ボルツマン方程式

ボルツマン方程式またはボルツマン輸送方程式（BTE ）は、平衡状態にない熱力学系の統計的挙動を記述する方程式で、 1872年にルートヴィヒ・ボルツマンによって考案されました。^[2] このような系の典型的な例は、空間内の温度勾配を持つ流体で、流体を構成する粒子のランダムだが偏った輸送によって、熱がより高温の領域から低温の領域へと流れます。現代の文献では、ボルツマン方程式という用語は、より一般的な意味でよく使用され、エネルギー、電荷、粒子数など、熱力学系における巨視的量の変化を記述する運動方程式を指します。

この方程式は、流体中の各粒子の個々の位置と運動量を分析することによって生じるのではなく、典型的な粒子の位置と運動量の確率分布、つまり、ある瞬間に、位置 を中心とする与えられた非常に小さな空間領域 (数学的には体積要素 )を粒子が占め、与えられた運動量ベクトルにほぼ等しい運動量を持つ(したがって、運動量空間の非常に小さな領域を占める) 確率を考慮することによって生じます。 ${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle d^{3}\mathbf {p} }$

ボルツマン方程式は、流体が輸送されているときに熱エネルギーや運動量などの物理量がどのように変化するかを決定するために使用できます。また、粘性、熱伝導率、電気伝導率（材料内の電荷キャリアをガスとして扱うことによって）など、流体に特有の他の特性を導くこともできます。^[2]対流拡散方程式も参照してください。

この方程式は非線形 積分微分方程式であり、方程式中の未知関数は粒子の位置と運動量の6次元空間における確率密度関数である。解の存在と一意性の問題はまだ完全には解決されていないが、最近のいくつかの結果は非常に有望である。^{[3] [4]}

すべての可能な位置rと運動量pの集合は、システムの位相空間と呼ばれます。言い換えると、各位置座標x、y、zの 3 つの座標と、各運動量成分p _x、p _y、p _zの 3 つの座標の集合です。空間全体は 6次元です。この空間の点は( r、p ) = ( x、 y、 z、 p _x、 p _y、 p _z )であり、各座標は時間tによってパラメータ化されます。小さな体積 (「微分体積要素」) は次のように表されます。 $${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} =dx\,dy\,dz\,dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}.}$$

rとp がすべて内に収まるN個の分子の確率が問題となるため、方程式の核となるのは、時刻 t における位相空間の単位体積あたりのこの確率、または、瞬間的な時刻 t における単位長さの 3 乗、単位運動量の 3 乗あたりの確率を与える量f です。これは確率密度関数です。 f ( r , p , t ) は、 tの時刻において、位置がrの周りの体積要素内にあり、運動量がpの周りの運動量空間要素内に収まる分子の数 であると 定義されます。^{[5]位置空間と運動量空間の領域を}積分すると、その領域に位置と運動量を持つ粒子の総数が得られます。 ${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }$$${\displaystyle dN=f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }$$${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} }$${\displaystyle d^{3}\mathbf {p} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}N&=\int \limits _{\mathrm {momenta} }d^{3}\mathbf {p} \int \limits _{\mathrm {positions} }d^{3} \mathbf {r} \,f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\\[5pt]&=\iiint \limits _{\mathrm {モーメント} }\quad \iiint \limits _{\mathrm {位置} }f(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z},t)\,dx \,dy\,dz\,dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}\end{aligned}}}$$

これは6 倍積分です。f は多数の粒子に関連付けられていますが、位相空間は 1 つの粒子 (すべての粒子ではなく、これは通常、決定論的な 多体系の場合に当てはまります) に対するものです。これは、 rとp が1 つだけ問題となるためです。粒子 1 にr ₁、p ₁、粒子 2 にr ₂、p ₂などを使用し、粒子 N にr N _、 p Nまで使用することは、解析の一部ではあり_ません。

システム内の粒子は同一であると仮定します（つまり、それぞれの質量 mは同じです）。 複数の化学種の混合物の場合は、それぞれに対して 1 つの分布が必要です。以下を参照してください。

一般的な方程式は次のように書ける^[6] $${\displaystyle {\frac {df}{dt}}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{force}}+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{diff}}+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{coll}},}$$

