格子（順序）

格子とは、順序理論や抽象代数学といった数学の分野で研究される抽象的な構造です。格子は、要素のペアごとに一意の上限（最小上界または結合とも呼ばれる）と一意の下限（最大下界または交わりとも呼ばれる）を持つ、部分的に順序付けられた集合から構成されます。例としては、包含関係によって部分的に順序付けられた集合の冪集合が挙げられます。この場合、上限は和集合、下限は共通部分です。また、自然数も例として挙げられます。自然数は整除性によって部分的に順序付けられており、上限は最小公倍数、下限は最大公約数です。

Lattices can also be characterized as algebraic structures satisfying certain axiomaticidentities. Since the two definitions are equivalent, lattice theory draws on both order theory and universal algebra. The class of lattices can be generalized to semilattices, and some notable subclasses of lattices are Heyting algebras, Boolean algebras, distributive lattices, and geometric lattices (matroids). These lattice-like structures all admit order-theoretic as well as algebraic descriptions.

The sub-field that studies lattices is called lattice theory.

A lattice can be defined either order-theoretically as a partially ordered set, or as an algebraic structure.

A bounded lattice is a lattice that additionally has a greatest element (also called maximum, or top element, and denoted by ${\displaystyle 1}$ or ${\displaystyle \top }$) and a least element (also called minimum, or bottom, denoted by ${\displaystyle 0}$ or ${\displaystyle \bot }$), which satisfy $${\displaystyle 0\leq x\leq 1\;{\text{ for every }}x\in L.}$$

A bounded lattice may also be defined as an algebraic structure of the form ${\displaystyle (L,\vee ,\wedge ,0,1)}$ such that ${\displaystyle (L,\vee ,\wedge )}$ is a lattice, ${\displaystyle 0}$ (the lattice's bottom) is the identity element for the join operation ${\displaystyle \vee ,}$ and ${\displaystyle 1}$ (the lattice's top) is the identity element for the meet operation ${\displaystyle \wedge .}$$${\displaystyle a\vee 0=a}$$$${\displaystyle a\wedge 1=a}$$

It can be shown that a partially ordered set is a bounded lattice if and only if every finite set of elements (including the empty set) has a join and a meet.

Every lattice can be embedded into a bounded lattice by adding a greatest and a least element. Furthermore, every non-empty finite lattice is bounded, by taking the join (respectively, meet) of all elements, denoted by ${\textstyle 1=\bigvee L=a_{1}\lor \cdots \lor a_{n}}$ (respectively ${\textstyle 0=\bigwedge L=a_{1}\land \cdots \land a_{n}}$) where ${\displaystyle L=\left\{a_{1},\ldots ,a_{n}\right\}}$ is the set of all elements.

格子は、群のような代数構造の族といくつかの関連性を持っています。出会いと結合はどちらも可換かつ結合的であるため、格子は同じ定義域を持つ2つの可換半群から構成されていると考えることができます。有界格子の場合、これらの半群は実際には可換モノイドです。吸収法則は、格子理論に特有の唯一の定義恒等式です。有界格子は、分配法則のない可換リグと考えることもできます。

可換性、結合性、冪等性により、結合と出会いは要素のペアではなく、空でない有限集合に対する演算と考えることができる。有界束においては、空集合の結合と出会いも定義できる（${\displaystyle 0}$そして${\displaystyle 1,}$それぞれ）。このため、有界格子は一般的な格子よりもやや自然であり、多くの著者はすべての格子が有界であることを要求しています。

格子の代数的解釈は、普遍代数学において重要な役割を果たす。

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  図 1：サブセット${\displaystyle \{x,y,z\},}$集合包含関係において。「格子」という名称は、それを表すハッセ図の形状に由来する。
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  図 2：60の約数の格子。「割り切れる」順に並べられています。
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  図 3：分割の格子${\displaystyle \{1,2,3,4\},}$「refines」で並べ替えます。
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  図 4：正の整数の格子、順序付け${\displaystyle \,\leq ,}$
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  図 5：非負整数ペアの格子（成分ごとに順序付け）。

