Loading article…
数学において、環の積または環の直積は、複数の環（無限の場合もある）の基礎集合の直積によって形成され、成分ごとの演算を備えた環である。これは、環のカテゴリにおける直積である。
直積は同型 まで定義されるので、ある環がこれらの環の直積に同型である場合、その環はいくつかの環の積であると口語的に言われる。例えば、中国剰余定理は次のように述べられる。mとn が互いに素な整数である場合、商環はとの積である。
例
重要な例としては、nを法とする整数環Z / n Zがある。n が素数の累乗として表される場合（算術の基本定理を参照）、
ここで、p i は異なる素数であり、Z / n Z は自然に積と同型である。
これは中国剰余定理に従う。
プロパティ
R = Π i ∈ I R i が環の積である場合、 Iの任意のiに対して、積をi番目の座標に射影する射影環準同型p i : R → R iが存在します 。積Rと射影p i を組み合わせると、次の普遍的性質が得られます。
- S が任意の環であり、f i : S → R i がIの任意のiに対して環準同型である場合、 Iの任意のiに対してp i ∘ f = f iとなるような環準同型f : S → Rがちょうど 1 つ存在する。
これは、環の積が圏論の意味での積の例であることを示しています。
Iが有限のとき、 Π i ∈ I R iの基礎となる加法群は、R iの加法群の直和と一致する。この場合、一部の著者はR を「環 R i の直和」と呼び、 ⊕ i ∈ I R iと書くが、これは圏論の観点からは正しくない。なぜなら、これは通常、環の圏（恒等関数）における余積ではないからである。たとえば、R iのうちの 2 つ以上が非自明である場合、包含写像R i → R は1 対 1 の写像に失敗し、したがって環準同型ではない。
(可換環上の可換代数のカテゴリにおける有限余積は、代数のテンソル積です。代数のカテゴリにおける余積は、代数の自由積です。)
直積は自然同型性まで可換かつ結合的であり、つまり直積をどのような順序で形成するかは問題ではないことを意味します。
Iの各iについてA i がR iのイデアルである場合、A = Π i ∈ I A iはRのイデアルです。I が有限である場合、その逆が真です。つまり、Rのすべてのイデアルはこの形式になります。しかし、I が無限であり、環R iが自明でない場合、その逆は偽です。つまり、有限個以外のすべての非ゼロ座標を持つ要素の集合は、 R iのイデアルの直積ではないイデアルを形成します。イデアルAがRの素イデアルとなるのは、 A iのうち 1 つを除いてすべてがR iに等しく、残りのA iがR iの素イデアルである場合です。しかし、 Iが無限の場合、その逆は真ではありません。たとえば、R iの直和は、そのようなAに含まれないイデアルを形成しますが、選択公理により、それは何らかの極大イデアルに含まれ、それがより素であることが示されます。
Rの元x が単位となるのは、そのすべての構成要素が単位である場合、つまり、Iのあらゆるiに対してp i ( x ) がR iの単位である場合のみです。Rの単位群は、R iの単位群の積です。
2 つ以上の非自明な環の積には、常に非ゼロのゼロ因子が存在します。つまり、x が積の元であり、その座標がp i ( x ) を除いてすべてゼロであり、y が積の元であり、その座標がp j ( y ) を除いてすべてゼロである場合( i ≠ j )、 積環で はxy = 0 となります。