ここで、「力」の項は外部の影響（粒子自体によるものではない）によって粒子に及ぼされる力に対応し、「差分」の項は粒子の拡散を表し、「衝突」の項は衝突において粒子間に作用する力を表す衝突項である。右辺の各項の式を以下に示す。^[6]

一部の著者は運動量p の代わりに粒子の速度v を使用していることに注意してください。運動量の定義では、これらはp = m vで関連しています。

fで記述される粒子を考えます。各粒子は、他の粒子によるものではない外力 F を受けます（後者の扱いについては衝突項を参照してください）。

時刻tにおいて、いくつかの粒子がすべて要素 r 内で位置rを持ち、運動量p が内にあるとします。力F が各粒子に瞬間的に作用すると、時刻t + Δ tにおいてそれらの位置は r になり、運動量はp + Δ p = p + F Δ t になります。衝突がない場合、f は次式を満たさなければなりません 。${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} }$${\displaystyle d^{3}\mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {r} +\Delta \mathbf {r} =\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {p} }{m}}\,\Delta t}$

$${\displaystyle f\left(\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {p} }{m}}\,\Delta t,\mathbf {p} +\mathbf {F} \,\Delta t, t+\Delta t\right)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} =f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }$$

位相空間の体積要素は一定であるという事実を用いていることに注意してほしい。これはハミルトン方程式を使って示すことができる（リウヴィルの定理の議論を参照）。しかし、衝突は起こるので、位相空間の体積内の粒子密度は変化するので、 ${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }$${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }$

ここでΔ f はfの全変化である。( 1 )をΔ t → 0とΔ f → 0の極限で割ると、 ${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} \,\Delta t}$

fの全微分は次のようになります。

ここで、∇は勾配演算子、·はドット積、 は∇ の運動量類似体の省略形、ê _x、ê _y、ê _zは直交単位ベクトルです。 $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\mathbf {\hat {e}} _{x}{\frac {\partial f}{\partial p_{x}}}+\mathbf {\hat {e}} _{y}{\frac {\partial f}{\partial p_{y}}}+\mathbf {\hat {e}} _{z}{\frac {\partial f}{\partial p_{z}}}=\nabla _{\mathbf {p} }f}$$

（ ３ ）をdtで割り、（２）に代入すると次のようになる。

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla f+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }}$$

この文脈では、F ( r , t ) は流体中の粒子に作用する力場であり、 m は粒子の質量です。右辺の項は、粒子間の衝突の影響を説明するために追加されます。この項がゼロの場合、粒子は衝突しません。個々の衝突が長距離の集合的な相互作用、たとえばクーロン相互作用に置き換えられた衝突のないボルツマン方程式は、しばしばヴラソフ方程式と呼ばれます。

この方程式は、上記の主要な方程式よりも便利ですが、fの衝突項がわからないとf を解くことができないため、まだ不完全です。この項は、他の項ほど簡単に、または一般的には見つけることができません。これは粒子の衝突を表す統計項であり、マクスウェル・ボルツマン分布、フェルミ・ディラック分布、ボーズ・アインシュタイン分布など、粒子が従う統計の知識が必要です。

ボルツマンが適用した重要な洞察は、衝突前には相関がないと仮定された粒子間の2体衝突からのみ生じる衝突項を決定することであった。この仮定は、ボルツマンによって「Stosszahlansatz 」と呼ばれ、「分子カオス仮定」としても知られている。この仮定の下では、衝突項は、1粒子分布関数の積に対する運動量空間積分として記述することができる。^[2] ここで、p _Aおよびp _{B は}、衝突前の任意の2つの粒子（便宜上AおよびBと表記）の運動量、 p′ _Aおよびp′ _Bは衝突後の運動量、 は相対運動量の大きさ（この概念の詳細については相対速度を参照）、I ( g , Ω)は衝突の微分断面積であり、衝突により、 衝突粒子の相対運動量が角度θで立体角d Ωの要素に変わる。$${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{coll}}=\iint gI(g,\Omega )[f(\mathbf {r} ,\mathbf {p'} _{A},t)f(\mathbf {r} ,\mathbf {p'} _{B},t)-f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} _{A},t)f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} _{B},t)]\,d\Omega \,d^{3}\mathbf {p} _{B},}$$$${\displaystyle g=|\mathbf {p} _{B}-\mathbf {p} _{A}|=|\mathbf {p'} _{B}-\mathbf {p'} _{A}|}$$

