは、次の表に示すように、サーフェスのクラスに対応しています。

これらは、 q = 0 で、自明な標準直線束を持つ、小平次元 0 の極小コンパクト複素曲面です。これらはすべてケーラー多様体です。すべての K3 曲面は微分同相であり、その微分同相類は滑らかなスピン単連結 4 次元多様体の重要な例です。

不変量: 2番目のコホモロジー群H ² ( X , Z )は、次元22、符号−16の唯一の偶ユニモジュラー格子II _3,19と同型である。

ホッジダイヤモンド:

例:

• P ³ ( C )の 4 次超曲面
• クンマー面。これはアーベル面を自己同型a → − aで割って、16 個の特異点を拡大することで得られます。

マークされたK3 曲面は、II _3,19からH ² ( X , Z )への同型性を伴う K3 曲面です。マークされた K3 曲面のモジュライ空間は、連結された 20 次元の非ハウスドルフ滑らかな解析空間です。代数 K3 曲面は、その 19 次元の部分多様体の可算な集合を形成します。

2 次元複素トーラスにはアーベル面が含まれます。1 次元複素トーラスは単なる楕円曲線であり、すべて代数的ですが、リーマンは次元 2 のほとんどの複素トーラスが代数的でないことを発見しました。代数的なものは、まさに 2 次元アーベル多様体です。それらの理論のほとんどは、高次元トーラスまたはアーベル多様体の理論の特殊なケースです。2 つの楕円曲線の積 (同型まで) であるための基準は、19 世紀に人気のあった研究でした。

不変量:多種族はすべて 1 です。曲面はS ¹ × S ¹ × S ¹ × S ¹に微分同相なので、基本群はZ ⁴です。

ホッジダイヤモンド:

例: 2 つの楕円曲線の積。種数 2 の曲線のヤコビアン。C 2 を格子^で割った商。

これらは非定数有理型関数を持ちますが、代数的ではありません。これらは通常、自明な正準バンドルを持つ一次小平面と、これらを 2、3、4、または 6 の位数の有限群で割った商で、非自明な正準バンドルを持つ二次小平面の2つのサブタイプに分けられます。二次小平面は、エンリケス面と K3 面、または双楕円面とアーベル面の関係と同じ関係を一次小平面にもちます。

不変条件: 曲面が、 k = 1、2、3、4、6の位数の群による一次小平曲面の商である場合、多種族P _{n は、} n がkで割り切れる場合は 1 、そうでない場合は 0 になります。

ホッジダイヤモンド:

例:楕円曲線上の非自明な線束を取り、ゼロセクションを削除し、Zをある複素数 zの累乗として作用させてファイバーを除算します。これにより、基本 Kodaira 面が得られます。

これらは、 q = 0 で、標準直線束が非自明であるが、自明な平方を持つような複素曲面です。エンリケス曲面はすべて代数的 (したがってケーラー曲面) です。これらは、K3 曲面を位数 2 の群で割ったものであり、その理論は代数 K3 曲面の理論に似ています。

不変条件:多種族P _nは、 nが偶数のときは 1 、奇数のときは 0 です。基本群の位数は 2 です。2 番目のコホモロジー群 H ² ( X , Z ) は、次元が 10 で符号が -8 の唯一の偶ユニモジュラー格子II _1,9と位数が 2 の群 の和に同型です。

ホッジダイヤモンド:

マークされたエンリケス面は、明示的に記述された連結された 10 次元ファミリを形成します。

特性 2 には、特異エンリケス面と超特異エンリケス面と呼ばれる追加のエンリケス面ファミリーがいくつかあります。詳細については、エンリケス面に関する記事を参照してください。

複素数上では、これらは 2 つの楕円曲線の積を自己同型群で割った商です。有限群はZ /2 Z、   Z /2 Z  +  Z /2 Z、Z /3 Z、   Z /3 Z  +  Z /3 Z、   Z /4 Z、   Z /4 Z  +  Z /2 Z、またはZ /6 Zで、このような曲面の族は 7 つあります。

ホッジダイヤモンド:

