モジュリスキーム

代数幾何学において、モジュライ・スキームとは、フランスの数学者アレクサンダー・グロタンディークによって発展させられたスキームのカテゴリーに存在するモジュライ空間のことである。代数幾何学における重要なモジュライ問題の中には、スキーム理論のみで十分に解決できるものもあれば、「幾何学的対象」の概念（マイケル・アルティンの代数空間、代数スタックなど）の拡張を必要とするものもある。

歴史

グロタンディークとデイヴィッド・マンフォードの研究（幾何学的不変量理論を参照）は、1960年代初頭にこの分野を開拓しました。モジュライ問題に対するより代数的で抽象的なアプローチは、表現可能なファンクターの問題として設定し、次にスキームの表現可能なファンクターを選別する基準を適用することです。このプログラム的なアプローチが機能すると、結果として優れたモジュライスキームが得られます。より幾何学的なアイデアの影響下では、正しい幾何学的点を与えるスキームを見つけるだけで十分です。これは、モジュライ問題が集合（例えば楕円曲線の同型類）に自然に付随する代数的構造を表現することであるという古典的なアイデアにより近いものです。

その結果、粗いモジュライスキームが得られます。その洗練度の低さは、大まかに言えば、細かいモジュライスキームに内在するものを、オブジェクトのファミリーに対して保証しないという点にあります。マンフォードが著書『幾何学的不変理論』で指摘したように、細かいバージョンが必要な場合もあるでしょうが、そのような答えが得られる可能性のある質問を得るためには、技術的な問題（レベル構造やその他の「マーキング」）に対処する必要があります。

松坂照久は、粗いモジュライスキームの存在に関するモジュライ問題における必要条件を確立する、現在では松坂の大定理として知られる結果を証明した。 ^[¹^]

例

マンフォードは、 g > 1の場合、準射影的な種数gの滑らかな曲線の粗いモジュライスキームが存在することを証明した。^[²^]ヤーノシュ・コラーによる最近の調査によると、それは「数学と理論物理学の多くの分野の主要な問題に関連する、豊かで興味深い固有の幾何学を持っている」。^[³^]ブラウンガルトは、ベリイの定理が、一般に曲線のモジュライ空間の有限エタール被覆に対して双有理であるという定式化で、代数的数の体上のより高次元の多様体に一般化できるかどうかを提起した。^[⁴^]

安定ベクトル束の概念を用いると、任意の滑らかな複素多様体上のベクトル束の粗モジュライスキームが存在し、準射影的であることが示されています。この記述は半安定性の概念を使用しています。^{[ 5 ]}数理物理学における特殊インスタントン束の粗モジュライ空間は、特定の場合には円錐曲線の古典幾何学の対象と同一視することができます。 ^[⁶^]

参考文献

「モジュライ理論」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]

注記

↑ Kovács, SJ (2009). 「高次元多様体のモジュライに関する若者向けガイド」 .代数幾何学、シアトル 2005: 2005 年夏季研究会、2005 年 7 月 25 日～8 月 12 日、ワシントン大学. アメリカ数学会. pp. 711–743 . ISBN 978-0-8218-4703-9。PDFの13ページ
↑ Hauser, Herwig; Lipman, Joseph ; Oort, Frans ; Quirós, Adolfo (2012-12-06). "10.4 粗モジュライスキーム" . 『特異点の解消：オスカー・ザリスキへのオマージュとしての研究教科書』オーストリア、オーバーグルグルで開催されたワーキングウィーク（1997年9月7日～14日）での講義に基づく。Birkhäuser。p. 83。ISBN 97830348839932017年8月22日取得。
↑ Kollár, János (2017年7月20日). "1.1. モジュライ問題の簡単な歴史: 定理1.14".一般型の多様体の族(PDF) . p. 11.
↑ Goldring, W. (2012). "Belyiの定理によって示唆される統一的テーマ". Number Theory, Analysis and Geometry . Springer. pp. 181–214 203ページ参照。doi : 10.1007 /978-1-4614-1260-1_10 . ISBN 978-1-4614-1260-1。
↑ハリス、ジョー（1987）。「曲線とそのモジュライ」。代数幾何学：ボウドイン 1985。アメリカ数学会。pp. 99–143。p. 103を参照。ISBN 978-0-8218-1480-2。
↑ベーマー、W.トラウトマン、G. (2006)。「特別なインスタントンバンドルとポンスレカーブ」。グリューエルでは、ゲルト・マーティン。トラウトマン、ギュンター（編）。特異点、代数の表現、およびベクトルバンドル: ランブレヒト/ファルツで開催されたシンポジウムの議事録。ドイツ、1985 年 12 月 13 ～ 17 日。数学の講義ノート。 Vol. 1273. スプリンガー。 pp. 325–336。土井: 10.1007/BFb0078852。ISBN 978-3-540-47851-5。

[1] Kovács, SJ (2009). 「高次元多様体のモジュライに関する若者向けガイド」 .代数幾何学、シアトル 2005: 2005 年夏季研究会、2005 年 7 月 25 日～8 月 12 日、ワシントン大学. アメリカ数学会. pp. 711–743 . ISBN 978-0-8218-4703-9。PDFの13ページ

[2] Hauser, Herwig; Lipman, Joseph ; Oort, Frans ; Quirós, Adolfo (2012-12-06). "10.4 粗モジュライスキーム" . 『特異点の解消：オスカー・ザリスキへのオマージュとしての研究教科書』オーストリア、オーバーグルグルで開催されたワーキングウィーク（1997年9月7日～14日）での講義に基づく。Birkhäuser。p. 83。ISBN 97830348839932017年8月22日取得。

[3] Kollár, János (2017年7月20日). "1.1. モジュライ問題の簡単な歴史: 定理1.14".一般型の多様体の族(PDF) . p. 11.

[4] Goldring, W. (2012). "Belyiの定理によって示唆される統一的テーマ". Number Theory, Analysis and Geometry . Springer. pp. 181–214 203ページ参照。doi : 10.1007 /978-1-4614-1260-1_10 . ISBN 978-1-4614-1260-1。

[5] ハリス、ジョー（1987）。「曲線とそのモジュライ」。代数幾何学：ボウドイン 1985。アメリカ数学会。pp. 99–143。p. 103を参照。ISBN 978-0-8218-1480-2。

[6] ベーマー、W.トラウトマン、G. (2006)。「特別なインスタントンバンドルとポンスレカーブ」。グリューエルでは、ゲルト・マーティン。トラウトマン、ギュンター（編）。特異点、代数の表現、およびベクトルバンドル: ランブレヒト/ファルツで開催されたシンポジウムの議事録。ドイツ、1985 年 12 月 13 ～ 17 日。数学の講義ノート。 Vol. 1273. スプリンガー。 pp. 325–336。土井: 10.1007/BFb0078852。ISBN 978-3-540-47851-5。

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