枝分かれした被覆

例外的な点のセット${\displaystyle W}$これは分岐軌跡と呼ばれます（つまり、これは可能な限り最大の開集合の補集合です）。${\displaystyle W'}$) 一般的に、モノドロミーは基本群に従って 発生します。${\displaystyle W'}$被覆のシートに作用する（この位相的な図は、一般的な基底体の場合にも正確に表現できる）。

分岐被覆は、クンマー拡張、すなわち関数体の代数的拡張として容易に構成できる。超楕円曲線はその典型的な例である。

分岐のない被覆とは、分岐点が空である状態を指す。

曲線の射は、分岐被覆の多くの例を提供する。例えば、C を方程式の楕円曲線とする。

$\displaystyle y^{2}-x(x-1)(x-2)=0.}$

Cのx軸への投影は 、分岐軌跡が次式で与えられる分岐被覆である。

${\displaystyle x(x-1)(x-2)=0.}$

これは、xのこれら3つの値に対してファイバーが二重点となるためです。${\displaystyle y^{2}=0,}$一方、 xのその他の値については、ファイバーは (代数的に閉じた体上で) 2 つの異なる点から構成されます。

この射影は関数体の2次代数的拡大を誘導する。また、基礎となる可換環の分数体を取ると、射が得られる。

${\displaystyle \mathbb {C} (x)\to \mathbb {C} (x)[y]/(y^{2}-x(x-1)(x-2))}$

したがって、この射影は次数2の分岐被覆である。これを均質化することで、対応する射影楕円曲線の射影直線に対する次数2の分岐被覆を構成できる。

前述の例は、次のようにして任意の代数平面曲線に一般化できます。Cを、 2 つの不定元に関する分離 可能かつ既約な多項式f ( x , y ) = 0で定義される平面曲線とします。n をyに関するfの次数とすると、ファイバーは、有限個のxの値を除いて、 n個の異なる点から構成されます。したがって、この射影は次数nの分岐被覆となります。

xの例外的な値は、係数の根です。$\displaystyle y^{n}}$fにおいて、およびyに関するfの判別式の根。

判別式の根r上には、少なくとも 1 つの分岐点があり、それは臨界点または特異点のいずれかである。rが係数の根でもある場合、$\displaystyle y^{n}}$fにおいて、この分岐点は「無限遠」にある。

係数の根sについて$\displaystyle y^{n}}$fでは、曲線Cは無限分岐を持ち、 sにおけるファイバーはn個未満の点しか持ちません。しかし、射影をCとx軸の射影的完備化に拡張し、sが判別式の根でない場合、射影はsの近傍を覆うものになります。

この射影が次数nの分岐被覆であるという事実は、関数体 を考えることによっても確認できる。実際、この射影は次数nの体拡大に対応する。

$\displaystyle \mathbb {C} (x)\to \mathbb {C} (x)[y]/f(x,y).}$

また、分岐度合いが異なる直線の分岐被覆を一般化することもできます。次の形式の多項式を考えてみましょう。

${\displaystyle f(x,y)=g(x)}$

異なるポイントを選択する${\displaystyle x=\alpha }$消失軌跡によって与えられる繊維${\displaystyle f(\alpha ,y)-g(\alpha )}$変化する。${\displaystyle f(\alpha ,y)-g(\alpha )}$1つ増えると、影響が生じる。

曲線の射は、スキームの分岐被覆の多くの例を提供する。例えば、アフィン楕円曲線から直線への射

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\mathbb {C} [x,y]}/{(y^{2}-x(x-1)(x-2)}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x])}$

は、分岐軌跡が与えられた分岐被覆である。

${\displaystyle X={\text{Spec}}\left({\mathbb {C} [x]}/{(x(x-1)(x-2))}\right)}$

これは、どの時点でも${\displaystyle X}$で${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ファイバーはスキームです

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\mathbb {C} [y]}/{(y^{2})}\right)}$

また、基礎となる可換環の分数体を取ると、体準同型が得られます。

${\displaystyle \mathbb {C} (x)\to {\mathbb {C} (x)[y]}/{(y^{2}-x(x-1)(x-2))},}$

これは次数2の代数的拡張です。したがって、楕円曲線からアフィン直線への次数2の分岐被覆が得られます。これを均質化して射影楕円曲線からへの射を構築できます。${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$。

超楕円曲線は上記の次数を一般化したものである${\displaystyle 2}$アフィン線を覆う、定義されたアフィンスキームを考慮する${\displaystyle \mathbb {C} }$多項式による

${\displaystyle y^{2}-\prod (x-a_{i})}$どこ${\displaystyle a_{i}\neq a_{j}}$のために${\displaystyle i\neq j}$

射を取ることで、前の例を一般化できます。

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f(y)-g(x))}}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x])}$

どこ${\displaystyle g(x)}$重複根を持たない。その場合、分岐軌跡は次のように与えられる。

${\displaystyle X={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x]}{(f(x))}}\right)}$

ここで繊維は次のように与えられる。

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [y]}{(f(y))}}\right)}$

すると、分数体の誘導射が得られる。

${\displaystyle \mathbb {C} (x)\to {\frac {\mathbb {C} (x)[y]}{(f(y)-g(x))}}}$

があります${\displaystyle \mathbb {C} (x)}$-ターゲットのモジュール同型性

${\displaystyle \mathbb {C} (x)\oplus \mathbb {C} (x)\cdot y\oplus \cdots \oplus \mathbb {C} (x)\cdot y^{{\text{deg}}(f(y))}}$

したがって、カバーは程度の${\displaystyle {\text{deg}}(f)}$。

超楕円曲線は、アフィンスキームによって与えられるため、超楕円曲線の一般化であり、前述の例の特殊な形態である。${\displaystyle X/\mathbb {C} }$多項式から

${\displaystyle y^{k}-f(x)}$どこ${\displaystyle k>2}$そして${\displaystyle f(x)}$重複する根はありません。

もう一つの有用な例は、射影空間の分岐被覆から得られる。同次多項式が与えられた場合${\displaystyle f\in \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}$分岐した被覆を構築できます${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$分岐遺伝子座

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}{f(x)}}\right)}$

射影スキームの射を考慮することによって

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}][y]}{y^{{\text{deg}}(f)}-f(x)}}\right)\to \mathbb {P} ^{n}}$

繰り返しますが、これは学位のカバーになります${\displaystyle {\text{deg}}(f)}$。