超完璧なグループ

数学の群論の領域では、群の最初の 2 つのホモロジー群が自明な場合、つまりH ₁ ( G , Z ) = H ₂ ( G , Z ) = 0 の場合、その群は超完全群であると言われます。これは、最初のホモロジー群が消える完全群よりも強力です。より古典的な用語で言えば、超完全群とは、アーベル化とシューア乗数が両方とも消える群です。アーベル化は最初のホモロジーに等しく、シューア乗数は 2 番目のホモロジーに等しくなります。

群の第一ホモロジー群は群自身のアーベル化である。なぜなら、群Gのホモロジーは、型K ( G , 1)の任意のEilenberg-MacLane 空間のホモロジーであるからである。K ( G , 1)の基本群はGであり、 K ( G , 1)の第一ホモロジーはその基本群のアーベル化である。したがって、群が超完全であれば、それは完全である。

有限完全群は、完全群の 2 番目のホモロジー群が中心拡大をパラメータ化するため、 それ自身の普遍中心拡大(UCE)である場合にのみ超完全です。

たとえば、G がホモロジー球面の基本群である場合、G は超完全群です。最小の有限で非自明な超完全群は、2 元 20 面体群(ポアンカレホモロジー球面の基本群) です。

交代群A ₅は完全だが超完全ではない。非自明な中心拡大を持ち、二元二十面体群（実際にはその UCE）は超完全である。より一般的には、射影特殊線型群PSL( n , q ) は PSL(2, 2) と PSL(2, 3) を除いて単純（したがって完全）であるが、特殊線型群SL( n , q ) を中心拡大として超完全ではない。この族には、 A ₅ (PSL (2, 5) と考えられる) の UCE としての二元二十面体群（SL (2, 5) と考えられる）が含まれる。

すべての非巡回群は超完全ですが、その逆は真ではありません。つまり、2 元 20 面体群は超完全ですが、非巡回ではありません。

• A. ジョン・ベリックとジョナサン・A. ヒルマン、「有限に提示可能な群の完全および非巡回部分群」、ロンドン数学会誌(2) 68 (2003)、第 3 号、683--698。MR 2009444