偽の射影平面

数学において、擬似射影平面（マンフォード面）は、射影平面と同じベッティ数を持ちながら同型ではない50 個の複素代数面のうちの 1 つです。このようなオブジェクトは常に一般型 の代数面です。

セヴェリは、射影平面と同相だが双正則ではない複素曲面があるかどうかを尋ねた。ヤウ (1977) はそのような曲面は存在しないことを示した。したがって、射影平面に最も近い近似は、射影平面と同じベッティ数 ( b ₀、b ₁、b ₂、b ₃、b ₄ ) = (1,0,1,0,1) を持つ曲面になる。最初の例は、栗原とムスタフィンが独立に導入した p 進均一化を使用して、マムフォード (1979) によって見つかった。マムフォードはまた、ヤウの結果と PU(1,2) の離散ココンパクト部分群の剛性に関するワイルの定理を合わせると、偽の射影平面は有限個しか存在しないことを指摘した。 Ishida & Kato (1998) は同様の方法を使用してさらに 2 つの例を見つけ、Keum (2006) は、ドルガチェフ面の次数 7 の巡回被覆に対して双有理的な次数 7 の自己同型を持つ例を見つけました。 Prasad & Yeung (2007)、Prasad & Yeung (2010) は、すべての偽の射影平面を分類する体系的な方法を見つけました。これは、28 のクラスがあり、各クラスには等長変換までの偽の射影平面の例が少なくとも 1 つ含まれ、さらに最大で 5 つのクラスが存在する可能性があることを示しました。これらのクラスは後に存在しないことが示されました。すべての偽の射影平面をリストする問題は、各クラスに関連付けられた明示的に指定された格子の適切なインデックスのすべてのサブグループをリストすることに帰着します。これらの計算を拡張することで、Cartwright & Steger (2010) は、28 のクラスで偽射影平面のすべての可能性が使い尽くされ、等長写像まで決定された例は全部で 50 個、双正則写像まで決定された偽射影平面は 100 個あることを示しました。

一般型ではない極小曲面と同じベッティ数を持つ一般型の曲面は、射影平面P ²または二次曲面P ¹ × P ¹のベッティ数を持つ必要があります。Shavel (1978) は、いくつかの「偽の二次曲面」を構築しました。これは、一般型で二次曲面と同じベッティ数を持つ曲面です。Beauville曲面には、さらに例が示されています。

偽射影面の高次元類似物は偽射影空間と呼ばれます。

負のリッチ曲率の場合のカラビ予想の解決に関するオービンとヤウの研究の結果として (Yau (1977, 1978) を参照)、任意の偽の射影平面は、2 次元の複素単位球を離散部分群で割った商であり、これが偽の射影平面の基本群である。したがって、この基本群は、オイラー-ポアンカレ標数3の PU(2,1) の捩れがなくココンパクトな離散部分群でなければならない。Klingler (2003) と Yeung (2004) は、この基本群が算術群でもあることを示した。Mostowの強剛性の結果は、同じ基本群を持つコンパクト曲面はすべてその基本群に等長でなければならないという強い意味で、基本群が偽の平面を決定することを意味している。

2 つの偽射影平面は、それらの基本群が両方とも単位球の自己同型の同じ最大算術部分群に含まれる場合、同じクラスであると定義されます。 Prasad & Yeung (2007)、Prasad & Yeung (2010) は、(Prasad 1989) の算術群の体積公式を使用して、偽射影平面の 28 の空でないクラスをリストし、存在しないことが予想される余分なクラスが最大で 5 つあることを示しています。(分類が洗練され、元の論文のいくつかのエラーが修正された論文の補遺を参照してください。) Cartwright & Steger (2010) は、5 つの余分なクラスが実際には存在しないことを確認し、28 のクラス内のすべての可能性をリストしました。等長写像まで分類される偽射影平面は正確に 50 個あり、したがって双正則写像まで分類される偽射影平面は 100 個あります。

偽射影平面の基本群は、PU(2,1) の算術部分群である。k を関連する数体 (全実体) として、G をPU(2,1) の関連するk形式として書きます。 l がkの二次拡大でG が内部形式である場合、 l は全虚体です。中心がlで次数がl 3 または 1 の除算代数Dがあり、これはk上のlの非自明な自己同型に制限される第 2 種の反転と、次元 1 または 3 のD上の加群上の非自明なエルミート形式を持ち、 G はこのエルミート形式の特殊ユニタリ群です。 （Prasad & Yeung（2007）とCartwrightとStegerの研究の結果として、D はl上で次数3を持ち、モジュールはD上で次元1を持ちます。）kの実数部が1つあり、そこではGの点はPU(2,1)のコピーを形成し、kの他のすべての実数部上ではコンパクト群PU(3)を形成します。

Prasad & Yeung (2007) の結果から、偽射影平面の自己同型群は、位数 1、3、または 7 の巡回群、位数 9 の非巡回群、または位数 21 の非可換群のいずれかです。これらの群による偽射影平面の商は、Keum (2008) と Cartwright & Steger (2010) によって研究されました。

