ブロカールポイント

幾何学において、ブロカール点は三角形内の特別な点です。フランスの数学者 アンリ・ブロカール(1845–1922)にちなんで名付けられました。

辺がa、b、cの三角形△ ABCで、頂点が反時計回りの順にA、B、Cと記されているとき、線分AP、BP、CPがそれぞれの辺c、a、bと同じ角度ωを形成する点Pが1つだけある。つまり 、

$${\displaystyle \angle PAB=\angle PBC=\angle PCA=\omega .\,}$$

点Pは三角形△ ABCの第一ブロカール点と呼ばれ、角ωは三角形の ブロカール角と呼ばれる。この角には次のような性質がある。

$${\displaystyle \cot \omega =\cot \!{\bigl (}\angle CAB{\bigr )}+\cot \!{\bigl (}\angle ABC{\bigr )}+\cot \!{\ bigl (}\angle BCA{\bigr )}.}$$

三角形△ ABCには、 2番目のブロカール点Qがあり、線分AQ、BQ、CQ はそれぞれ辺b、c、aと等しい角度を形成します。つまり、方程式が 適用されます。注目すべきことに、この2番目のブロカール点は、最初のブロカール点と同じブロカール角を持ちます。つまり、角度は次の式 と同じです 。$${\displaystyle \angle QCB=\angle QBA=\angle QAC}$$$${\displaystyle \angle PBC=\angle PCA=\angle PAB}$$$${\displaystyle \angle QCB=\angle QBA=\angle QAC.}$$

2 つのブロカール点は互いに密接に関連しています。実際、最初のブロカール点と 2 番目のブロカール点の違いは、三角形△ ABCの角度の順序によって決まります。たとえば、△ ABCの最初のブロカール点は、 △ ACBの 2 番目のブロカール点と同じです。

三角形△ ABCの2つのブロカール点は互いに 等角共役です。

Brocard ポイントの最もエレガントな構築は次のようになります。次の例では最初の Brocard ポイントが示されていますが、2 番目の Brocard ポイントの構築も非常に似ています。

上の図のように、三角形の辺BCに接する点Aと点Bを通る円を作成します (この円の中心は、 ABの垂直二等分線が、 BCに垂直な点B を通る直線と交わる点にあります)。対称的に、辺ACに接する点Bと点 Cを通る円と、辺ABに接する点Aと点Cを通る円を作成します。これらの 3 つの円には、 △ ABCの最初のブロカール点という共通点があります。円の接線も参照してください。

先ほど構築した 3 つの円は、 △ ABCの周転円としても指定されます。2 番目のブロカール点も同様の方法で構築されます。

第一ブロカール点と第二ブロカール点の 同次三線座標は次の通りである。 したがって、それらの重心座標は次の通りである。^[1]$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}P=&{\frac {c}{b}}&:&{\frac {a}{c}}&:&{\frac {b}{a}}\\Q=&{\frac {b}{c}}&:&{\frac {c}{a}}&:&{\frac {a}{b}}\end{array}}}$$ $${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}P=&c^{2}a^{2}&:&a^{2}b^{2}&:&b^{2}c^{2}\\Q=&a^{2}b^{2}&:&b^{2}c^{2}&:&c^{2}a^{2}\end{array}}}$$

ブロカール点は双心点対の一例であるが、どちらのブロカール点も相似変換に対して不変ではないため三角形の中心ではない。相似の特殊なケースである不等辺三角形を鏡映すると、一方のブロカール点がもう一方のブロカール点になる。しかし、両点によって形成される順序のない対は相似に対して不変である。2つのブロカール点の中点はブロカール中点と呼ばれ、三線座標を持つ^[2]

$${\displaystyle \sin(A+\omega ):\sin(B+\omega ):\sin(C+\omega )=a(b^{2}+c^{2}):b(c^{2}+a^{2}):c(a^{2}+b^{2}),}$$は三角形の中心であり、三角形の中心百科事典 では中心X(39)である。3番目のブロカール点は、三線座標では^[3]で与えられる。

$${\displaystyle \csc(A-\omega ):\csc(B-\omega ):\csc(C-\omega )=a^{-3}:b^{-3}:c^{-3} 、}$$

は反補三角形のブロカール中点であり、対称中点の等尺共役点でもある。これは三角形の中心百科事典では中心X(76)である。

最初の２つのブロカール点PとQの間の距離は常に三角形の外接円の半径Rの半分以下である: ^{[1] [4]}

$${\displaystyle {\overline {PQ}}=2R\sin \omega {\sqrt {1-4\sin ^{2}\omega }}\leq {\frac {R}{2}}.}$$

最初の2つのブロカール点の間の線分は、三角形の外心とルモワーヌ点を結ぶ線分によってブロカール中点で垂直に二等分されます。さらに、外心、ルモワーヌ点、および最初の2つのブロカール点は同心円状であり、すべて同じ円上にあり、その外心とルモワーヌ点を結ぶ線分は直径 です。 [ ^1]

ブロカール点PとQは三角形の外心 Oから等距離にある：^[4]

$${\displaystyle {\overline {PO}}={\overline {QO}}=R{\sqrt {{\frac {a^{4}+b^{4}+c^{4}}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}}-1}}=R{\sqrt {1-4\sin^{2}\omega }}.}$$

第一ブロカール点と第二ブロカール点のペダル三角形は互いに合同であり、元の三角形と相似である。 ^[4]

三角形の頂点と第1ブロカール点を通る線分AP、BP、CPが三角形の外接円と点L、M、Nで交わる場合、三角形△ LMNは元の三角形△ ABCと合同である。第1ブロカール点Pを第2ブロカール点Qに置き換えても同じことが言える。^[4]

• MathWorld での第 3 回 Brocard ポイント
• 双心点のペアと関連する三角形の中心
• 双心点ペア
• MathWorld の双心点