• 任意の集合に対して${\displaystyle A,}$すべての部分集合のコレクション${\displaystyle A}$（​​${\displaystyle A}$）は部分集合包含によって順序付けされ、によって境界付けられた格子が得られる。${\displaystyle A}$自身と空集合。この格子では、上限は集合の和集合によって、下限は集合の共通部分によって与えられます（図 1参照）。
• 任意の集合に対して${\displaystyle A,}$すべての有限部分集合の集合${\displaystyle A,}$包含関係によって順序付けられ、格子でもあり、有界となるのは、${\displaystyle A}$有限である。
• 任意の集合に対して${\displaystyle A,}$すべてのパーティションのコレクション${\displaystyle A,}$細分化によって順序付けられたものは格子である（図 3参照）。
• 通常の順序で並べられた正の整数は、「最小値」と「最大値」の操作によって無限格子を形成します。1が底辺であり、頂点はありません（図 4参照）。
• 自然数のデカルト平方を、次のように順序付けしたもの。${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$もし${\displaystyle a\leq c{\text{ and }}b\leq d.}$その二人${\displaystyle (0,0)}$は一番下の要素であり、一番上の要素はありません（図 5を参照）。
• The natural numbers also form a lattice under the operations of taking the greatest common divisor and least common multiple, with divisibility as the order relation: ${\displaystyle a\leq b}$ if ${\displaystyle a}$ divides ${\displaystyle b.}$${\displaystyle 1}$ is bottom; ${\displaystyle 0}$ is top. Pic. 2 shows a finite sublattice.
• Every complete lattice (also see below) is a (rather specific) bounded lattice. This class gives rise to a broad range of practical examples.
• The set of compact elements of an arithmetic complete lattice is a lattice with a least element, where the lattice operations are given by restricting the respective operations of the arithmetic lattice. This is the specific property that distinguishes arithmetic lattices from algebraic lattices, for which the compacts only form a join-semilattice. Both of these classes of complete lattices are studied in domain theory.

Further examples of lattices are given for each of the additional properties discussed below.

Most partially ordered sets are not lattices, including the following.

• A discrete poset, meaning a poset such that ${\displaystyle x\leq y}$ implies ${\displaystyle x=y,}$ is a lattice if and only if it has at most one element. In particular the two-element discrete poset is not a lattice.
• Although the set ${\displaystyle \{1,2,3,6\}}$ partially ordered by divisibility is a lattice, the set ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ so ordered is not a lattice because the pair 2, 3 lacks a join; similarly, 2, 3 lacks a meet in ${\displaystyle \{2,3,6\}.}$
• The set ${\displaystyle \{1,2,3,12,18,36\}}$ partially ordered by divisibility is not a lattice. Every pair of elements has an upper bound and a lower bound, but the pair 2, 3 has three upper bounds, namely 12, 18, and 36, none of which is the least of those three under divisibility (12 and 18 do not divide each other). Likewise the pair 12, 18 has three lower bounds, namely 1, 2, and 3, none of which is the greatest of those three under divisibility (2 and 3 do not divide each other).

The appropriate notion of a morphism between two lattices flows easily from the above algebraic definition. Given two lattices ${\displaystyle \left(L,\vee _{L},\wedge _{L}\right)}$ and ${\displaystyle \left(M,\vee _{M},\wedge _{M}\right),}$ a lattice homomorphism from L to M is a function ${\displaystyle f:L\to M}$すべての${\displaystyle a,b\in L:}$$${\displaystyle f\left(a\vee _{L}b\right)=f(a)\vee _{M}f(b),{\text{ and }}}$$$${\displaystyle f\left(a\wedge _{L}b\right)=f(a)\wedge _{M}f(b).}$$

したがって${\displaystyle f}$は、2 つの基礎となる半束の準同型写像です。より多くの構造を持つ束を考慮する場合、準同型写像は追加の構造も「尊重」する必要があります。特に、有界束準同型写像（通常は単に「束準同型写像」と呼ばれます）${\displaystyle f}$2つの境界のある格子間${\displaystyle L}$そして${\displaystyle M}$以下の特性も備えている必要があります。 $${\displaystyle f\left(0_{L}\right)=0_{M},{\text{ and }}}$$$${\displaystyle f\left(1_{L}\right)=1_{M}.}$$

順序論的な定式化では、これらの条件は、格子準同型写像が二項交点と二項結合を保存する関数であることを述べているにすぎない。有界格子の場合、最小元と最大元の保存は、空集合の結合と交点の保存に他ならない。

格子の準同型写像は、関連する順序関係に関して必ず単調で ある（極限保存関数を参照）。逆は真ではない。単調性は、必ずしも必要な交わりと結合の保存を意味するものではない（図9を参照）。ただし、順序を保存する全単射は、その逆写像も順序を保存する場合に準同型写像となる。

同型写像を可逆射と定義する標準的な定義によれば、格子同型写像は全単射の格子準同型写像に他なりません。同様に、格子自己同型写像​​は格子から格子自身への格子準同型写像であり、格子自己同型写像​​は全単射の格子自己同型写像​​です。格子とその準同型写像は圏を形成します。

させて${\displaystyle \mathbb {L} }$そして${\displaystyle \mathbb {L} '}$0と1を持つ2つの格子とする。${\displaystyle \mathbb {L} }$に${\displaystyle \mathbb {L} '}$0、1分離とは、${\displaystyle f^{-1}\{f(0)\}=\{0\}}$（${\displaystyle f}$0 )と${\displaystyle f^{-1}\{f(1)\}=\{1\}}$（${\displaystyle f}$1)を分離する。

