ヴェロネーゼ表面

数学において、ヴェロネーゼ面は5 次元の射影空間における代数面であり、ヴェロネーゼ埋め込み、すなわち円錐曲線の完全線型系によって与えられる射影平面の埋め込みによって実現される。これはジュゼッペ・ヴェロネーゼ(1854–1917)にちなんで名付けられている。これを高次元に一般化したもの、ヴェロネーゼ多様体として知られている。

この曲面は、5次元空間の一般点からの射影によって定義される4次元射影空間への埋め込みを許容する。3次元射影空間への一般的な射影はシュタイナー曲面と呼ばれる。

ヴェロネーゼ面はマッピングのイメージである

${\displaystyle \nu :\mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{5}}$

与えられた

${\displaystyle \nu :[x:y:z]\mapsto [x^{2}:y^{2}:z^{2}:yz:xz:xy]}$

ここで、 は同次座標を表します。この写像はヴェロネーゼ埋め込みとして知られています。${\displaystyle [x:\cdots ]}$${\displaystyle \nu}$

ヴェロネーゼ面は円錐曲線の研究で自然に現れます。円錐曲線は次数 2 の平面曲線であり、次の式で定義されます。

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0.}$

係数と変数のペアリングは、係数では線形、変数では二次です。ヴェロネーゼ写像は、係数では線形、単項式では線形になります。したがって、固定点の場合、円錐曲線がその点を含むという条件は係数の線形方程式であり、「点を通過すると円錐曲線に線形条件が課される」というステートメントを形式化します。 ${\displaystyle (A,B,C,D,E,F)}$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle [x:y:z],}$

ヴェロネーゼ写像またはヴェロネーゼ多様体は、この考え方をn +1個の変数の一般的な次数dの写像に一般化したものである。つまり、次数dのヴェロネーゼ写像は、写像である。

${\displaystyle \nu _{d}\colon \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{m}}$

mは多重集合係数、またはより一般的には二項係数によって与えられ、次のように表されます。

${\displaystyle m=\left(\!\!{n+1 \choose d}\!\!\right)-1={n+d \choose d}-1.}$

この写像は、総次数dの可能なすべての単項式（ 個あります）に送ります。選択できる変数があるため となります。射影空間には座標があるため となります。2番目の等式は、ソース次元nを固定した場合、ターゲット次元は次数nのdの多項式で、先頭係数は${\displaystyle [x_{0}:\ldots :x_{n}]}$ ${\displaystyle m+1}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{m}}$${\displaystyle m+1}$${\displaystyle 1/n!.}$

低次では、は への自明な定数写像であり、は 上の恒等写像なので、dは一般に 2 以上とされます。 ${\displaystyle d=0}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{0},}$${\displaystyle d=1}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{n},}$

ヴェロネーゼ地図は座標に依存しない形で次のように定義できる。

${\displaystyle \nu _{d}:\mathbb {P} (V)\ni [v]\mapsto [v^{d}]\in \mathbb {P} ({\rm {{Sym}^{d }V)}}}$

ここで、V は有限次元のベクトル空間であり、はd次対称冪です。これはV上のスカラー乗算に関してd次同次であるため、基になる射影空間への写像に渡されます。 ${\displaystyle {\rm {{Sym}^{d}V}}}$

ベクトル空間V が特性 0 を持たない体 K上で定義されている場合、定義はV上の多項式の双対空間への写像として理解されるように変更される必要があります。これは、有限特性p を持つ体の場合、Vの元のp乗は有理正規曲線ではなく、もちろん直線であるためです。(有限特性の体上の多項式の扱いについては、たとえば加法多項式を参照してください)。

ヴェロネーゼ多様体は有理正規曲線として知られており、その低次数の例はよく知られています。 ${\displaystyle n=1,}$

• ヴェロネーゼ写像は単に射影直線上の恒等写像である。${\displaystyle n=1,d=1}$
• ヴェロネーゼ多様体はアフィン座標における標準的な放物線である。${\displaystyle n=1,d=2,}$ ${\displaystyle [x^{2}:xy:y^{2}],}$${\displaystyle (x,x^{2}).}$
• ヴェロネーゼ多様体は、アフィン座標におけるねじれた3次多様体である。${\displaystyle n=1,d=3,}$${\displaystyle [x^{3}:x^{2}y:xy^{2}:y^{3}],}$${\displaystyle (x,x^{2},x^{3}).}$

ヴェロネーゼ写像による多様体の像もまた多様体であり、単なる構成可能な集合ではありません。さらに、これらは逆写像が存在し、正則であるという意味で同型です。ヴェロネーゼ写像は双正則です。より正確には、ザリスキ位相における開集合の像もまた開いています。

• ヴェロネーゼ曲面は次元2の唯一のセヴェリ多様体である。

• ジョー・ハリス『代数幾何学入門』（1992年）Springer-Verlag、ニューヨーク。ISBN 0-387-97716-3