• k は完全な実体です。
• l はkの完全虚数の二次拡大であり、 ζ ₃は 1 の 3 乗根です。
• T は、特定の局所部分群が超特殊ではないkの素数の集合です。
• インデックスは、特定の算術群における基本群のインデックスです。

• カートライト、ドナルド I.; ステガー、ティム (2010)、「50 個の偽の射影平面の列挙」(PDF)、Comptes Rendus Mathématique、348 (1): 11–13、doi :10.1016/j.crma.2009.11.016
• 石田 正典; 加藤 文治 (1998)、「非アルキメデス的均一化に対する強剛性定理」、東北数学雑誌、第 2 シリーズ、50 (4): 537–555、doi : 10.2748/tmj/1178224897、MR  1653430
• Keum, JongHae (2006)、「次数 7 の自己同型性を持つ偽射影平面」、Topology、45 (5): 919–927、arXiv : math/0505339、doi :10.1016/j.top.2006.06.006、MR  2239523、S2CID  15052978
• クム、ジョンヘ (2008)、「偽射影平面の商」、幾何学とトポロジー、12 (4): 2497–2515、arXiv : 0802.3435、doi :10.2140/gt.2008.12.2497、MR  2443971、S2CID  14476192
• Klingler, Bruno (2003)、「フォンダメンタックスに関する特定のグループの厳密な計算、双曲線計算の算術演算、および偽の計画プロジェクト」、発明数学、153 (1): 105–143、Bibcode :2003InMat.153.. 105K、土井:10.1007/s00222-002-0283-2、MR  1990668、S2CID  120268251
• Kulikov, Vik. S.; Kharlamov, VM (2002)、「剛体面上の実構造について」、Izvestiya: Mathematics、66 (1): 133–150、arXiv : math/0101098、Bibcode :2002IzMat..66..133K、doi :10.1070/IM2002v066n01ABEH000374、MR  1917540
• マンフォード、デイビッド(1979)、「K 個の代数面、(K2)=9、pg=q=0」(PDF)、アメリカ数学誌、101 (1): 233–244、doi :10.2307/2373947、JSTOR  2373947、MR  0527834
• Prasad, Gopal (1989)、「半単純群の S 算術商のボリューム」、Publications Mathématiques de l'IHÉS、69 (69): 91–117、doi :10.1007/BF02698841、MR  1019962、S2CID  53556391
• Prasad, Gopal; Yeung, Sai-Kee (2007)、「偽の射影平面」、Inventiones Mathematicae、168 (2): 321–370、arXiv : math/0512115、Bibcode :2007InMat.168..321P、doi :10.1007/s00222-007-0034-5、MR  2289867、S2CID  1990160
• プラサド、ゴパル、イェン、サイキー（2010）「「偽の射影平面」への補遺」"、発明数学、182 (1): 213–227、arXiv : 0906.4932、Bibcode :2010InMat.182..213P、doi :10.1007/s00222-010-0259-6、MR  2672284、S2CID  17216453
• Rémy, R. (2007)、Covolume des groupes S-arithmétiques et faux plan projectifs、(d'après Mumford、Prasad、Klingler、Yeung、Prasad-Yeung) (PDF)、Séminaire Bourbaki、vol. 984、オリジナル(PDF)から2011 年 6 月 9 日にアーカイブ、2009 年 5 月 8 日に取得
• シェイベル、アイラ H. (1978)、「四元数代数から構成される一般型の代数面のクラス」、パシフィック ジャーナル オブ マスマティクス、76 (1): 221–245、doi : 10.2140/pjm.1978.76.221、MR  0572981
• ヤウ、シン・トン (1977)、「カラビの予想と代数幾何学におけるいくつかの新しい結果」、米国科学アカデミー紀要、74 (5): 1798–1799、Bibcode :1977PNAS...74.1798Y、doi : 10.1073/pnas.74.5.1798、JSTOR  67110、MR  0451180、PMC  431004、PMID  16592394
• ヤウ・シン・トン (1978)、「コンパクト・ケーラー多様体のリッチ曲率と複素モンジュ・アンペール方程式について。I」、純粋・応用数学通信、31 (3): 339–411、doi :10.1002/cpa.3160310304、MR  0480350
• Yeung, Sai-Kee (2004)、「ピカール数 1 の特定の複素 2 球商に対応するココンパクト格子の積分性と算術性」、アジア数学ジャーナル、8 (1): 107–129、doi : 10.4310/ajm.2004.v8.n1.a9、MR  2128300
• Yeung, Sai-Kee (2010)、「偽射影平面の分類」、幾何解析ハンドブック、第 2 号、Adv. Lect. Math. (ALM)、第 13 巻、Int. Press、マサチューセッツ州サマービル、pp. 391–431、MR  2761486

• プラサド、ゴパル、偽射影空間