格子の副格子${\displaystyle L}$は、${\displaystyle L}$それは、同じミートおよび結合操作を持つ格子です。${\displaystyle L.}$ つまり、もし${\displaystyle L}$格子であり、${\displaystyle M}$は、${\displaystyle L}$要素の任意のペアに対して${\displaystyle a,b\in M}$両方${\displaystyle a\wedge b}$そして${\displaystyle a\vee b}$は${\displaystyle M,}$それから${\displaystyle M}$は、${\displaystyle L.}$^{[ 3 ]}

副格子${\displaystyle M}$格子の${\displaystyle L}$は凸部分格子である${\displaystyle L,}$もし${\displaystyle x\leq z\leq y}$そして${\displaystyle x,y\in M}$意味するところは${\displaystyle z}$に属する${\displaystyle M,}$すべての要素について${\displaystyle x,y,z\in L.}$

ここでは、興味深い特殊な格子クラスにつながるいくつかの重要な性質を紹介します。そのうちの一つである有界性については、既に説明しました。

${\displaystyle r(x)+r(y)\geq r(x\wedge y)+r(x\vee y).}$

どのセットでも${\displaystyle X}$自由半格子を生成するために使用できる${\displaystyle FX.}$自由半束は、すべての有限部分集合から構成されると定義される。${\displaystyle X,}$半束演算は通常の集合の和集合で与えられる。自由半束は普遍性を持つ。集合上の自由束の場合${\displaystyle X,}$ホイットマンは多項式に基づく構成を与えた${\displaystyle X}$' s メンバー。 ^{[ 13 ] [ 14 ]}

任意の（通常は複数の要素からなる）集合${\displaystyle X}$また、フラット格子、つまり集合の要素が比較不可能な最小の格子、または同等にランク3の格子を定義するためにも使用できます。${\displaystyle X}$はまさに中間ランクの要素の集合である。^{[ 15 ]}

ここで、格子理論にとって重要な順序論的概念をいくつか定義する。以下では、${\displaystyle x}$何らかの格子の要素である${\displaystyle L.}$${\displaystyle x}$名称:

• 既約に結合します${\displaystyle x=a\vee b}$暗示する${\displaystyle x=a{\text{ or }}x=b.}$すべての人々のために${\displaystyle a,b\in L.}$もし${\displaystyle L}$底部要素を持つ${\displaystyle 0,}$一部の著者は${\displaystyle x\neq 0}$[ ^{16 ]}最初の条件を任意の結合に一般化する^と${\displaystyle \bigvee _{i\in I}a_{i},}$${\displaystyle x}$完全に結合された既約（または${\displaystyle \vee }$-還元不可能)。双対概念は還元不可能性です(${\displaystyle \wedge }$-既約）。たとえば、図 2 では、要素 2、3、4、および 5 は結合既約ですが、12、15、20、および 30 は会合既約です。定義によっては、一番下の要素 1 と一番上の要素 60 は、それぞれ結合既約および会合既約とみなされる場合とみなされない場合があります。通常の順序の実数の格子では、各要素は結合既約ですが、完全に結合既約な要素はありません。
• プライムに参加するなら${\displaystyle x\leq a\vee b}$暗示する${\displaystyle x\leq a{\text{ or }}x\leq b.}$また、一部の著者は${\displaystyle x\neq 0}$ただし、これは珍しい。^{[ 17 ]}これも一般化して、完全結合素数の概念を得ることができる。双対概念は、出会い素数である。すべての結合素数は結合既約でもあり、すべての出会い素数は出会い既約である。逆は、次の場合に成り立つ。${\displaystyle L}$分配法則が成り立つ。

させて${\displaystyle L}$最下要素0を持つ。${\displaystyle x}$の${\displaystyle L}$原子である場合${\displaystyle 0<x}$要素は存在しない${\displaystyle y\in L}$そのため${\displaystyle 0<y<x.}$それから${\displaystyle L}$名称:

• すべての非ゼロ要素に対して原子的である${\displaystyle x}$の${\displaystyle L,}$原子が存在する${\displaystyle a}$の${\displaystyle L}$そのため${\displaystyle a\leq x;}$^{[ 18 ]}
• 原子論的であれば、すべての要素が${\displaystyle L}$原子の上限である。^{[ 19 ]}

しかし、多くの情報源や数学コミュニティでは、「原子」という用語を、上記で定義した「原子論的」という意味で使用している。

イデアルの概念と、その双対概念であるフィルターは、半順序集合の特定の種類の部分集合を指し、したがって束論において重要である。詳細はそれぞれの項目を参照されたい。

• 参加して会おう– 秩序理論の概念 
• 格子図– 数学における概念 
• 直交補元格子– すべての要素が補元を持つ束縛格子 リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 全順序– 要素がすべて比較可能な順序 
• 理想集合– 空でない、上限が定められ、下方閉集合である部分集合およびフィルタ（双対概念） 
• 歪格子（非可換結合と交わりへの一般化）
• オイラー格子
• ポストの格子– 普遍代数における格子 
• タマリ格子– 代数構造 
• ヤング・フィボナッチ格子– 数字1と2のシーケンスに基づく構造 
• 0,1単純格子