ボルツマン方程式を解く際の課題の多くは複雑な衝突項に起因するため、衝突項を「モデル化」して単純化する試みがなされてきました。最もよく知られているモデル方程式は、Bhatnagar、Gross、Krook によるものです。^[7] BGK 近似における仮定は、分子衝突の影響により、物理空間内の点における非平衡分布関数がマクスウェル平衡分布関数に戻され、これが発生する速度は分子衝突頻度に比例するというものです。したがって、ボルツマン方程式は BGK 形式に変更されます。

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla f+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\nu (f_{0}-f),}$$

ここで、は分子衝突周波数、 は空間のこの点におけるガス温度を与えられた局所マクスウェル分布関数です。 これは「緩和時間近似」とも呼ばれます。 ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle f_{0}}$

インデックスi = 1、2、3、...、nでラベル付けされた化学種の混合物の場合、種iの式は^[2]である。

$${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} _{i}}{m_{i}}}\cdot \nabla f_{i}+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}\right)_{\text{coll}},}$$

ここでf _i = f _i ( r , p _i , t )であり、衝突項は

$${\displaystyle \left({\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }=\sum _{j=1}^{n}\iint g_{ij}I_{ij}(g_{ij},\Omega )[f'_{i}f'_{j}-f_{i}f_{j}]\,d\Omega \,d^{3}\mathbf {p'} ,}$$

ここでf′ = f′ ( p′ _i , t )、相対運動量の大きさは

$${\displaystyle g_{ij}=|\mathbf {p} _{i}-\mathbf {p} _{j}|=|\mathbf {p'} _{i}-\mathbf {p'} _{j}|,}$$

I _{ij は}、前述と同様に、粒子iとj の間の微分断面積です。積分は、被積分関数の運動量成分（iとjでラベル付け）にわたって行われます。積分の合計は、種iの粒子が位相空間要素に出入りすることを表します。

ボルツマン方程式は、質量、電荷、運動量、エネルギーの流体力学的保存則を導くために使用できる。^{[8] : 163} 1種類の粒子のみからなる流体の場合、数密度 nは次のように与えられる。 $${\displaystyle n=\int f\,d^{3}\mathbf {p} .}$$

任意の関数Aの平均値は $${\displaystyle \langle A\rangle ={\frac {1}{n}}\int Af\,d^{3}\mathbf {p} .}$$

保存方程式にはテンソルが含まれるため、積の繰り返しインデックスがそれらのインデックスの合計を示す場合は、アインシュタインの総和規則が使用されます。したがって、および、ここで は粒子の速度ベクトルです。を運動量のみの関数として定義し、その合計値は衝突時に保存されます。また、力は位置のみの関数であり、 に対してfはゼロであると仮定します。ボルツマン方程式にA を掛けて運動量について積分すると、4 つの項が生成されます。これを部分積分を使用して次のように表すことができます。 ${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto x_{i}}$${\displaystyle \mathbf {p} \mapsto p_{i}=mv_{i}}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle A(p_{i})}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle p_{i}\to \pm \infty }$

$${\displaystyle \int A{\frac {\partial f}{\partial t}}\,d^{3}\mathbf {p} ={\frac {\partial }{\partial t}}(n\langle A\rangle ),}$$

$${\displaystyle \int {\frac {p_{j}A}{m}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\,d^{3}\mathbf {p} ={\frac {1}{m}}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(n\langle Ap_{j}\rangle ),}$$

$${\displaystyle \int AF_{j}{\frac {\partial f}{\partial p_{j}}}\,d^{3}\mathbf {p} =-nF_{j}\left\langle {\frac {\partial A}{\partial p_{j}}}\right\rangle ,}$$

$${\displaystyle \int A\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{coll}}\,d^{3}\mathbf {p} ={\frac {\partial }{\partial t}}_{\text{coll}}(n\langle A\rangle )=0,}$$

ここで、最後の項は、衝突においてAが保存されるためゼロになります。A の値は、速度のモーメント（および線形従属である運動量） に対応します。${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$

粒子の質量を とすると、積分されたボルツマン方程式は質量保存則となる: [ 8 ] ^{: 12, 168} ここでは質量密度、 は平均流体速度である。 ${\displaystyle A=m(v_{i})^{0}=m}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho +{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(\rho V_{j})=0,}$$${\displaystyle \rho =mn}$${\displaystyle V_{i}=\langle v_{i}\rangle }$

