放物型リー代数

代数学において、放物型リー代数は、 次の 2 つの条件のいずれかを満たす 半単純リー代数の部分代数です。${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$の最大可解部分代数（ボレル部分代数）を含む。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• のKilling 形式に関する直交補数はのnilradicalです。${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

これらの条件は、複素数のような特性ゼロの代数的に閉じた 体上では同値である。もし体が代数的に閉じていない場合、最初の条件は次の仮定に置き換えられる。 ${\displaystyle \mathbb {F} }$

• ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\otimes _{\mathbb {F} }{\overline {\mathbb {F} }}}$ボレル部分代数を含む${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {F} }{\overline {\mathbb {F} }}}$

ここで はの代数閉包です。 ${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} }}}$${\displaystyle \mathbb {F} }$

一般の線型リー代数 の場合、放物型部分代数は の部分旗、つまり入れ子になった線型部分空間の列の安定化子です。完全な旗の場合、安定化子はボレル部分代数を与えます。単一の線型部分空間 の場合、最大放物型部分代数 が得られ、可能な選択の空間はグラスマン多様体です。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {F} )}$${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {F} ^{k}\subset \mathbb {F} ^{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Gr} (k,n)}$

一般に、複素単純リー代数の場合、放物型部分代数は単純根の部分集合、すなわちディンキン図のノードの部分集合と一対一である。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• 一般化された旗の種類
• 反射群の放物線部分群

• バストン、ロバート J.;イーストウッド、マイケル G. (2016) [1989]、「ペンローズ変換：表現理論との相互作用」、ドーバー、ISBN 9780486816623
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