特性数が 2 または 3 の体上では、非エタール群スキームによって商を取ることによって与えられる追加の族がいくつかあります。詳細については、超楕円面に関する記事を参照してください。

楕円曲面は、楕円ファイバ化（曲線Bへの全射正則写像で、有限個以外のファイバはすべて種数 1 の滑らかな既約曲線である）を備えた曲面である。このようなファイバ化の一般的なファイバは、Bの関数体上の種数 1 の曲線である。逆に、曲線の関数体上の種数 1 の曲線が与えられた場合、その相対極小モデルは楕円曲面である。小平ららは、すべての楕円曲面のかなり完全な記述を与えている。特に、小平は、可能な特異ファイバの完全なリストを与えた。楕円曲面の理論は、離散付値環（例えば、p進整数の環）およびデデキント領域（例えば、数体の整数の環）上の楕円曲線の適切な正則モデルの理論に類似している。

有限特性 2 および 3 では、ほぼすべてのファイバーが単一のノードを持つ有理曲線である「退化した楕円曲線」である 準楕円面も得られます。

小平次元が1 であるすべての曲面は楕円面 (または特性が 2 または 3 である準楕円面) ですが、その逆は成り立ちません。楕円面の小平次元は、0、または 1 です。すべてのエンリケス面、すべての超楕円面、すべての小平面、一部のK3 面、一部のアーベル面、および一部の有理面は楕円面であり、これらの例では小平次元が 1 未満です。ベース曲線Bの種数が少なくとも 2 である楕円面は常に小平次元が 1 ですが、種数が 0 または 1 である一部の楕円面でも小平次元が 1 になることがあります。 ${\displaystyle -\infty }$

不変条件: ${\displaystyle c_{1}^{2}=0,c_{2}\geqslant 0.}$

例: E が楕円曲線で、B が種数が 2 以上の曲線である場合、 E × B は小平次元 1 の楕円面です。

これらはすべて代数的であり、ある意味ではほとんどの曲面がこのクラスに属します。ギーゼカーは、一般タイプの曲面には粗いモジュライスキームが存在することを示し、これはチャーン数cの任意の固定値に対して、²
₁そしてc ₂には、それらのチャーン数で一般型の曲面を分類する準射影スキームがあります。しかし、これらのスキームを明示的に記述することは非常に難しい問題であり、これが行われたチャーン数のペアは非常に少ないです（スキームが空の場合を除く）。

不変条件:一般型の極小複素曲面のチャーン数が満たさなければならない条件がいくつかあります。

• ${\displaystyle c_{1}^{2},c_{2}>0}$
• ${\displaystyle c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2}}$(ボゴモロフ・宮岡・ヤウの不等式)
• ${\displaystyle 5c_{1}^{2}-c_{2}+36\geqslant 0}$（ノイマン不等式）
• ${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}\equiv 0{\bmod {1}}2.}$

これらの条件を満たす整数のペアのほとんどは、一般的なタイプの複雑な表面のチャーン数です。

例:最も単純な例は、種数が少なくとも 2 の 2 つの曲線の積と、P ³における次数が少なくとも 5 の超曲面です。他にも多数の構成が知られています。ただし、大きなチャーン数に対して「典型的な」一般タイプの曲面を生成できる構成は知られていません。実際、一般タイプの「典型的な」曲面の合理的な概念があるかどうかさえわかっていません。ほとんどのヒルベルト モジュラー曲面、偽の射影平面、バロー曲面など、他にも多くの例が見つかっています。

• 代数曲面のリスト

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• ボーヴィル、アルノー(1996)、「複素代数面」、ロンドン数学会学生テキスト、第34巻（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、doi :10.1017/CBO9780511623936、ISBN 978-0-521-49510-3、MR  1406314; ( ISBN 978-0-521-49842-5ソフトカバー) – 分類のより初歩的な紹介を含む 
• ボンビエリ、エンリコ、マンフォード、デイヴィッド(1977)、「エンリケスの曲面の分類 II 章」、複素解析と代数幾何学、東京: 岩波書店、pp. 23–42、MR  0491719
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• le superficie algebriche は、Pieter Belmans と Johan Commelin による Enriques-Kodaira 分類のインタラクティブな視覚化です。