剛性解析空間

数学において、剛体解析空間は、非アルキメデス体上の複素解析空間の類似物である。このような空間は、乗法群を使用してp進楕円曲線を不完全な縮約で均一化する研究の結果として、1962 年にジョン テイトによって導入された。p進解析多様体の古典的な理論とは対照的に、剛体解析空間は解析接続と連結性の意味のある概念を許容する。

基本的な剛体解析対象はn次元単位多円板であり、その関数環はテイト代数 であり、これはある完全な非アルキメデス体kにおいて係数が 0 に近づくn変数の冪級数で構成される。テイト代数は、ガウスノルム（係数の上限を取る）の下でのn変数の多項式環の完備化であり、多円板は代数幾何学におけるアフィンn空間に類似した役割を果たす。多円板上の点はテイト代数の最大イデアルとして定義され、kが代数的に閉じている場合、これらは座標のノルムが最大で 1 である点に対応する。 ${\displaystyle T_{n}}$${\displaystyle k^{n}}$

アフィノイド代数は、テイト代数をイデアルで割った商に同型なk -バナッハ代数です。アフィノイドは、このイデアルの元が消える単位多面体のサブセット、つまり、問題のイデアルを含む最大イデアルの集合です。アフィノイド上の位相は微妙で、アフィノイド部分領域(アフィノイド代数の写像に関して普遍性を満たす) と許容開集合(アフィノイド部分領域による被覆の有限性条件を満たす) の概念を使用します。実際、アフィノイドの許容開集合は一般に位相空間の構造をアフィノイドに与えませんが、グロタンディーク位相( G -位相と呼ばれる)を形成し、これにより、層と空間の接着の適切な概念を定義できます。

k上の剛体解析空間は、 k代数の層を持つ局所環G位相空間を記述するペアであり、アフィノイドに同型の開部分空間による被覆が存在する。これは、多様体がユークリッド空間に同型の開部分集合で被覆可能であることや、スキームがアフィンで被覆可能であることと類似している。k 上のスキームは、複素数上の多様体が複素解析空間とみなせるのと同様に、関数的に解析可能であり、類似した形式的なGAGA定理が存在する。解析関数は有限の極限を尊重する。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

1970 年頃、ミシェル・レイノーは、ある種の剛体解析空間を形式モデルとして、つまりkの付値環R上の形式スキームの一般的なファイバーとして解釈しました。特に、彼はk上の準コンパクトで準分離した剛体空間のカテゴリが、許容可能な形式的爆発に関するR上の準コンパクト許容形式スキームのカテゴリの局所化と同値であることを示しました。ここで、形式スキームが許容可能であるとは、局所環がR平坦である位相的に有限に提示されたR代数の形式スペクトルによってカバーできる場合です。

形式モデルは、ブローアップによって複数の形式スキームで同じ剛体空間を記述できるため、一意性の問題を抱えています。Huber は、すべてのブローアップに対して極限をとることで、この問題を解決するために進空間の理論を考案しました。これらの空間は、剛体空間内で準コンパクト、準分離、および関数型ですが、多くの優れた位相特性が欠けています。

ウラジミール・ベルコビッチは、1980年代後半に、可換単位C* -代数に対するゲルファントスペクトルの概念の一般化を使用して、剛性解析空間の理論の多くを再定式化しました。バナッハのk -代数Aのベルコビッチスペクトルは、 k上の与えられたノルムに関して有界であるA上の乗法セミノルムの集合であり、 Aの要素上でこれらのセミノルムを評価することによって誘導される位相を持ちます。位相は実数直線から引き戻されるため、ベルコビッチスペクトルは、コンパクト性、パス連結性、距離化可能性など、多くの優れた特性を持ちます。多くの環理論的特性はスペクトルの位相に反映されます。たとえば、Aがデデキントである場合、そのスペクトルは縮約可能です。しかし、非常に基本的な空間でさえ扱いにくい傾向があります。建物に適切に粗い位相が与えられている場合、F はQ _pの有限拡大上で変化するため、 C _p上の射影直線はPGL ₂ ( F )に対するアフィンBruhat–Tits 建物の帰納的極限のコンパクト化です。

• 剛体コホモロジー

• 非アルキメデス分析、S. Bosch、U. Güntzer、R. Remmert著 ISBN  3-540-12546-9
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• 剛体解析幾何学とその応用(数学の進歩) ジャン・フレネル、マリウス・ファン・デル・プット著ISBN 0-8176-4206-4 
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• Éléments de Géométrie Rigide。 Volume I. Construction et étude géométrique des espaces Richards (Progress in Mathematics 286) by Ahmed Abbes、ISBN 978-3-0348-0011-2 
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