を粒子の運動量とすると、積分されたボルツマン方程式は運動量保存則となる： ^{[8] : 15, 169}${\displaystyle A=m(v_{i})^{1}=p_{i}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho V_{i})+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(\rho V_{i}V_{j}+P_{ij})-nF_{i}=0,}$$

ここで は圧力テンソル（粘性応力テンソルと静水圧の和）です。 ${\displaystyle P_{ij}=\rho \langle (v_{i}-V_{i})(v_{j}-V_{j})\rangle }$

を粒子の運動エネルギーとすると、積分されたボルツマン方程式はエネルギー保存則となる：^{[8] : 19, 169}${\displaystyle A={\frac {m(v_{i})^{2}}{2}}={\frac {p_{i}p_{i}}{2m}}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(u+{\tfrac {1}{2}}\rho V_{i}V_{i})+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(uV_{j}+{\tfrac {1}{2}}\rho V_{i}V_{i}V_{j}+J_{qj}+P_{ij}V_{i})-nF_{i}V_{i}=0,}$$

ここで、は運動熱エネルギー密度、は熱流束ベクトルです。 ${\textstyle u={\tfrac {1}{2}}\rho \langle (v_{i}-V_{i})(v_{i}-V_{i})\rangle }$${\textstyle J_{qi}={\tfrac {1}{2}}\rho \langle (v_{i}-V_{i})(v_{k}-V_{k})(v_{k}-V_{k})\rangle }$

ハミルトン力学では、ボルツマン方程式はより一般的には次のように記述されることが多い。 ここで、 Lは位相空間体積の発展を記述するリウヴィル演算子（ここで定義されているリウヴィル演算子とリンクされた記事の定義には矛盾がある）であり、Cは衝突演算子である。Lの非相対論的形式は、 $${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}[f]=\mathbf {C} [f],}$$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {NR} }={\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla +\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\,.}$$

衝突において粒子の数が保存されない相対論的量子システムに対して、相対論的量子ボルツマン方程式を書き下すことが可能である。これは、ビッグバン元素合成における軽元素の形成、暗黒物質の生成、バリオン生成など、物理宇宙論においていくつかの応用がある^{[9] 。量子システムの状態が古典的な位相空間密度}fによって特徴付けられるかどうかは、事前に明らかではない。しかし、幅広い応用分野において、 fの明確に定義された一般化が存在し、それは量子場の理論の第一原理から導出できる有効ボルツマン方程式の解である。^[10]

ボルツマン方程式は銀河の力学に役立っています。ある仮定の下では、銀河は連続流体として近似することができ、その質量分布はfで表されます。銀河では、恒星間の物理的な衝突は非常にまれであり、宇宙の年齢よりもはるかに長い時間にわたって重力衝突の影響を無視することができます。

一般相対論におけるその一般化は^[11] であり_、 ここでΓαβγ^は第二種のクリストッフェル記号（これは外力が存在しないと仮定し、衝突がない場合には粒子は測地線に沿って移動する）である。重要な微妙な点は、密度が、完全に反変な（x i 、p i ）位相空間ではなく、反変共変混合（x i 、^p i ）_位相空間の関数であるという点で^ある。[ ¹² ] [ ^{13 ]}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {GR} }[f]=p^{\alpha }{\frac {\partial f}{\partial x^{\alpha }}}-\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }p^{\beta }p^{\gamma }{\frac {\partial f}{\partial p^{\alpha }}}=C[f],}$$

物理宇宙論では、完全共変アプローチが宇宙マイクロ波背景放射の研究に使用されてきた。^{[14]より一般的には、}初期宇宙のプロセスの研究では、量子力学と一般相対性理論の影響を考慮に入れようとすることが多い。^[9]ビッグバン後の原始プラズマによって形成された非常に高密度の媒体では、粒子が継続的に生成され、消滅している。そのような環境では、量子コヒーレンスと波動関数の空間拡張がダイナミクスに影響を与える可能性があり、ボルツマン方程式に現れる古典的な位相空間分布fがシステムを記述するのに適しているかどうか疑問視される。ただし、多くの場合、量子場の理論の第一原理から一般化分布関数の有効なボルツマン方程式を導出することは可能である。^{[10]これには、}ビッグバンの元素合成における軽元素の形成、暗黒物質の生成、およびバリオン生成が含まれる。

