部分幾何学

発生率構造${\displaystyle C=(P,L,I)}$セットで構成される${\displaystyle P}$点の集合、点の集合${\displaystyle L}$線と、接続関係、またはフラグのセット、${\displaystyle I\subseteq P\times L}$; ポイント${\displaystyle p}$線路での事故と言われている${\displaystyle l}$もし​${\displaystyle (p,l)\in I}$整数が存在する場合、それは（有限）部分幾何学である。${\displaystyle s,t,\alpha \geq 1}$すなわち、

• 異なる点のペアごとに${\displaystyle p}$そして​${\displaystyle q}$⁠、両者に共通する線上の問題は最大でも1つです。
• 各線は${\displaystyle s+1}$ポイント。
• 各点は${\displaystyle t+1}$線。
• ポイント${\displaystyle p}$そして一行${\displaystyle l}$事件ではなく、まさに${\displaystyle \alpha }$ペア​${\displaystyle (q,m)\in I}$⁠、したがって${\displaystyle p}$事件は${\displaystyle m}$そして${\displaystyle q}$事件は⁠${\displaystyle l}$⁠ .

これらのパラメータを持つ部分的な形状は、⁠で表されます。${\displaystyle \mathrm {pg} (s,t,\alpha )}$⁠ .

• ポイント数は次のように与えられます。${\displaystyle {\frac {(s+1)(st+\alpha )}{\alpha }}}$そして行数${\displaystyle {\frac {(t+1)(st+\alpha )}{\alpha }}}$⁠ .
• 点グラフ（共線グラフとも呼ばれる）${\displaystyle \mathrm {pg} (s,t,\alpha )}$は強正則グラフです。${\displaystyle \mathrm {srg} {\Big (}(s+1){\frac {(st+\alpha )}{\alpha }},s(t+1),s-1+t(\alpha -1),\alpha (t+1){\Big )}}$⁠ .
• 部分幾何学は双対化可能な構造です。${\displaystyle \mathrm {pg} (s,t,\alpha )}$単に⁠${\displaystyle \mathrm {pg} (t,s,\alpha )}$⁠ .

• 一般化された四角形はまさに部分的な幾何学である${\displaystyle \mathrm {pg} (s,t,\alpha )}$と共に​${\displaystyle \alpha =1}$⁠ .
• シュタイナーシステム${\displaystyle S(2,s+1,ts+1)}$それらはまさに部分的な幾何学である${\displaystyle \mathrm {pg} (s,t,\alpha )}$と共に​${\displaystyle \alpha =s+1}$⁠ .

部分的な線形空間${\displaystyle S=(P,L,I)}$順序の${\displaystyle s,t}$整数が存在する場合、それは半部分幾何学と呼ばれる。${\displaystyle \alpha \geq 1,\mu }$すなわち、

• ポイント${\displaystyle p}$そして一行${\displaystyle l}$事件ではない、${\displaystyle 0}$または正確に${\displaystyle \alpha }$ペア​${\displaystyle (q,m)\in I}$⁠、したがって${\displaystyle p}$事件は${\displaystyle m}$そして${\displaystyle q}$事件は⁠${\displaystyle l}$⁠ .
• 共線でない点のペアはすべて正確に${\displaystyle \mu }$共通の隣人。

半部分幾何学は、以下の条件を満たす場合に限り部分幾何学である。${\displaystyle \mu =\alpha (t+1)}$⁠ .

このような幾何学の共線グラフは、パラメータ ⁠ で強い正則性を持つことが容易に示せる 。${\displaystyle (1+s(t+1)+s(t+1)t(s-\alpha +1)/\mu ,s(t+1),s-1+t(\alpha -1),\mu )}$⁠ .

このような幾何学の良い例は、アフィン点を取ることによって得られます。${\displaystyle \mathrm {PG} (3,q^{2})}$そして、固定されたベア部分平面の点で無限遠で平面と交差する直線のみ。パラメータは以下の通り。${\displaystyle (s,t,\alpha ,\mu )=(q^{2}-1,q^{2}+q,q,q(q+1))}$⁠ .

• 非常に規則的なグラフ
• 最大弧

• Brouwer, AE; van Lint, JH ( 1984)、「強正則グラフと部分幾何学」、Jackson, DM; Vanstone, SA (編) 『列挙と設計』、トロント：Academic Press、pp. 85–122 
• Bose, RC (1963)、「強正則グラフ、部分幾何学、部分バランス設計」(PDF)、Pacific J. Math.、13 : 389–419、doi : 10.2140/pjm.1963.13.389
• デクラーク、F. Van Maldeghem, H. (1995)、「ランク 2 ジオメトリのいくつかのクラス」、Handbook of Incidence Geometry、アムステルダム: 北オランダ、433 ～ 475ページ 
• Thas, JA (2007)、「部分幾何学」、Colbourn, Charles J.、Dinitz, Jeffrey H. (編)、『組合せ設計ハンドブック』（第2 版）、Boca Raton: Chapman & Hall/CRC、pp. 557–561、ISBN  1-58488-506-8
• Debroey, I.; Thas, JA (1978)、「半部分幾何学について」、Journal of Combinatorial Theory, Series A、25 : 242–250、doi : 10.1016/0097-3165(78)90016-x