非循環空間

数学において、非巡回空間とは、ホモロジー理論の意味で、巡回が常に境界となる空でない位相空間 X のことである。これは、 Xのすべての次元における整ホモロジー群が、点の対応するホモロジー群と同型であること を意味する。

言い換えれば、縮小ホモロジーの考え方を用いると、

${\displaystyle {\tilde {H}}_{i}(X)=0,\quad \forall i\geq -1.}$

このような空間は「穴」のない空でない空間として考えるのがよく行われます。たとえば、円や球は非循環ではありませんが、円盤や球は非循環です。ただし、この条件は、空間内のすべての閉ループが空間内の円盤を囲むことを求めるよりも弱い条件です。私たちが求めているのは、任意の閉ループ、およびその高次元類似体が「2 次元表面」のようなものを囲むことだけです。空間X上の非循環性の条件は、たとえば、良い空間、つまり単体複体の場合、円または高次元球へのXの連続写像はヌルホモトピックであることを意味します。

空間Xが収縮可能であれば、ホモトピー不変性のホモトピーにより、非巡回空間でもあります。一般に、その逆は成り立ちません。ただし、X が非巡回CW 複体であり、Xの基本群が自明であれば、ホワイトヘッドの定理とヒューレヴィッツの定理からわかるように、 X は収縮可能な空間です。

非巡回空間は位相幾何学において出現し、より興味深い他の位相空間を構築するために使用することができます。

たとえば、ホモロジー球面である多様体 Mから 1 つの点を削除すると、そのような空間が得られます。非巡回空間Xのホモトピー群は一般には消えません。これは、基本群が自明である必要がないためです。たとえば、穴の開いたポアンカレホモロジー球面は、収縮できない非巡回3 次元多様体です。 ${\displaystyle \pi_{1}(X)}$

最初のホモロジー群は基本群のアーベル化であるため、これは例のレパートリーを与えます。すべての完全群 Gには、基本群が与えられた群Gの中心拡張である (標準、終端) 非巡回空間を関連付けることができます。

これらの関連する非巡回空間のホモトピー群は、分類空間BG上のQuillenのプラス構成と密接に関連しています。

非巡回群とは、分類空間BGが非巡回である群Gのことです。言い換えると、そのすべての (簡約)ホモロジー群は消えます。つまり、すべての に対して です。したがって、すべての非巡回群は完全群であり、最初のホモロジー群 が消えます。実際、超完全群 であり、最初の 2 つのホモロジー群 が消えます。逆は真ではありません。2元 20 面体群は超完全 (したがって完全) ですが、非巡回ではありません。 ${\displaystyle {\チルダ {H}}_{i}(G;\mathbf {Z} )=0}$${\displaystyle i\geq 0}$${\displaystyle H_{1}(G;\mathbf {Z} )=0}$${\displaystyle H_{1}(G;\mathbf {Z} )=H_{2}(G;\mathbf {Z} )=0}$

• 非球面空間

• ドロール、エマニュエル（1972）、「非環式空間」、トポロジー、11（4）：339–348、doi：10.1016/0040-9383（72）90030-4、MR  0315713
• ドロール、エマニュエル (1973)、「ホモロジー球面」、イスラエル数学ジャーナル、15 (2): 115–129、doi :10.1007/BF02764597、MR  0328926
• Berrick, A. Jon; Hillman, Jonathan A. (2003)、「有限に提示可能な群の完全および非巡回部分群」、ロンドン数学会誌、68 (3): 683–698、doi :10.1112/S0024610703004587、MR  2009444、S2CID  30232002

• 「非巡回群」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]