ボルツマン方程式の正確な解は、いくつかのケースで存在することが証明されています。^[15]この解析的アプローチは洞察を提供しますが、実用的な問題では一般的には使用できません。

代わりに、数値的手法（有限要素法や格子ボルツマン法など）が一般的に使用され、ボルツマン方程式のさまざまな形式に対する近似解が求められます。応用例は、希薄気体流における極超音速空気力学^{[16] [17]からプラズマ流[18]}まで多岐にわたります。ボルツマン方程式の電気力学への応用は、電気伝導率の計算であり、その結果は半古典的な結果と主要な順序で同一です。^[19]

局所平衡に近い状態では、ボルツマン方程式の解はクヌーセン数の累乗の漸近展開（チャップマン・エンスコグ展開^[20]）で表すことができる。この展開の最初の2項はオイラー方程式とナビエ・ストークス方程式を与える。高次の項には特異点がある。原子論的観点（ボルツマン方程式で表される）から連続体の運動の法則に至る極限過程を数学的に展開する問題は、ヒルベルトの第6の問題の重要な部分である。^[21]

ボルツマン方程式はいくつかの仮定の下でのみ有効である。例えば、粒子は点状、つまり有限の大きさを持たないと仮定される。ボルツマン方程式の一般化はエンスコグ方程式と呼ばれる。^[22]衝突項はエンスコグ方程式で修正され、粒子は有限の大きさを持ち、例えば固定半径を持つ球としてモデル化できる。

粒子には並進運動以外の自由度は想定されていない。内部自由度が存在する場合、ボルツマン方程式は一般化され、非弾性衝突が発生する可能性がある。^[22]

液体や高密度ガスなどの実際の流体の多くは、上記の特徴に加えて、より複雑な衝突形態を持ち、二元衝突だけでなく三元衝突や高次衝突も起こる。^{[23]これらは}BBGKY階層を使用して導出する必要がある。

ボルツマンのような方程式は細胞の運動にも使用されます。^{[24] [25]}細胞は内部自由度を持つ複合粒子であるため、対応する一般化ボルツマン方程式は非弾性衝突積分を持つ必要があります。このような方程式は、組織への癌細胞の浸潤、形態形成、および走化性関連の影響を記述できます。

• ハリス、スチュワート (1971)。ボルツマン方程式の理論入門。ドーバーブックス。p. 221。ISBN 978-0-486-43831-3。非常に安価な現代フレームワークの入門書です (リウヴィルからの正式な演繹と、ボルツマン方程式が位置づけられるボゴリュボフ・ボーン・グリーン・カークウッド・イヴォン階層 (BBGKY) から始めます)。Huang のような統計力学の教科書のほとんどは、依然としてボルツマンのオリジナルの議論を使用してこのトピックを扱っています。方程式を導くために、これらの本は、ボルツマン方程式をフォッカー・プランク方程式やランダウ方程式などの他の輸送方程式と区別する有効性の範囲と特徴的な仮定を明らかにしない、経験的な説明を使用しています。

• Arkeryd, Leif (1972). 「ボルツマン方程式について パート I: 存在」. Arch. Rational Mech. Anal . 45 (1): 1–16. Bibcode :1972ArRMA..45....1A. doi :10.1007/BF00253392. S2CID  117877311.
• Arkeryd, Leif (1972). 「ボルツマン方程式について パート II: 完全な初期値問題」. Arch. Rational Mech. Anal . 45 (1): 17–34. Bibcode :1972ArRMA..45...17A. doi :10.1007/BF00253393. S2CID  119481100.
• Arkeryd, Leif (1972). 「ボルツマン方程式について パート I: 存在」. Arch. Rational Mech. Anal . 45 (1): 1–16. Bibcode :1972ArRMA..45....1A. doi :10.1007/BF00253392. S2CID  117877311.
• DiPerna, RJ; Lions, P.-L. (1989). 「ボルツマン方程式のコーシー問題について: 大域的存在と弱安定性」. Ann. of Math . 2. 130 (2): 321–366. doi :10.2307/1971423. JSTOR  1971423.

• フランツ・ヴェセリーによるボルツマン輸送方程式
• ボルツマン気体挙動の解明